专题突破卷15 三角形的“四心”及奔驰定理-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.内心问题
1．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2．已知点O是的内心，，，则（ ）
A．B．C．2D．
3．三角形的四心是指三角形的重心､外心､内心､垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心､垂心､内心､外心四心合一，称作正三角形的中心.如图，是的垂心，分别交于，则是的（ ）

A．内心B．外心C．重心D．垂心
4．校考期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（ ）
A．B．3C．D．4
5．在中，，，，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．设为的内心，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2.外心问题
7． 中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
8．M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
9．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
10．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
11．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的_____．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
12．在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3.垂心问题
13．（多选）已知，在所在的平面内，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为的外心
B．为的垂心
C．为的内心
D．为的重心
14．（多选）已知为的垂心，面积为，，，则一定有（ ）
A．B．C．D．
15．已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则_____.
16．已知的垂心为点，面积为15，且，则_____；若，则_____.
17．若是内一点，且，则为的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．内心
4.重心问题
18．若是内一点，，则是的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
19．已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．内心B．垂心C．重心D．边的中点
20．边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为_____．
21．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
22．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
23．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
5.奔驰定理
24．设点在内部，且，则与的面积之比为_____.
25．已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（ ）
A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6
26．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
27．如图所示，点是内一点，若，，，且，则_____.
28．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
29．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则＝_____．
2．已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心B．外心C．重心D．垂心
4．在平行四边形中，为的重心，，则_____．
5．设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是_____
6．（多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为的内心
C．若为的重心，是边上的中线，则
D．若，则
7．已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心
8．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
9．（多选）中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，O为其重心，，，分别是边a，b，c上的高．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．是钝角三角形
10．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示，已知点是的重心.

(1)求；
(2)若过的重心，且，，，，求证：.
12．设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是_____.
13．（多选）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若是中点，则
B．若，则
C．与不共线
D．若，则