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备战2024年高考数学真题分项汇编(新高考通用)专题05平面解析几何(原卷版+解析)
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这是一份备战2024年高考数学真题分项汇编(新高考通用)专题05平面解析几何(原卷版+解析),共59页。试卷主要包含了两条平行直线间的距离,圆的一般方程,直线与圆的位置关系,圆的切线方程,椭圆的性质,直线与椭圆的综合,直线与双曲线的综合,直线与抛物线的综合等内容,欢迎下载使用。
考点一 两条平行直线间的距离
1.(2020•上海)已知直线,,若,则与的距离为 .
考点二 圆的一般方程
2.(2021•上海)若,求圆心坐标为 .
3.(2023•上海)已知圆的面积为,则 .
考点三 直线与圆的位置关系
4.【多选】(2021•新高考Ⅱ)已知直线与圆,点,则下列说法正确的是
A.若点在圆上,则直线与圆相切
B.若点在圆外,则直线与圆相离
C.若点在直线上,则直线与圆相切
D.若点在圆内,则直线与圆相离
5.【多选】(2021•新高考Ⅰ)已知点在圆上,点,,则
A.点到直线的距离小于10B.点到直线的距离大于2
C.当最小时,D.当最大时,
6.(2022•新高考Ⅱ)设点,,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则的取值范围是 .
7.(2022•上海)设集合,,
①存在直线,使得集合中不存在点在上,而存在点在两侧;
②存在直线,使得集合中存在无数点在上;
A.①成立②成立B.①成立②不成立
C.①不成立②成立D.①不成立②不成立
8.(2023•新高考Ⅱ)已知直线与交于,两点,写出满足“面积为”的的一个值 .
考点四 圆的切线方程
9.(2023•新高考Ⅰ)过点与圆相切的两条直线的夹角为,则
A.1B.C.D.
10.(2019•浙江)已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆相切于点,则 , .
11.(2022•新高考Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程 .
12.(2020•浙江)已知直线与圆和圆均相切,则 , .
考点五 椭圆的性质
13.(2023•新高考Ⅰ)设椭圆,的离心率分别为,.若,则
A.B.C.D.
14.(2021•新高考Ⅰ)已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为
A.13B.12C.9D.6
15.(2023•新高考Ⅱ)已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和,直线与交于点,两点,若△面积是△面积的两倍,则
A.B.C.D.
16.(2022•新高考Ⅱ)已知直线与椭圆在第一象限交于,两点,与轴、轴分别相交于,两点,且,,则的方程为 .
17.(2021•上海)已知椭圆的左、右焦点为、,以为顶点,为焦点作抛物线交椭圆于,且,则抛物线的准线方程是 .
18.(2021•浙江)已知椭圆,焦点,,.若过的直线和圆相切,与椭圆的第一象限交于点,且轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
19.(2019•浙江)已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方.若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是 .
20.(2019•上海)已知椭圆,,为左、右焦点,直线过交椭圆于,两点.
(1)若直线垂直于轴,求;
(2)当时,在轴上方时,求、的坐标;
(3)若直线交轴于,直线交轴于,是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
考点六 直线与椭圆的综合
21.(2022•新高考Ⅰ)已知椭圆,的上顶点为,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于,两点,,则的周长是 .
22.(2020•海南)已知椭圆过点,点为其左顶点,且的斜率为.
(1)求的方程;
(2)点为椭圆上任意一点,求的面积的最大值.
23.(2020•山东)已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求的方程;
(2)点,在上,且,,为垂足.证明:存在定点,使得为定值.
考点七 双曲线的性质
24.(2022•上海)双曲线的实轴长为 .
25.(2019•浙江)渐近线方程为的双曲线的离心率是
A.B.1C.D.2
26.(2021•新高考Ⅱ)已知双曲线的离心率,则该双曲线的渐近线方程为 .
27.(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线的左、右焦点分别为,.点在上,点在轴上,,,则的离心率为 .
28.(2022•浙江)已知双曲线的左焦点为,过且斜率为的直线交双曲线于点,,交双曲线的渐近线于点,且.若,则双曲线的离心率是 .
考点八 直线与双曲线的综合
29.(2022•新高考Ⅰ)已知点在双曲线上,直线交于,两点,直线,的斜率之和为0.
(1)求的斜率;
(2)若,求的面积.
30.(2021•新高考Ⅰ)在平面直角坐标系中,已知点,,,,点满足.记的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)设点在直线上,过的两条直线分别交于,两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和.
31.(2022•新高考Ⅱ)已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为.
(1)求的方程;
(2)过的直线与的两条渐近线分别交于,两点,点,,,在上,且,.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①在上;②;③.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
32.(2020•上海)已知双曲线与圆交于点,(第一象限),曲线为、上取满足的部分.
(1)若,求的值;
(2)当,与轴交点记作点、,是曲线上一点,且在第一象限,且,求;
(3)过点斜率为的直线与曲线只有两个交点,记为、,用表示,并求的取值范围.
33.(2023•新高考Ⅱ)已知双曲线中心为坐标原点,左焦点为,,离心率为.
(1)求的方程;
(2)记的左、右顶点分别为,,过点的直线与的左支交于,两点,在第二象限,直线与交于,证明在定直线上.
考点九.抛物线的性质
(2021•新高考Ⅱ)若抛物线的焦点到直线的距离为,则
A.1B.2C.D.4
35.【多选】(2022•新高考Ⅱ)已知为坐标原点,过抛物线焦点的直线与交于,两点,其中在第一象限,点.若,则
A.直线的斜率为B.
C.D.
36.(2021•上海)已知抛物线,若第一象限的,在抛物线上,焦点为,,,,求直线的斜率为 .
37.(2021•新高考Ⅰ)已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且.若,则的准线方程为 .
38.(2020•山东)斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则 .
39.(2019•上海)过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于,,在上方,为抛物线上一点,,则 .
考点十 直线与抛物线的综合
40.【多选】(2023•新高考Ⅱ)设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,为的准线,则
A.B.
C.以为直径的圆与相切D.为等腰三角形
41.【多选】(2022•新高考Ⅰ)已知为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交于,两点,则
A.的准线为B.直线与相切
C.D.
42.(2023•上海)已知抛物线,在上有一点位于第一象限,设的纵坐标为.
(1)若到抛物线准线的距离为3,求的值;
(2)当时,若轴上存在一点,使的中点在抛物线上,求到直线的距离;
(3)直线,抛物线上有一异于点的动点,在直线上的投影为点,直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中,恒成立,求的取值范围.
43.(2020•浙江)如图,已知椭圆,抛物线,点是椭圆与抛物线的交点,过点的直线交椭圆于点,交抛物线于点,不同于.
(Ⅰ)若,求抛物线的焦点坐标;
(Ⅱ)若存在不过原点的直线使为线段的中点,求的最大值.
44.(2019•浙江)如图,已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于,两点,点在抛物线上,使得的重心在轴上,直线交轴于点,且在点的右侧.记,的面积分别为,.
(Ⅰ)求的值及抛物线的准线方程;
(Ⅱ)求的最小值及此时点的坐标.
考点十一 圆锥曲线的综合
45.(2020•浙江)已知点,,.设点满足,且为函数图象上的点,则
A.B.C.D.
46.【多选】(2020•海南)已知曲线.
A.若,则是椭圆,其焦点在轴上
B.若,则是圆,其半径为
C.若,则是双曲线,其渐近线方程为
D.若,,则是两条直线
47.(2022•上海)设有椭圆方程,直线,下端点为,在上,左、右焦点分别为,、,.
(1),中点在轴上,求点的坐标;
(2)直线与轴交于,直线经过右焦点,在中有一内角余弦值为,求;
(3)在椭圆上存在一点到距离为,使,随的变化,求的最小值.
48.(2022•浙江)如图,已知椭圆.设,是椭圆上异于的两点,且点在线段上,直线,分别交直线于,两点.
(Ⅰ)求点到椭圆上点的距离的最大值;
(Ⅱ)求的最小值.
49.(2021•新高考Ⅱ)已知椭圆的方程为,右焦点为,,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,是椭圆上的两点,直线与曲线相切.证明:,,三点共线的充要条件是.
50.(2021•浙江)如图,已知是抛物线的焦点,是抛物线的准线与轴的交点,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程:
(Ⅱ)设过点的直线交抛物线于,两点,若斜率为2的直线与直线,,,轴依次交于点,,,,且满足,求直线在轴上截距的取值范围.
考点十二 圆锥曲线的轨迹问题
51.(2021•浙江)已知,,,函数.若,,成等比数列,则平面上点的轨迹是
A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线
52.(2020•上海)已知椭圆,作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点,作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点,且,两垂线相交于点,则点的轨迹是
A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线
53.(2023•新高考Ⅰ)在直角坐标系中,点到轴的距离等于点到点的距离,记动点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)已知矩形有三个顶点在上,证明:矩形的周长大于.
五年(2019-2023)年高考真题分项汇编
专题05 平面解析几何
考点一 两条平行直线间的距离
1.(2020•上海)已知直线,,若,则与的距离为 .
【解析】直线,,
当时,,解得;
当时与重合,不满足题意;
当时,此时,;
则与的距离为.
故答案为:.
考点二 圆的一般方程
2.(2021•上海)若,求圆心坐标为 .
【解析】由,可得圆的标准方程为,
所以圆心坐标为.
故答案为:.
3.(2023•上海)已知圆的面积为,则 .
【解析】圆化为标准方程为:,
圆的面积为,圆的半径为1,
,
.
故答案为:.
考点三 直线与圆的位置关系
4.【多选】(2021•新高考Ⅱ)已知直线与圆,点,则下列说法正确的是
A.若点在圆上,则直线与圆相切
B.若点在圆外,则直线与圆相离
C.若点在直线上,则直线与圆相切
D.若点在圆内,则直线与圆相离
【解析】中,若在圆上,则,而圆心到直线的距离,所以直线与圆相切,即正确;
中,点在圆外,则,而圆心到直线的距离,所以直线与圆相交,所以不正确;
中,点在直线上,则,而圆心到直线的距离,所以直线与圆相切,所以正确;
中,点在圆内,则,而圆心到直线的距离,所以直线与圆相离,所以正确;
故选:.
5.【多选】(2021•新高考Ⅰ)已知点在圆上,点,,则
A.点到直线的距离小于10B.点到直线的距离大于2
C.当最小时,D.当最大时,
【解析】,,
过、的直线方程为,即,
圆的圆心坐标为,
圆心到直线的距离,
点到直线的距离的范围为,,
,,,
点到直线的距离小于10,但不一定大于2,故正确,错误;
如图,当过的直线与圆相切时,满足最小或最大点位于时最小,位于时最大),
此时,
,故正确.
故选:.
6.(2022•新高考Ⅱ)设点,,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则的取值范围是 .
【解析】点,,,所以直线关于对称的直线的斜率为:,所以对称直线方程为:,即:,
的圆心,半径为1,
所以,得,解得,.
故答案为:,.
7.(2022•上海)设集合,,
①存在直线,使得集合中不存在点在上,而存在点在两侧;
②存在直线,使得集合中存在无数点在上;
A.①成立②成立B.①成立②不成立
C.①不成立②成立D.①不成立②不成立
【解析】当时,集合,,,
当时,集合,,,
表示圆心为,半径为的圆,
圆的圆心在直线上,半径单调递增,
相邻两个圆的圆心距,相邻两个圆的半径之和为,
因为有解,故相邻两个圆之间的位置关系可能相离,
当时,同的情况,故存在直线,使得集合中不存在点在上,而存在点在两侧,故①正确,
若直线斜率不存在,显然不成立,
设直线,若考虑直线与圆的焦点个数,
,,
给定,,当足够大时,均有,
故直线只与有限个圆相交,②错误.
故选:.
8.(2023•新高考Ⅱ)已知直线与交于,两点,写出满足“面积为”的的一个值 .
【解析】由圆,可得圆心坐标为,半径为,
因为的面积为,可得,
解得,设所以,
可得,,或,
或,
圆心眼到直线的距离或,
或,
解得或.
故答案为:2(或或或.
考点四 圆的切线方程
9.(2023•新高考Ⅰ)过点与圆相切的两条直线的夹角为,则
A.1B.C.D.
【解析】圆可化为,则圆心,半径为;
设,切线为、,则,
中,,所以,
所以.
故选:.
10.(2019•浙江)已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆相切于点,则 , .
【解析】如图,
由圆心与切点的连线与切线垂直,得,解得.
圆心为,则半径.
故答案为:,.
11.(2022•新高考Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程 .
【解析】圆的圆心坐标为,半径,
圆的圆心坐标为,半径,
如图:
,两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条.
,的斜率为,设直线,即,
由,解得(负值舍去),则;
由图可知,;与关于直线对称,
联立,解得与的一个交点为,在上取一点,
该点关于的对称点为,,则,解得对称点为,.
,则,即.
与圆和都相切的一条直线的方程为:
(填,都正确).
故答案为:(填,都正确).
12.(2020•浙江)已知直线与圆和圆均相切,则 , .
【解析】由条件得,,,,
因为直线与,都相切,
故有,,
则有,故可得,整理得,
因为,所以,即,
代入,解得,则,
故答案为:;.
考点五 椭圆的性质
13.(2023•新高考Ⅰ)设椭圆,的离心率分别为,.若,则
A.B.C.D.
【解析】由椭圆可得,,,
椭圆的离心率为,
,,,
,
或(舍去).
故选:.
14.(2021•新高考Ⅰ)已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为
A.13B.12C.9D.6
【解析】,是椭圆的两个焦点,点在上,,
所以,当且仅当时,取等号,
所以的最大值为9.
故选:.
15.(2023•新高考Ⅱ)已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和,直线与交于点,两点,若△面积是△面积的两倍,则
A.B.C.D.
【解析】记直线与轴交于,
椭圆的左,右焦点分别为,,,,
由△面积是△的2倍,可得,
,解得或,
或,或,
联立可得,,
直线与相交,所以△,解得,
不符合题意,
故.
故选:.
16.(2022•新高考Ⅱ)已知直线与椭圆在第一象限交于,两点,与轴、轴分别相交于,两点,且,,则的方程为 .
【解析】设,,,,线段的中点为,
由,,
相减可得:,
则,
设直线的方程为:,,,,,,
,,,
,解得,
,,化为:.
,,解得.
的方程为,即,
故答案为:.
17.(2021•上海)已知椭圆的左、右焦点为、,以为顶点,为焦点作抛物线交椭圆于,且,则抛物线的准线方程是 .
【解析】设,,则抛物线,
直线,联立方程组,解得,,
所以点的坐标为,所以,又
所以,
则,
所以抛物线的准线方程为:,
故答案为:.
18.(2021•浙江)已知椭圆,焦点,,.若过的直线和圆相切,与椭圆的第一象限交于点,且轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
【解析】直线斜率不存在时,直线与圆不相切,不符合题意;
由直线过,设直线的方程为,
直线和圆相切,
圆心到直线的距离与半径相等,
,解得,
将代入,可得点坐标为,
,
,,
.
故答案为:.
19.(2019•浙江)已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方.若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是 .
【解析】椭圆的,,,,
设椭圆的右焦点为,连接,
线段的中点在以原点为圆心,2为半径的圆,
连接,可得,
设的坐标为,可得,可得,,
由,可得直线的斜率为
.
另解:由,,,
可得,
,
可得直线的斜率为.
故答案为:.
20.(2019•上海)已知椭圆,,为左、右焦点,直线过交椭圆于,两点.
(1)若直线垂直于轴,求;
(2)当时,在轴上方时,求、的坐标;
(3)若直线交轴于,直线交轴于,是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)依题意,,当轴时,则,,得;
(2)设,,,
,
又在椭圆上,满足,即,
,解得,即.
直线,
联立,解得,;
(3)设,,,,,,
直线,
则,
.
联立,得.
则,.
由直线的方程:,得纵坐标;
由直线的方程:,得的纵坐标.
若,即,
,
,,
代入根与系数的关系,得,解得.
存在直线或满足题意.
考点六 直线与椭圆的综合
21.(2022•新高考Ⅰ)已知椭圆,的上顶点为,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于,两点,,则的周长是 .
【解析】椭圆的离心率为,
不妨可设椭圆,,
的上顶点为,两个焦点为,,
△为等边三角形,
过且垂直于的直线与交于,两点,
,
由等腰三角形的性质可得,,,
设直线方程为,,,,,
将其与椭圆联立化简可得,,
由韦达定理可得,,,
,解得,
的周长等价于.
故答案为:13.
22.(2020•海南)已知椭圆过点,点为其左顶点,且的斜率为.
(1)求的方程;
(2)点为椭圆上任意一点,求的面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知直线的方程为:,
即,
当时,解得,所以,
椭圆过点,
可得,解得,
所以的方程:.
(2)设与直线平行的直线方程为:,当直线与椭圆相切时,与距离比较远的直线与椭圆的切点为,此时的面积取得最大值.
代入椭圆方程:.
化简可得:,所以△,即,解得,
与距离比较远的直线方程:,
利用平行线之间的距离为:,
.
所以的面积的最大值:.
23.(2020•山东)已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求的方程;
(2)点,在上,且,,为垂足.证明:存在定点,使得为定值.
【解析】(1)离心率,
,
又,
,,
把点代入椭圆方程得,,解得,
故椭圆的方程为.
(2)①当直线的斜率存在时,设其方程为,
联立,得,
由△,知,
设,,,,则,,
,,,,即,
,化简整理得,,
或,
当时,,过定点,不符合题意,舍去;
当时,,过定点.
,点在以为直径的圆上,
故当点为的中点,即,时,,为定值;
②当直线的斜率不存在时,设其方程为,,,且,
,,,,解得或2(舍,
,,此时,为定值.
综上所述,存在定点,,使得为定值,且该定值为.
考点七 双曲线的性质
24.(2022•上海)双曲线的实轴长为 .
【解析】由双曲线,可知:,
所以双曲线的实轴长.
故答案为:6.
25.(2019•浙江)渐近线方程为的双曲线的离心率是
A.B.1C.D.2
【解析】根据渐近线方程为的双曲线,可得,所以
则该双曲线的离心率为,
故选:.
26.(2021•新高考Ⅱ)已知双曲线的离心率,则该双曲线的渐近线方程为 .
【解析】双曲线的方程是,
双曲线渐近线为
又离心率为,可得
,即,可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为:
27.(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线的左、右焦点分别为,.点在上,点在轴上,,,则的离心率为 .
【解析】(法一)如图,设,,,
设,则,
又,则,可得,
又,且,
则,化简得.
又点在上,
则,整理可得,
代,可得,即,
解得或(舍去),
故.
(法二)由,得,
设,由对称性可得,
则,
设,则,
所以,解得,
所以,
在△ 中,由余弦定理可得,
即,则.
故答案为:.
28.(2022•浙江)已知双曲线的左焦点为,过且斜率为的直线交双曲线于点,,交双曲线的渐近线于点,且.若,则双曲线的离心率是 .
【解析】(法一)如图,过点作轴于点,过点作轴于点,
由于,且,则点在渐近线上,不妨设,
设直线的倾斜角为,则,则,即,则,
,
又,则,
又,则,则,
点的坐标为,
,即,
.
(法二)由,解得,
又,
所以点的纵坐标为,
代入方程中,解得,
所以,代入双曲线方程中,可得,
所以.
故答案为:.
考点八 直线与双曲线的综合
29.(2022•新高考Ⅰ)已知点在双曲线上,直线交于,两点,直线,的斜率之和为0.
(1)求的斜率;
(2)若,求的面积.
【解析】(1)将点代入双曲线方程得,
化简得,,故双曲线方程为,
由题显然直线的斜率存在,设,设,,,
则联立双曲线得:,
故,,
,
化简得:,
故,
即,而直线不过点,故;
(2)设直线的倾斜角为,由,
,得
由,,
得,即,
联立,及得,
同理,
故,
而,由,得,
故.
30.(2021•新高考Ⅰ)在平面直角坐标系中,已知点,,,,点满足.记的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)设点在直线上,过的两条直线分别交于,两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和.
【解析】(1)由双曲线的定义可知,的轨迹是双曲线的右支,设的方程为,
根据题意,解得,
的方程为;
(2)(法一)设,直线的参数方程为,
将其代入的方程并整理可得,,
由参数的几何意义可知,,,则,
设直线的参数方程为,,,同理可得,,
依题意,,则,
又,故,则,即直线的斜率与直线的斜率之和为0.
(法二)设,直线的方程为,,,,,设,
将直线方程代入的方程化简并整理可得,,
由韦达定理有,,
又由可得,
同理可得,
,
设直线的方程为,设,
同理可得,
又,则,化简可得,
又,则,即,即直线的斜率与直线的斜率之和为0.
31.(2022•新高考Ⅱ)已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为.
(1)求的方程;
(2)过的直线与的两条渐近线分别交于,两点,点,,,在上,且,.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①在上;②;③.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
【解析】(1)由题意可得,,
解得,,
因此的方程为,
(2)解法一:设直线的方程为,,将直线的方程代入可得,
△,
,,
,
,
设点的坐标为,,则,
两式相减可得,
,
,
解得,
两式相加可得,
,
,
解得,
,其中为直线的斜率;
若选择①②:
设直线的方程为,并设的坐标为,,的坐标为,,
则,解得,,
同理可得,,
,,
此时点的坐标满足,解得,,
为的中点,即;
若选择①③:
当直线的斜率不存在时,点即为点,此时不在直线上,矛盾,
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,并设的坐标为,,的坐标为,,
则,解得,,
同理可得,,
此时,
,
由于点同时在直线上,故,解得,
因此.
若选择②③,
设直线的方程为,并设的坐标为,,的坐标为,,
则,解得,,
同理可得,,
设的中点,,则,,
由于,故在的垂直平分线上,即点在直线上,
将该直线联立,解得,,
即点恰为中点,故点在直线上.
(2)解法二:由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,
若选由①②③,或选由②③①:由②成立可知直线的斜率存在且不为0.
若选①③②,则为线段的中点,假设的斜率不存在,
则由双曲线的对称性可知在轴上,即为焦点,
此时由对称性可知、关于轴对称,从而,已知不符.
综上,直线的斜率存在且不为0,
直线的斜率为,直线的方程为.
则条件①在直线上,等价于,
两渐近线的方程合并为,
联立方程组,消去并化简得:,
设,,,,线段中点为,,
则.,
设,,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得:
,
,
,
,
,
,
由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,
由,,
,
直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程为,即中,
得,
解得的横坐标为,
同理,,,
,
条件②等价于,
综上所述:
条件①在上等价于,
条件②等价于,
条件③等价于.
选①②③:
由①②解得,③成立;
选①③②:
由①③解得:,,,②成立;
选②③①:
由②③解得:,,,①成立.
32.(2020•上海)已知双曲线与圆交于点,(第一象限),曲线为、上取满足的部分.
(1)若,求的值;
(2)当,与轴交点记作点、,是曲线上一点,且在第一象限,且,求;
(3)过点斜率为的直线与曲线只有两个交点,记为、,用表示,并求的取值范围.
【解析】(1)由,点为曲线与曲线的交点,联立,解得,;
(2)由题意可得,为曲线的两个焦点,
由双曲线的定义可得,又,,
所以,因为,则,
所以,
在△中,由余弦定理可得
,
由,可得;
(3)设直线,可得原点到直线的距离,
所以直线是圆的切线,设切点为,
所以,并设与圆联立,可得,
可得,,即,
注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行,
所以只有当时,直线才能与曲线有两个交点,
由,可得,
所以有,解得或(舍去),
因为为在上的投影可得,,
所以,
则,.
33.(2023•新高考Ⅱ)已知双曲线中心为坐标原点,左焦点为,,离心率为.
(1)求的方程;
(2)记的左、右顶点分别为,,过点的直线与的左支交于,两点,在第二象限,直线与交于,证明在定直线上.
【解析】(1)双曲线中心为原点,左焦点为,,离心率为,
则,解得,
故双曲线的方程为;
(2)证明:过点的直线与的左支交于,两点,
则可设直线的方程为,,,,,
记的左,右顶点分别为,,
则,,
联立,化简整理可得,,
故△且,
,,
直线的方程为,直线方程,
故
,
故,解得,
所以,
故点在定直线上运动.
考点九.抛物线的性质
(2021•新高考Ⅱ)若抛物线的焦点到直线的距离为,则
A.1B.2C.D.4
【解析】抛物线的焦点,到直线的距离为,
可得,解得.
故选:.
35.【多选】(2022•新高考Ⅱ)已知为坐标原点,过抛物线焦点的直线与交于,两点,其中在第一象限,点.若,则
A.直线的斜率为B.
C.D.
【解析】如图,
,,,且,,,
由抛物线焦点弦的性质可得,则,则,,
,故正确;
,,,故错误;
,故正确;
,,,,,
,,
,均为锐角,可得,故正确.
故选:.
36.(2021•上海)已知抛物线,若第一象限的,在抛物线上,焦点为,,,,求直线的斜率为 .
【解析】如图所示,设抛物线的准线为,作于点,于点,于点,
由抛物线的定义,可得,,
,
直线的斜率.
故答案为:.
37.(2021•新高考Ⅰ)已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且.若,则的准线方程为 .
【解析】法一:由题意,不妨设在第一象限,则,,,.
所以,所以的方程为:,
时,,
,所以,解得,
所以抛物线的准线方程为:.
法二:根据射影定理,可得,可得,解得,
因此,抛物线的准线方程为:.
故答案为:.
38.(2020•山东)斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则 .
【解析】由题意可得抛物线焦点,直线的方程为,
代入并化简得,
设,,,,则;
,
由抛物线的定义可得.
故答案为:.
39.(2019•上海)过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于,,在上方,为抛物线上一点,,则 .
【解析】过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于,,在上方,
依题意:得到:,,,
设点,
所以:为抛物线上一点,,
则:,,,,,
代入,
得到:.
故答案为:3
考点十 直线与抛物线的综合
40.【多选】(2023•新高考Ⅱ)设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,为的准线,则
A.B.
C.以为直径的圆与相切D.为等腰三角形
【解析】直线过抛物线的焦点,可得,所以,
所以正确;
抛物线方程为:,与交于,两点,
直线方程代入抛物线方程可得:,
,
所以,所以不正确;
,的中点的横坐标:,中点到抛物线的准线的距离为:,
所以以为直径的圆与相切,所以正确;
,
不妨可得,,,,
,,,
所以不是等腰三角形,所以不正确.
故选:.
41.【多选】(2022•新高考Ⅰ)已知为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交于,两点,则
A.的准线为B.直线与相切
C.D.
【解析】点在抛物线上,
,解得,
抛物线的方程为,准线方程为,选项错误;
由于,,则,直线的方程为,
联立,可得,解得,故直线与抛物线相切,选项正确;
根据对称性及选项的分析,不妨设过点的直线方程为,与抛物线在第一象限交于,,,,
联立,消去并整理可得,则,,,
,由于等号在时才能取到,故等号不成立,选项正确;
,选项正确.
故选:.
42.(2023•上海)已知抛物线,在上有一点位于第一象限,设的纵坐标为.
(1)若到抛物线准线的距离为3,求的值;
(2)当时,若轴上存在一点,使的中点在抛物线上,求到直线的距离;
(3)直线,抛物线上有一异于点的动点,在直线上的投影为点,直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中,恒成立,求的取值范围.
【解析】(1)抛物线的准线为,
由于到抛物线准线的距离为3,
则点的横坐标为2,则,
解得;
(2)当时,点的横坐标为,则,
设,则的中点为,
由题意可得,解得,
所以,
则,
由点斜式可得,直线的方程为,即,
所以原点到直线的距离为;
(3)如图,
设,则,
故直线的方程为,
令,可得,即,
则,
依题意,恒成立,
又,
则最小值为,即,即,
则,解得,
又当时,,当且仅当时等号成立,
而,即当时,也符合题意.
故实数的取值范围为,.
43.(2020•浙江)如图,已知椭圆,抛物线,点是椭圆与抛物线的交点,过点的直线交椭圆于点,交抛物线于点,不同于.
(Ⅰ)若,求抛物线的焦点坐标;
(Ⅱ)若存在不过原点的直线使为线段的中点,求的最大值.
【解析】(Ⅰ),则,则抛物线的焦点坐标,,
(Ⅱ)直线与轴垂直时,此时点与点或点重合,不满足题意,
设直线的方程为,,,,,,,
由,消可得,
△,即,
,,
,,,
点在抛物线上,,
,
联立,解得,,
代入椭圆方程可得,解得
,
,当且仅当,即,时等号成立,
故的最大值为.
44.(2019•浙江)如图,已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于,两点,点在抛物线上,使得的重心在轴上,直线交轴于点,且在点的右侧.记,的面积分别为,.
(Ⅰ)求的值及抛物线的准线方程;
(Ⅱ)求的最小值及此时点的坐标.
【解析】(Ⅰ)由抛物线的性质可得:,
,
抛物线的准线方程为;
(Ⅱ)设,,,,,,重心,,
令,,则,
由于直线过,故直线的方程为,
代入,得:,
,即,,,
又,,重心在轴上,
,
,,,,
直线的方程为,得,,
在焦点的右侧,,
,
令,则,
,
当时,取得最小值为,此时.
考点十一 圆锥曲线的综合
45.(2020•浙江)已知点,,.设点满足,且为函数图象上的点,则
A.B.C.D.
【解析】点 ,, .设点满足,
可知的轨迹是双曲线的右支上的点,
为函数图象上的点,即在第一象限的点,
联立两个方程,解得,,
所以.
故选:.
46.【多选】(2020•海南)已知曲线.
A.若,则是椭圆,其焦点在轴上
B.若,则是圆,其半径为
C.若,则是双曲线,其渐近线方程为
D.若,,则是两条直线
【解析】.若,则,则根据椭圆定义,知表示焦点在轴上的椭圆,故正确;
.若,则方程为,表示半径为的圆,故错误;
.若,,则方程为,表示焦点在轴的双曲线,故此时渐近线方程为,
若,,则方程为,表示焦点在轴的双曲线,故此时渐近线方程为,
故正确;
.当,时,则方程为表示两条直线,故正确;
故选:.
47.(2022•上海)设有椭圆方程,直线,下端点为,在上,左、右焦点分别为,、,.
(1),中点在轴上,求点的坐标;
(2)直线与轴交于,直线经过右焦点,在中有一内角余弦值为,求;
(3)在椭圆上存在一点到距离为,使,随的变化,求的最小值.
【解析】(1)由题意可得,
,
的中点在轴上,
的纵坐标为,
代入得.
(2)由直线方程可知,
①若,则,即,
,
.
②若,则,
,,
,.
即,,,
综上或.
(3)设,
由点到直线距离公式可得,
很明显椭圆在直线的左下方,则,
即,
,,
据此可得,,
整理可得,即,
从而.
即的最小值为.
48.(2022•浙江)如图,已知椭圆.设,是椭圆上异于的两点,且点在线段上,直线,分别交直线于,两点.
(Ⅰ)求点到椭圆上点的距离的最大值;
(Ⅱ)求的最小值.
【解析】(Ⅰ)设椭圆上任意一点,则,,,
而函数的对称轴为,则其最大值为,
,即点到椭圆上点的距离的最大值为;
(Ⅱ)设直线,
联立直线与椭圆方程有,消去并整理可得,,
由韦达定理可得,,
,
设,,,,直线,直线,
联立以及,
可得,
由弦长公式可得
,
当且仅当时等号成立,
的最小值为.
49.(2021•新高考Ⅱ)已知椭圆的方程为,右焦点为,,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,是椭圆上的两点,直线与曲线相切.证明:,,三点共线的充要条件是.
【解析】(Ⅰ)解:由题意可得,椭圆的离心率,又,
所以,则,
故椭圆的标准方程为;
(Ⅱ)证明:先证明充分性,
当时,设直线的方程为,
此时圆心到直线的距离,则,
联立方程组,可得,
则△,
因为,
所以,,
因为直线与曲线相切,
所以,则,
则直线的方程为恒过焦点,
故,,三点共线,
所以充分性得证.
若,,三点共线时,设直线的方程为,
则圆心到直线的距离为,解得,
联立方程组,可得,
即,
所以;
所以必要性成立;
综上所述,,,三点共线的充要条件是.
50.(2021•浙江)如图,已知是抛物线的焦点,是抛物线的准线与轴的交点,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程:
(Ⅱ)设过点的直线交抛物线于,两点,若斜率为2的直线与直线,,,轴依次交于点,,,,且满足,求直线在轴上截距的取值范围.
【解析】(Ⅰ)依题意,,故抛物线的方程为;
(Ⅱ)由题意得,直线的斜率存在且不为零,设直线,
将直线方程代入抛物线方程可得,,
则由韦达定理有,,则,
设直线,其中,设直线,其中,
则,
,
设直线,
联立,可得,则,
联立,可得,则,
同理可得,,
又,
,即,
,
,即,解得或;
当直线的斜率不存在时,则直线,,,,
直线的方程为,直线的方程为,
设直线,则,,,,
又,故,
解得满足.
直线在轴上截距的取值范围为.
考点十二 圆锥曲线的轨迹问题
51.(2021•浙江)已知,,,函数.若,,成等比数列,则平面上点的轨迹是
A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线
【解析】函数,因为,,成等比数列,
则,即,
即,
整理可得,
因为,故,即,
所以或,
当时,点的轨迹是直线;
当,即,因为,故点的轨迹是双曲线.
综上所述,平面上点的轨迹是直线或双曲线.
故选:.
52.(2020•上海)已知椭圆,作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点,作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点,且,两垂线相交于点,则点的轨迹是
A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线
【解析】,,判断轨迹为上下两支,即选双曲线,
设,,
所以,
因为,,消去可得:,
故选:.
53.(2023•新高考Ⅰ)在直角坐标系中,点到轴的距离等于点到点的距离,记动点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)已知矩形有三个顶点在上,证明:矩形的周长大于.
【解析】(1)设点点坐标为,由题意得,
两边平方可得:,
化简得:,符合题意.
故的方程为.
(2)解法一:不妨设,,三点在上,且.
设,,,
则,.
由题意,,即,
显然,于是.
此时,..于是,.
不妨设,则,
则
.
设,则,即,
又.
显然,为最小值点.故,
故矩形的周长为.
注意这里有两个取等条件,一个是,另一个是,
这显然是无法同时取到的,所以等号不成立,命题得证.
解法二:不妨设,,在抛物线上,不在抛物线上,欲证命题为.
由图象的平移可知,将抛物线看作不影响问题的证明.
设,,平移坐标系使为坐标原点,
则新抛物线方程为,写为极坐标方程,
即,即.
欲证明的结论为,
也即.
不妨设,将不等式左边看成关于的函数,根据绝对值函数的性质,
其最小值当即时取得,
因此欲证不等式为,即,
根据均值不等式,有
,
由题意,等号不成立,故原命题得证.