专题09 平面向量、不等式及复数-备战2024年高考之5年高考数学真题分项汇编（新高考通用）

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考点一 基本不等式及其应用
1．（2019•上海）若，，且，则的最大值为 ．
【解析】，；
故答案为：
2．（2020•上海）下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【解析】．显然当，时，不等式不成立，故错误；
．，，，故正确；
．显然当，时，不等式不成立，故错误；
．显然当，时，不等式不成立，故错误．
故选：．
3．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，
又，所以，故正确，错误，
，当且仅当，即时取等号，故错误，
故选：．
4．【多选】（2020•山东）已知，，且，则
A．B．
C．D．
【解析】①已知，，且，所以，则，故正确．
②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．
③，故错误．
④由于，，且，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．
故选：．
5．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则 ．
【解析】，
所以，经检验，时等号成立．
故答案为：9．
6．【多选】（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则
A．B．C．D．
【解析】方法一：由可得，，
令，则，
，，故错，对，
，，
故对，错，
方法二：对于，，由可得，，即，
，，故错，对，
对于，，由得，，
，故对；
，，
，故错误．
故选：．
考点二 平面向量的线性运算
7．（2020•海南）在中，是边上的中点，则
A．B．C．D．
【解析】在中，是边上的中点，
则
．
故选：．
8．（2019•浙江）已知正方形的边长为1．当每个，2，3，4，5，取遍时，的最小值是 ，最大值是 ．
【解析】如图，建立平面直角坐标系，则，，，，
，，，，，，
，
，，
中第一个括号中的，与第二个括号中的，的取值互不影响，
只需讨论，的取值情况即可，
当，同号时，不妨取，，则式即为，
，，，，，
，，时，取得最小值0，
当（如，，，时，式取得最大值为，
当，异号时，不妨取，，则式即为，
同理可得最小值为0，最大值为．
故答案为：0；．
9．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是 ．
【解析】如图，设，，
由，且，，
分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的的最大值为6．
故答案为：6．
考点三 平面向量的基本定理
10．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
【解析】如图，
，
，即．
故选：．
考点四 平面向量数量积的运算
11．（2023•上海）已知向量，，则 ．
【解析】向量，，
．
故答案为：4．
12．（2021•浙江）已知非零向量，，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当且，则，但与不一定相等，
故不能推出，
则“”是“”的不充分条件；
由，可得，
则，即，
所以可以推出，
故“”是“”的必要条件．
综上所述，“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
13．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求 ．
【解析】由数量积的定义，可得，
因为，所以．
故答案为：9．
14．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则 ．
【解析】方法1：由得或或，
或或，
又，，，，，
，，，．
故答案为：．
方法．
故答案为：．
15．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则 ．
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，，
，且是的中点，
．
故答案为：．
16．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，，则
A．B．
C．D．
【解析】法一、，，，，，
，，
，，，
，，
则，，则，故正确；
，
，
，故错误；
，
，
，故正确；
，
，
，故错误．
故选：．
法二、如图建立平面直角坐标系，
，作出单位圆，并作出角，，，
使角的始边与重合，终边交圆于点，角的始边为，终边交圆于，
角的始边为，交圆于，
于是，，，，
由向量的模与数量积可知，、正确；、错误．
故选：．
17．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则 ．
【解析】由题意，有，则，设，
则得，，
由同角三角函数的基本关系得：，
则，
，
则．
故答案为：．
18．（2020•山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】画出图形如图，
，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，
在处取得最小值，，最小值为，
是边长为2的正六边形内的一点，
所以的取值范围是．
故选：．
19．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【解析】不妨设，，，，，
①，，
若，则，即，
满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；
②为中点，，与的交点即为重心，
因为为的三等分点，为中点，
所以与不共线，即②不成立．
故选：．
20．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，，
设，
则，
，，
，
，
即的取值范围是，，
故答案为：，．
21．（2021•浙江）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 ．
【解析】令，
因为，故，，，，令，
平面向量在，方向上的投影分别为，，设，
则：，
从而：，故，
方法一：由柯西不等式可得，
化简得，当且仅当，即 时取等号，
故 的最小值为．
方法二：则表示空间中坐标原点到平面 上的点的距离的平方，
由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：
．
故答案为：．
考点五 平面向量的数量积的应用
22．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
【解析】，，
，，
由，得，
整理得：，即．
故选：．
23．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则 ．
【解析】，，
，，
，，
．
故答案为：．
24．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则
A．B．C．5D．6
【解析】向量，，，
，
，，，
，，
解得实数．
故选：．
25．（2020•浙江）已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是 ．
【解析】设、的夹角为，由，为单位向量，满足，
所以，
解得；
又，，且，的夹角为，
所以，
，
；
则，
所以时，取得最小值为．
故答案为：．
考点六 复数的基本概念
26．（2022•浙江）已知，，为虚数单位），则
A．，B．，C．，D．，
【解析】，，，
，，
故选：．
27．（2020•浙江）已知，若为虚数单位）是实数，则
A．1B．C．2D．
【解析】，若为虚数单位）是实数，
可得，解得．
故选：．
考点七 复数的几何意义
28．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】，
则在复平面内，对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
29．（2021•新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】，
在复平面内，复数对应的点的坐标为，，位于第一象限．
故选：．
考点八 复数的运算
30．（2023•新高考Ⅰ）已知，则
A．B．C．0D．1
【解析】，
则，
故．
故选：．
31．（2022•新高考Ⅱ）
A．B．C．D．
【解析】．
故选：．
32．（2021•浙江）已知，为虚数单位），则
A．B．1C．D．3
【解析】因为，即，
由复数相等的定义可得，，即．
故选：．
33．（2020•海南）
A．B．C．D．
【解析】，
故选：．
34．（2020•山东）
A．1B．C．D．
【解析】，
故选：．
35．（2023•上海）已知复数为虚数单位），则 ．
【解析】，
．
故答案为：．
36．（2021•上海）已知，，求 ．
【解析】因为，，
所以．
故答案为：．
37．（2020•上海）已知复数为虚数单位），则 ．
【解析】由，得．
故答案为：．
38．（2019•上海）已知，且满足，求 ．
【解析】由，得，即．
故答案为：．
39．（2019•浙江）复数为虚数单位），则 ．
【解析】．
．
故答案为：．
考点九 共轭复数
40．（2022•新高考Ⅰ）若，则
A．B．C．1D．2
【解析】由，得，
，则，
．
故选：．
41．（2021•新高考Ⅰ）已知，则
A．B．C．D．
【解析】，
．
故选：．
42．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则 ．
【解析】，则，所以．
故答案为：．
43．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为 ．
【解析】设，．
复数满足，
，
可得：，，解得，．
则的实部为2．
故答案为：2．