专题1.4 解直角三角函数应用（专项训练）-2023-2024学年九年级数学下册重点专题解读+训练（北师大版）

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A．50sinα米B．50csα米C．50tanα米D．米
【答案】C
【解答】解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝50米，∠PBA＝α，
∴AP＝PB•tanα＝50tanα（米），
∴小河宽度PA为50tanα米，
故选：C．
2．（2022•钦州一模）如图，小刚要测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，已知在坡脚C处测得树顶B的仰角为60°，在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，若CD＝10m，DE＝5m，则树AB的高是（ ）
A．5mB．C．15mD．10m
【答案】C
【解答】解：在Rt△DEC中，DE＝5米，DC＝10米，
∴DE＝DC，
∴∠DCE＝30°，
∵∠BCA＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE﹣∠BCA＝90°，
∵DF∥AE，
∴∠FDC＝∠DCE＝30°，
∵∠BDF＝30°，
∴∠BDC＝∠BDF+∠CDF＝60°，
在Rt△BDC中，BC＝DC•tan60°＝10（米），
在Rt△BCA中，AB＝BC•sin60°＝10×＝15（米），
∴树AB的高是15米，
故选：C．
3.（2022•鹿城区校级三模）如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角为α，A点与B点的高度差为h，A点与C点的高度差为120m，着陆坡BC长度为（ ）
A．B．
C．（120﹣h）sinαD．（120﹣h）csα
【答案】A
【解答】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，
则四边形BFGE矩形，
∴FG＝BE，
∵AG＝120m，AF＝h，
∴FG＝BE＝（120﹣h）m，
在Rt△BEC中，BC＝＝m，
故选：A．
4.（2022•温州模拟）一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则木箱端点C距地面m的高度是（ ）
A．a•csα+b•sinαB．a•sinα+b•csα
C．a•sinα+b•sinαD．a•csα+b•csα
【答案】B
【解答】解：过C点作CF⊥地面m于F，过D点作DH⊥地面m于H，过D点作DE⊥CF于E点，如图，则AD＝a，DH＝EF，
∵∠CDA＝∠AFE＝90°，
∴∠DCE＝∠DAF＝α，
在Rt△CDE中，∵cs∠DCE＝，
∴CE＝b•csα，
在Rt△ADH，∵sinα＝，
∴DH＝a•sinα，
∴EF＝DH＝a•sinα，
∴CF＝CE+EF＝a•sinα+b•csα．
故选：B．
5.（2021秋•瑞安市期末）为了解决楼房之间的采光问题，我市有关部门规定：两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼右侧50米处再建一幢新楼．若我市冬天中午12时太阳照射的光线与水平线的夹角最小为α度，则新楼最高可建（ ）
A．50tanα米B．米
C．（50tanα+1）米D．米
【答案】C
【解答】解：设旧楼的一楼阳台处即为点B，过点B作BC⊥AC交AC于点C，如右图所示，
则∠ABC＝α，
∵BC＝50m，∠BCA＝90°，
∴tanα＝，
∴AC＝BC•tanα＝50tanα，
又∵旧楼阳台高1m，
∴新楼最高可建（50tanα+1）m，
故选：C．
6．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A．（4+3sinα）mB．（4+3tanα）mC．（4+）mD．（4+）m
【答案】B
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC＝，
∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．
∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，
故选：B．
7．（2022•娄底模拟）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（ ）
A．4+米B．4+米
C．4+4sin40°米D．4+4ct40°米
【答案】B
【解答】解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4；
∴PB＝PA÷sin40°＝；
∴PA+PB＝4+．
故选：B．
8．（2022•花都区二模）如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（ ）
A．50米B．50米C．50米D．100米
【答案】A
【解答】解：设此时该小车上升的高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2+（x）2＝1002，
解得x＝50．
即此时该小车上升的高度为50米．
故选：A．
9．（2022•宜兴市校级二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：2，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（ ）
A．6mB．12 mC．6mD．6 m
【答案】D
【解答】解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：2，
∴＝，
∴AC＝2BC＝12（米），
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝6（米），
故选：D．
10．（2022•洪山区模拟）如图，某河段的两岸平行，小明在一侧河岸的A点观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小刚在距离A点80米的B点测得∠CBD＝30°，根据这些数据可以算出河宽为 米（≈1.414，≈1.732，精确到个位）．
【答案】109
【解答】解：过点C作CE⊥DB，垂足为E，
设CE＝x米，
在Rt△CEA中，∠CAE＝45°，
∴AE＝＝＝x（米），
∵AB＝80米，
∴BE＝AE+AB＝（x+80）米，
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x≈109，
经检验：x≈109是原方程的根，
∴河宽约为109米，
故答案为：109
11．（2022春•晋中期末）如图1是某超市自动扶梯，如图2是其示意图，大厅两层之间的距离h＝6，自动扶梯的倾斜角为30°．若自动扶梯运行速度v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒
【解答】解：∵30°锐角所对直角边等于斜边的一半
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为2h＝12米
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为12÷0.5＝24秒，
答：顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为24秒，
故答案为：24．
12．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴1.60≈，
∴BD≈32（米），
在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，
∴1.33≈，
∴BC≈26.6（米），
∴CD＝BD﹣BC≈5.4（米）．
答：避雷针DC的长度约为5.4米．
13．（2021秋•泰山区期末）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为60°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝56m．
（1）求楼间距AB；
（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？
【解答】解：（1））过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
则∠CEP＝∠PFD＝90°，
由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，
tan30°＝＝，
∴PE＝x，
同理可得：在Rt△PDF中，
tan60°＝＝，
∴PF＝x，
由PF﹣PE＝EF＝CD＝56，
可得x﹣x＝56，
解得：x＝28，
∴楼间距AB为28米；
（2）由（1）可得：PE＝28×tan30°＝28（米），
∴CA＝EB＝90﹣28＝62（米），
62÷3＝20（层）……2（米），
由于2号楼每层3米，可知点C位于21层．
14．（2021秋•昌平区期末）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉．某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD．（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cs35°≈0.819，tan35°≈0.700）
【解答】解：根据题意，得BM＝ED＝1.6m，∠AEC＝90°，
设AE为x m，在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝45°，
∴AE＝CE，
在Rt△ABE中，
∵tan∠ABE＝，
又∵∠ABE＝35°，
∴tan35°＝，
解得x≈30.3，
∴AD＝AE+ED≈30.3+1.6≈31.9（m），
答：城楼顶端距地面约为31.9m．
题目
测量城楼顶端到地面的高度
测量目标
示意图
相关数据
BM＝1.6m，BC＝13m，∠ABC＝35°，∠ACE＝45°