专题03 基本不等式重难点题型总结（人教A版必修第一册）

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公式应用及限制条件
（多选）1．（2022上·江西南昌·高一校考期末）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值9B．的最小值是
C．ab有最大值D．的最小值是
【答案】AB
【详解】，当且仅当时等号成立，A对；
，当且仅当即时等号成立，B对；
，则，当且仅当即时等号成立，C错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，D错.
故选：AB
（多选）2．（辽宁省县级重点高中协作体2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题）下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【详解】解：选项A：如果，则，故选项A错误；
选项B：因为，，根据不等式性质，，故选项B正确；
选项C：当时，有，故选项C错误；
选项D：，
当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确.
故选：BD.
（多选）3．（2022上·辽宁阜新·高一阜新市高级中学校考期末）下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．若，则
【答案】BD
【详解】对于A中，当时，可得，所以A错误；
对于B中，因为，则，当且仅当时，
即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，此时方程无解，即等号不成立，所以C错误；
对于D中，因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以D正确.
故选BD．
“1”的代换型
1．（2020下·浙江宁波·高一校联考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值 ．
【答案】/
【详解】因为，所以，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
2．（2022上·江苏南通·高一统考期中）函数（）的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，可得，
，
仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故选：B
3．（2023上·河北承德·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．12D．10
【答案】B
【详解】因为，所以，而，
，当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
“和”与“积”互消型
1．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】因为，所以，，
所以，
当，即，即，时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：
2．（2023上·重庆长寿·高一统考期末）已知正数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由正数，满足，可得，
所以，
当且仅当，，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
3．（2019上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是 .
【答案】/
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，时等号成立，即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
4．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
,
.
故选:D.
构造“公式型”
1．（2022上·湖北·高三校联考阶段练习）若，且，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】 25 /0.0625
【详解】①由，可知，，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为25．
②又，当且仅当时，等号成立，
所以，
故的最大值为．
故答案为：25；
2．（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，
因为为正实数，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
3．（2022上·吉林长春·高一长春市第二中学校考期末）已知，，且，则的最小值为 .
【答案】12
【详解】∵，，且，
∴
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为12．
故答案为：12．
4．（2023下·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：因为，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
故选：C
基本不等式的应用
1．（2023上·重庆·高一重庆南开中学校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．
(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；
(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．
【答案】(1)
(2)AD=120cm，，
【详解】（1）根据题意，矩形海报纸面积为，
所以，
又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
所以四个宣传栏的总面积，
其中所以.
即.
（2）由（1）知，
则
，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
即,时，
可使用宣传栏总面积最大为.
2．（2023·全国·高一随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

【答案】长为m，宽为m时总造价最低．
【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，，
，
当且仅当，又，即，时取到等号，
故长为m，宽为m时总造价最低．
3．（2022上·广东广州·高一广州市第八十九中学校考期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
【答案】(1)长为18m,宽为9m；
(2).
【详解】（1）由已知可得,而篱笆总长为.
又,当且仅当,即时等号成立
所以菜园的长为18m,宽为9m时,可使所用篱笆总长最小.
（2）由已知.
因为
（当且仅当时等号成立）.
所以（当且仅当时等号成立）
所以的最小值为.
分离分子型
1．（2021下·贵州遵义·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为
【答案】
【详解】因正实数满足，于是有，
则，
当且仅当时取“=”，
由得，
所以时，的最小值为.
故答案为：
2．（2022上·河北邢台·高一统考期末）已知正实数满足.则的最小值为（ ）
A．3B．9C．4D．8
【答案】B
【详解】a，b均为正实数，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
3．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以
即
，当且仅当，即时，等号成立.
所以
故选:D.
反解代入型消元法
1．（2022上·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设，且，则的最小值是 .
【答案】
【详解】令，，则，，
因为，则有，
所以
当且仅当，即时取等号，则分别等于时，的最小值是.
故答案为：.
2．（2020上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）若实数且，则的最小值为
【答案】
【详解】实数且，
则
当时，即 时取得等号，
所以的最小值为.
故答案为：
3．（2021·高一单元测试）已知且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】解：令，，因为，所以，
则，，所以,
所以
，
当且仅当，即，，即时取“”，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【详解】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
均值用两次
1.设，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以（当且仅当时取等号），
所以，
所以，（当且仅当，即时取等号）.
故答案为：D
2.若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．故选：A．
3.已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，，所以CD选项错误.
当时，，，所以B选项错误.
，
即当且仅当或时等号成立.
则，，解得.
故选：A
多元均值
1．（2022上·河南·高一校联考期末）已知，，则的最小值为（ ）
A．25B．C．5D．
【答案】B
【详解】由，可得，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，
故选：B
2．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）已知是正实数.
(1)若，证明：；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，，
所以，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以.
（2）因为，，，
所以，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号；
上述三式相加可得，即，
当且仅当时，等号成立.
所以.
3．（2023上·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ．
【答案】18
【详解】由条件知
，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18．
故答案为：18.
权方和不等式
1．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得：
，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
故选：A
2．（2023上·陕西西安·高一陕西师大附中校考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．18
【答案】D
【详解】，
当且仅当，即时取得等号，
所以函数的最小值为18，
故选:D.
3.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n=1，则43m+n+1m+3n的最小值为__________．
【答案】94
【详解】令3m+n=x，m+3n=y，∴x+y=4，
∴43m+n+1m+3n=4x+1y=14(4x+1y)(x+y) =14(5+4yx+xy)e94，
当且仅当x=2y,x+y=4，即x=83,y=43，即m=56,n=16时等号成立.
43m+n+1m+3n的最小值为94，故答案为94.