高中北师大版 (2019)第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理同步训练题

这是一份高中北师大版 (2019)第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理同步训练题，共7页。
1．[多选题]下列命题正确的有( )
A．空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示
B．空间中的任何一个向量都可用基a，b，c表示
C．空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示
D．平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示
2．设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：a，b，c为空间的一个基，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间一个基的一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a
C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c
4．如图，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则eq \(MN,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c
B．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(2,3)c
C.eq \f(2,3)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,3)c
D．－eq \f(1,2)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c
5．如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′C′的中心，若eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(3,2) D．2
6．如图所示，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M在eq \(OA,\s\up6(→))上，且eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，N为BC的中点，eq \(MN,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为( )
A.eq \f(1,2)，－eq \f(2,3)，eq \f(1,2)
B．－eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(2,3)
D.eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，－eq \f(1,2)
7．已知空间的一个基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(OD,\s\up6(→))用a，b，c表示为________________．
9.
如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是四边形BB1C1C的中心，且eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1D,\s\up6(→))＝________.
10．如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量eq \(OG,\s\up6(→))和eq \(GH,\s\up6(→)).
[提能力]
11．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基，则一定有( )
A．a与b共线 B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b共面
12．[多选题]已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(→))
13.
如图，已知四面体O­ABC，M是OA的中点，G是△ABC的重心，用基eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示向量eq \(MG,\s\up6(→))的表达式为________．
14．如图，已知ABCD­A′B′C′D′是平行六面体，设M是底面ABCD的对角线的交点，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的点，且分eq \(BC′,\s\up6(→))的比是31，设eq \(MN,\s\up6(→))＝αeq \(AB,\s\up6(→))＋βeq \(AD,\s\up6(→))＋γeq \(AA′,\s\up6(→))，则α，β，γ的值分别为________，________，________.
15．如图所示，在正方体OABC­O′A′B′C′中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OC,\s\up6(→))＝b，eq \(OO′,\s\up6(→))＝c.
(1)用a，b，c表示向量eq \(OB′,\s\up6(→))，eq \(AC′,\s\up6(→))；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq \(GH,\s\up6(→)).
[培优生]
16．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq \f(1,3)BB1，DF＝eq \f(2,3)DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若eq \(EF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．
课时作业(二十六)
1．解析：根据基的含义可知BC是正确的．故选BC.
答案：BC
2．解析：若a，b，c为非零向量，则a，b，c不一定为空间的一个基，但若a，b，c为空间的一个基，则a，b，c肯定为非零向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B.
答案：B
3．解析：设a＋2b＝λ(2a)＋μ(a－b)，得λ＝eq \f(3,2)，μ＝－2，所以2a，a－b，a＋2b共面．同理可得B，D选项中的三个向量分别共面，均不能构成空间的一个基．故选C.
答案：C
4．解析：由已知
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c，故选D.
答案：D
5．解析：取基eq \(AA′,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \(A′E,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以x＝y＝eq \f(1,2)⇒x＋y＝1.
故选B.
答案：B
6．解析：eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，
∴x＝－eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,2)，z＝eq \f(1,2)，故选B.
答案：B
7．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
答案：1 －1
8．解析：∵eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－2(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，∴b－a＝－2(eq \(OD,\s\up6(→))－c)，∴eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c.
答案：eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c.
9．解析：＝＋＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(C1C＋C1B1)
＝c＋eq \f(1,2)(－＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝c－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)(－c)＋eq \f(1,2)b＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
答案：－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
10．解析：因为eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))，而eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，
又D为BC的中点，所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c).
又因为eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(OH,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))，eq \(OH,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(b＋c)，
所以eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(b＋c)－eq \f(1,3)(a＋b＋c)＝－eq \f(1,3)a.
所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，eq \(GH,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a.
11．解析：由定理可知只有不共线的两向量才可以做基，B，C都是A的一种情况．空间中任两个向量都是共面的，故D错．故选A.
答案：A
12．解析：当eq \(MA,\s\up6(→))＝meq \(MB,\s\up6(→))＋neq \(MC,\s\up6(→))时，可知点M与点A，B，C共面，
所以eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝m(eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＋n(eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
所以(m＋n－1)eq \(OM,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(－\(OA,\s\up6(→))＋m\(OB,\s\up6(→))＋n\(OC,\s\up6(→)),m＋n－1)＝－eq \f(1,m＋n－1)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(m,m＋n－1)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(n,m＋n－1)eq \(OC,\s\up6(→))，
不妨令－eq \f(1,m＋n－1)＝x，eq \f(m,m＋n－1)＝y，eq \f(n,m＋n－1)＝z，且此时x＋y＋z＝1，
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1，1＋1＋(－1)＝1，1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(11,6)≠1，eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝1，
由上可知：BD满足要求．故选BD.
答案：BD
13．解析：eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
答案：－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
14．解析：∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC′,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AA′,\s\up6(→))，
∴α＝eq \f(1,2)，β＝eq \f(1,4)，γ＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(1,2) eq \f(1,4) eq \f(3,4)
15．解析：(1)eq \(OB′,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OO′,\s\up6(→))＝a＋b＋c.
eq \(AC′,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→))
＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OO′,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b＋c－a.
(2)eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(GO,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→))＝－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)(eq \(OB′,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(OB′,\s\up6(→))＋eq \(OO′,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(OO′－OC)＝eq \f(1,2)(c－b).
16．解析：(1)证明：因为AC1＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋AA1
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)AA1＋eq \f(2,3)AA1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)AA1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)AA1))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)BB1＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)，
所以x＝－1，y＝1，z＝eq \f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq \f(1,3).