专题突破卷01 函数值域问题-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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题型一 求值域
1.单调性法
1．函数的值域为______．
【答案】
【分析】由，结合指数函数的性质得到值域.
【详解】因为，故且，
所以的值域为.
故答案为：.
2．的值域为__________
【答案】
【分析】通过换元法，求换元后的值域即可.
【详解】设
则，
，
故函数的值域为.
故答案为：
3．函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A．B．2，5C．1，2D．
【答案】A
【分析】先简单判断函数的单调性，进而求解结论．
【详解】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，
∴在区间[1，2]上单调递减，
∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是
f（1），f（2），
故选：A．
4．已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将函数变形为，利用对勾函数的单调性求得的值域，结合不等式的性质即可求解.
【详解】，定义域为，且，
取，则化简得
令，，
利用对勾函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；，即，时，
又，所以，时，函数的值域为
故选：C
2.配方法
5．已知，则的最大值为__________.
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答.
【详解】因为，则，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值.
故答案为：
6．已知一元二次函数y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为（ ）
A．最小值为2，最大值为5B．最小值为1，最大值为5
C．最小值为1，无最大值D．无最值
【答案】C
【分析】结合对称轴，函数的单调性得出结论．
【详解】由已知函数图象对称轴是，在上，函数是减函数，在上是增函数，因此时，函数取得最小值为1，但无最大值，
故选：C．
7．求函数的值域.
【答案】.
【分析】根据二次函数的图象与性质，求得函数的单调区间和最值，即可求解.
【详解】因为函数的对称轴为，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，
所以函数的值域为.
8．已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由的定义域得出的定义域，再将代入，由的范围求出值域即可．
【详解】由的定义域为，，
则，即，
所以，
因为，所以函数在上单调递增，
当，当，
故函数的值域为.
故选：C．
9．求函数的值域为_________.
【答案】
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令，则，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
3.分离常数法
10．求函数的值域.
【答案】.
【分析】化简，结合函数的定义域，进而求得函数的值域.
【详解】由函数，可得其定义域为，
又由，可得
所以函数的值域为.
11．函数的值域是（ ）
A．，B．C．，D．
【答案】A
【分析】把已知函数解析式变形，由 可得的范围，进一步求得函数值域.
【详解】因为，
，，
则，

所以函数的值域是
故选：A.
12．（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．B．C．D．0
【答案】AD
【分析】由点在线上得，则，，由复合函数性质逐步讨论值域即可
【详解】点在函数的图象上，∴，∴，
∵由得，
.
故选：AD
13．求函数的值域．
【答案】
【分析】根据常数分离得，由，逐步得即可解决.
【详解】由题知，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以函数的值域为.
4.复合函数
14．函数，的值域为______.
【答案】
【分析】利用换元法，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.
【详解】令，由于，所以.
则，
根据二次函数的性质可知，当时，；当时，，
所以函数，的值域为.
故答案为：
15．（1）函数，的值域为______．
（2）函数的值域为______．
【答案】
【分析】空①：根据题意结合二次函数的性质分析运算；空②：利用换元法，设，结合二次函数分析运算.
【详解】空①：因为的对称轴为，
所以函数在上单调递增，
当时，函数取到最小值；
当时，函数取到最小值；
所以函数，的值域为．
空②：设，因为，
换元得，，
当时，函数取到最小值，
所以函数的值域为．
故答案为：；.
16．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据函数解析式列出相应的不等式组，可解得答案；
（2）利用对数函数的单调性，结合二次函数的性质，求得答案.
【详解】（1）要使函数有意义，则有，解得，
所以的定义域为.
（2），
因为，所以，
所以，即的最大值为2.
17．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)当时， 求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；
（2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域.
【详解】（1）设，，，
所以，即，
解得，
所以，解得，
即；
（2）由（1）得，当，，
所以函数可转化为，，
当时，取最小值为，
当或时，取最大值为，
即当时，取最小值为，
当或时，取最大值为，
即函数的值域为.
18．求函数的值域.
【答案】
【分析】根据对数运算化简函数，利用换元法，结合对数函数的性质以及二次函数的性质，可得答案.
【详解】，
由，则，令，即，
则，易知在上的值域为，
故函数在上的值域为.
5.导数法
19．函数在区间 的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】求导，根据导函数的符号确定的单调区间，求出最大值.
【详解】 ，当 时， ， 单调递增，
当 时 单调递减，当 时， 单调递增；
， ；
故选：D.
20．求下列函数的最值：
(1)；
(2).
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)无最小值，
【分析】利用导数求解函数的最值步骤求解即可.
【详解】（1），
令，得或.
又，，，，
∴当时，取最大值.
当时，取最小值.
即的最大值为，最小值为.
（2）函数的定义域为.
，
当时，，
当变化时，，的变化情况如表所示.
在上单调递增，在上单调递减，
无最小值，且当时，.
21．函数在上的最小值为__________.
【答案】
【分析】对求导，从而得到在上的单调性，进而求出在上的最小值.
【详解】，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故答案为：.
22．设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最值．
【答案】(1)增区间为；减区间为
(2)最大值为9，最小值为－
【分析】（1）对函数求导后，利用导函数的正负确定函数的单调区间及极值；
（2）利用极值及端点函数值，比较大小可得答案.
【详解】（1），
令，则或，
列表如下：
∴的增区间为；减区间为；
（2）由上知在上的极小值为，
又，
所以在上的最大值为9，最小值为－．
6.分类讨论（二次函数）
23．已知二次函数的图象过点，且最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值．
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）先根据题意设出二次函数的两点式形式，再由条件得到其顶点坐标，代入即可得解；
（2）根据二次函数的图象性质，分类讨论、与三种情况下在的单调情况，从而得到关于的方程，解之即可.
【详解】（1）由题意设函数的解析式为，
由已知可得二次函数的顶点坐标为，
代入得，解得，
所以二次函数解析式为，即．
（2）由（1）知，
则其图象的开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
所以，解得或（舍去），所以；
当，即时，在对称轴处取得最小值，不满足题意；
当时，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，解得或（舍去）．
综上所述：t的值为1或3．
24．设函数.
(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：
(2)设函数在区间的最小值为，求.
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)
【分析】（1）通过判断二次函数的对称轴与区间的位置关系判断函数单调性，通过单调性可得最值；
（2）通过分类讨论，确定函数的单调性与区间之间的位置关系，通过位置关系及二次函数的性质可得最小值.
【详解】（1）当时，，其对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
故函数在区间的最大值为，最小值为；
（2）对称轴为，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述：.
25．已知函数．
(1)若有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由有两个零点，得，解不等式即可求得本题答案；
（2）先求出函数对称轴，然后分别求出当，，时，函数对应的最小值即可得到本题答案.
【详解】（1）依题意，，
则，解得或，
故实数m的取值范围为．
（2）依题意，的对称轴方程为．
当，即时，在上单调递增，此时的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时的最小值为；
当，即时，在上单调递减，此时的最小值为．
综上，当时，的最小值为6m，当时，的最小值为，当时，的最小值为．
26．已知函数，
(1)当时，解不等式；
(2)若时，求函数的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）按照不含参数的一元二次不等式直接求出解集即可；
（2）结合对称轴，分类讨论，根据函数单调性求出不同情况下的最值.
【详解】（1）当时，即为，解得：，
故不等式解集为；
（2）因为的图像开口向下且对称轴为，
①当即时，在上单调递减，
故，；
②当时，即时，根据函数图像得：在上
；
③当时，即时，根据函数图像得：在上
；
④当时，即时，在上单调递增，
.
综上，，
27．已知函数.
(1)求的最小值;
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值；
（2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数在每段上的最大值从而得出的最大值．
【详解】（1）由题意可得：，
当时，在区间上单调递减，最小值；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值；
当时，在区间上单调递增，最小值；
综上所述：.
（2）由（1）可知：当时，在单调递减，所以的最大值为；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为；
当时，在单调递增，所以的最大值为；
综上所述：的最大值.
28．设的定义域为，对于任意实数t，则的最小值__________．
【答案】
【分析】讨论，结合二次函数的性质求的最小值.
【详解】可化为，
当，即时，函数在上单调递减，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
当，即时，函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
所以，
故答案为：.
题型二 已知值域
1.求参数
29．若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案．
【详解】解：因为函数的值域为，
所以能够取到大于等于的所有数，
当时，不合题意；
当时，则，解得；
综上可得.
故答案为：．
30．已知函数.
(1)若函数在区间上y随x增大而增大，求实数a的取值范围；
(2)若函数在区间上的最大值为1，求实数a的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据函数的单调性可得对称轴满足的条件，故可得参数的取值范围；
（2）就，及分类讨论后可得实数的值.
【详解】（1）由题设可得函数在上为增函数，而二次函数的对称轴为，
故即.
（2）二次函数的对称轴为，
当即时，函数在上为减函数，故最大值为即，符合；
当即时，函数在上递增，在上递减，
故最大值为，
故，解得或，因，故两解均舍；
当即时，此时函数在为增函数，
故最大值为即，
综上，或.
31．已知函数的最小值点为，则__________．
【答案】8
【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案．
【详解】由题意可得函数的图象开口向上，对称轴为，
又函数的最小值点为，则，即，
所以，则．
故答案为：8．
32．已知函数，若函数的定义域为，值域为，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知求得的符号，利用韦达定理即可求得的值.
【详解】由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而
，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以．故
故选：C
33．若函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，通过函数的最小值为0及定义域可知函数在处取得最小值，再通过对函数的分段讨论及函数的最大值为求出实数a的取值范围.
【详解】令，得或，因为函数定义域为，所以，即函数在处取得最小值0，且，即，
则，
因为函数的值域为，所以
当时，有，即，得，即;
当时，有，即，得，即.
综上，实数a的取值范围为.
故选：D.
34．已知函数的值域为，则常数______．
【答案】7或
【详解】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
2.求定义域
35．（ 2022秋·辽宁营口·高三统考期末）为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______．
【答案】4
【分析】根据的定义，函数的定义域和值域分析求解
【详解】因为函数，，的值域为，
所以最大取到3，最小取到，
所以的最大值为，
故答案为：4
36．已知函数的值域是，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出的图像，数形结合即可判断出答案．
【详解】，画出图像，如图所示，

令，则，解得或，
令，则，解得（舍去）或，
对于A：当时，结合图像，得，故A错误；
对于B：当时，结合图像，得，故B错误；
对于C：当时，结合图像，得，故C错误；
对于D：当时，结合图像，得，故D正确；
故选：D．
37．若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为__________.
【答案】
【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由题意可得函数的图像开口向上，对称轴为，
当时，，
令，解得或，
因为函数的定义域为，值域为，
故，
故答案为：
38．设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（ ）
A．当时，b的值不唯一B．当时，a的值不唯一
C．的最大值为3D．的最小值为3
【答案】D
【分析】代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分、、三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出的范围，即可判断C、D项.
【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误；
对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误；
对于C、D项，
①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或.
当时，即，此时有；
当时，即，则，此时有.
综上所述，.
故C项错误，D项正确.
故选：D.
39．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
40．已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为________.
【答案】3
【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间上的值域为,必有,,或,再根据求的最大值最好是正值,可得, ,即的最大值为.
【详解】
画出函数的图像可知,要使其在闭区间上的值域为,
由于有且仅有,所以,
而,所以有,或,
又∵,的最大值为正值时,,
∴,
所以,当取最小值时,,有最大值.
又∵,
∴的最大值为；
故答案为：3.
1．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的定义域以及三函数的值域得出真数的取值范围，根据对数函数的单调性求得结果即可.
【详解】已知函数，则，
所以，
所以函数的值域为.
故选：C.
2．已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出.
【详解】，令，
则，当时，，解得.
故选：B
3．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由可得，
当时，故，当且仅当时等号成立，
而恒成立，故，
故的值域为，
故选：C
4．函数的值域为______.
【答案】
【分析】根据函数解析式直接求值域.
【详解】因为，所以，
所以函数的值域为，
故答案为: .
5．已知函数的定义域和值域均是[1，a]，则实数a＝_____．
【答案】2
【分析】由二次函数的图象与性质可以判定在内是减函数，由值域也是列方程中，可求出的值．
【详解】∵二次函数的图象是抛物线，
开口向上，对称轴是，
∴在上是减函数，
又f（x）在上的值域也是，
∴，即，
解得a＝2.
故答案为：2
6．已知有偶函数，奇函数，且有，则的值域为____________.
【答案】
【分析】根据条件，利用与的奇函数性求出的解析式，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为为偶函数，为奇函数，且有，
所以，两式相加得到，
又因为，当且仅当，即时取等号，
所以的值域为.
故答案为：.
7．已知函数，则函数的值域为___．
【答案】
【分析】设，则，此时，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】设，则，此时，
当时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为；
当时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为．
故答案为：.
8．函数的值域是或，则此函数的定义域为______.
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域.
【详解】，其中或，
当时,是减函数,此时，
当时,是减函数,此时，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
9．已知函数，则的最大值是________．
【答案】
【分析】利用导函数分析单调性求最值即可.
【详解】因为，
所以
.
当时，，
所以在单调递增；
当时，，
所以在单调递减；
所以.
故答案为：.
10．已知，设，则函数的值域为___________．
【答案】
【分析】确定函数的定义域，化简可得的表达式，换元令，可得，结合二次函数的性质即得答案.
【详解】由题意得，则，即的定义域为，
故，
令，则，
函数在上单调递增，故，
故函数的值域为，
故答案为：
11．定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是__________．
【答案】
【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．
【详解】若在上的最大值为4，
所以由，解得或，
所以要使函数最大值为4，
则根据新定义，结合与图像可知，
当，时，，此时解得，
当，时，，此时解得，
故或4，
故答案为：或4.

12．函数的最大值是______；最小值是______.
【答案】 2
【分析】确定函数定义域，然后将平方，求得其最大值和最小值，即可求得答案.
【详解】由可得，即函数定义域为，
则，
当时，取最小值0，故取到最大值4，
则函数的最大值为2；
当时，取最大值1，故取到最小值2，
则函数的最大值为；
故答案为：
13．已知函数.
(1)若，求在上的最大值；
(2)若函数在区间上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分、两种情况讨论即可；
（2）可得函数在上单调递增，然后由条件可建立方程组求解.
【详解】（1）当时，函数化为，其图像的对称轴为直线，
而，所以，
①当，即时，函数在时取得最大值；
②当，即时，函数在时取得最大值，
综上，当时，最大值为；当时，最大值为.
（2）因为函数的图像开口向上，且对称轴方程为，所以函数在上单调递增，
所以当时，y取得最小值；当时，y取得最大值.
由题意，可得解得 .
14．求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
【分析】（1）利用二次函数性质可求得答案；
（2）令可得，结合二次函数性质求得答案；
（3）利用分离常数的方法即可求得答案；
（4）利用换元法再结合二次函数性质即可求得答案；
（5）利用三角换元法，结合三角函数性质可求得答案；
（6）利用分类讨论的方法可得答案；
（7）利用判别式法即可求得答案；
（8）利用分离参数的方法，结合基本不等式即可求得答案；
（9）利用三角函数辅助角公式，结合三角函数性质，即可求得答案,
【详解】（1）因为，
故的值域为；
（2）令，则，
而，则，
故，
即的值域为；
（3），
因为，故，
所以的值域为;
（4）令，则，
当时，取到最大值5，无最小值，
故的值域为；
（5）因为，令,
故，
由于，故，
即函数的值域为；
（6），
当时，；当时，；当时，，
故的值域为；
（7）因为恒成立，故,
则由可得，
当时，，适合题意；
当时，由于，故恒有实数根，
故，解得且，
故的值域为；
（8），
因为，故，
当且仅当，即时等号成立，
故，即函数值域为；
（9）由可得，
即，
由三角函数辅助角公式可得，（为辅助角），
则，解得，
故函数的值域为.
15．已知函数的图象在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为8，最小值为
【分析】（1）求导，根据函数的图象在处的切线方程为求解；.
（2）由（1）得到，再利用导数法求解.
【详解】（1）解：，
又函数的图象在处的切线方程为，
所以，
解得.
（2）由（1）可知，
令，解得，或.
当或时，；当时，.
故的增区间为和的减区间为
因为，
所以在上的最大值为8，最小值为.
16．（ 2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知函数.
(1)解关于的不等式；
(2)求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据对数函数的性质和分式不等式的解法即可求解；（2）根据对数加减法计算和换元法，结合二次函数的特点和分析参数范围以及单调性即可求解.
【详解】（1）不等式可化为：,
所以0，
即,
解得或，
所以不等式的解集为.
（2）
当时，
则.
①若，则在单调递减，则的最小值为.
②，
当，即时，在单调递增，则的最小值为.
当，即时，在单调递减，在单调递增，则的最小值为.
综上：当时，;
当时，;
当时，.
单调递增
单调递减
－3
1
＋
0
－
0
＋
单调递增
单调递减
单调递增