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    备战2024年高考数学真题分项汇编(新高考通用)专题05平面解析几何(原卷版+解析)

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    备战2024年高考数学真题分项汇编(新高考通用)专题05平面解析几何(原卷版+解析)

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    这是一份备战2024年高考数学真题分项汇编(新高考通用)专题05平面解析几何(原卷版+解析),共59页。试卷主要包含了两条平行直线间的距离,圆的一般方程,直线与圆的位置关系,圆的切线方程,椭圆的性质,直线与椭圆的综合,直线与双曲线的综合,直线与抛物线的综合等内容,欢迎下载使用。

    考点一 两条平行直线间的距离
    1.(2020•上海)已知直线,,若,则与的距离为 .
    考点二 圆的一般方程
    2.(2021•上海)若,求圆心坐标为 .
    3.(2023•上海)已知圆的面积为,则 .
    考点三 直线与圆的位置关系
    4.【多选】(2021•新高考Ⅱ)已知直线与圆,点,则下列说法正确的是
    A.若点在圆上,则直线与圆相切
    B.若点在圆外,则直线与圆相离
    C.若点在直线上,则直线与圆相切
    D.若点在圆内,则直线与圆相离
    5.【多选】(2021•新高考Ⅰ)已知点在圆上,点,,则
    A.点到直线的距离小于10B.点到直线的距离大于2
    C.当最小时,D.当最大时,
    6.(2022•新高考Ⅱ)设点,,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则的取值范围是 .
    7.(2022•上海)设集合,,
    ①存在直线,使得集合中不存在点在上,而存在点在两侧;
    ②存在直线,使得集合中存在无数点在上;
    A.①成立②成立B.①成立②不成立
    C.①不成立②成立D.①不成立②不成立
    8.(2023•新高考Ⅱ)已知直线与交于,两点,写出满足“面积为”的的一个值 .
    考点四 圆的切线方程
    9.(2023•新高考Ⅰ)过点与圆相切的两条直线的夹角为,则
    A.1B.C.D.
    10.(2019•浙江)已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆相切于点,则 , .
    11.(2022•新高考Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程 .
    12.(2020•浙江)已知直线与圆和圆均相切,则 , .
    考点五 椭圆的性质
    13.(2023•新高考Ⅰ)设椭圆,的离心率分别为,.若,则
    A.B.C.D.
    14.(2021•新高考Ⅰ)已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为
    A.13B.12C.9D.6
    15.(2023•新高考Ⅱ)已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和,直线与交于点,两点,若△面积是△面积的两倍,则
    A.B.C.D.
    16.(2022•新高考Ⅱ)已知直线与椭圆在第一象限交于,两点,与轴、轴分别相交于,两点,且,,则的方程为 .
    17.(2021•上海)已知椭圆的左、右焦点为、,以为顶点,为焦点作抛物线交椭圆于,且,则抛物线的准线方程是 .
    18.(2021•浙江)已知椭圆,焦点,,.若过的直线和圆相切,与椭圆的第一象限交于点,且轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
    19.(2019•浙江)已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方.若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是 .
    20.(2019•上海)已知椭圆,,为左、右焦点,直线过交椭圆于,两点.
    (1)若直线垂直于轴,求;
    (2)当时,在轴上方时,求、的坐标;
    (3)若直线交轴于,直线交轴于,是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
    考点六 直线与椭圆的综合
    21.(2022•新高考Ⅰ)已知椭圆,的上顶点为,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于,两点,,则的周长是 .
    22.(2020•海南)已知椭圆过点,点为其左顶点,且的斜率为.
    (1)求的方程;
    (2)点为椭圆上任意一点,求的面积的最大值.
    23.(2020•山东)已知椭圆的离心率为,且过点.
    (1)求的方程;
    (2)点,在上,且,,为垂足.证明:存在定点,使得为定值.
    考点七 双曲线的性质
    24.(2022•上海)双曲线的实轴长为 .
    25.(2019•浙江)渐近线方程为的双曲线的离心率是
    A.B.1C.D.2
    26.(2021•新高考Ⅱ)已知双曲线的离心率,则该双曲线的渐近线方程为 .
    27.(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线的左、右焦点分别为,.点在上,点在轴上,,,则的离心率为 .
    28.(2022•浙江)已知双曲线的左焦点为,过且斜率为的直线交双曲线于点,,交双曲线的渐近线于点,且.若,则双曲线的离心率是 .
    考点八 直线与双曲线的综合
    29.(2022•新高考Ⅰ)已知点在双曲线上,直线交于,两点,直线,的斜率之和为0.
    (1)求的斜率;
    (2)若,求的面积.
    30.(2021•新高考Ⅰ)在平面直角坐标系中,已知点,,,,点满足.记的轨迹为.
    (1)求的方程;
    (2)设点在直线上,过的两条直线分别交于,两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和.
    31.(2022•新高考Ⅱ)已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为.
    (1)求的方程;
    (2)过的直线与的两条渐近线分别交于,两点,点,,,在上,且,.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
    ①在上;②;③.
    注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
    32.(2020•上海)已知双曲线与圆交于点,(第一象限),曲线为、上取满足的部分.
    (1)若,求的值;
    (2)当,与轴交点记作点、,是曲线上一点,且在第一象限,且,求;
    (3)过点斜率为的直线与曲线只有两个交点,记为、,用表示,并求的取值范围.
    33.(2023•新高考Ⅱ)已知双曲线中心为坐标原点,左焦点为,,离心率为.
    (1)求的方程;
    (2)记的左、右顶点分别为,,过点的直线与的左支交于,两点,在第二象限,直线与交于,证明在定直线上.
    考点九.抛物线的性质
    (2021•新高考Ⅱ)若抛物线的焦点到直线的距离为,则

    A.1B.2C.D.4
    35.【多选】(2022•新高考Ⅱ)已知为坐标原点,过抛物线焦点的直线与交于,两点,其中在第一象限,点.若,则
    A.直线的斜率为B.
    C.D.
    36.(2021•上海)已知抛物线,若第一象限的,在抛物线上,焦点为,,,,求直线的斜率为 .
    37.(2021•新高考Ⅰ)已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且.若,则的准线方程为 .
    38.(2020•山东)斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则 .
    39.(2019•上海)过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于,,在上方,为抛物线上一点,,则 .
    考点十 直线与抛物线的综合
    40.【多选】(2023•新高考Ⅱ)设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,为的准线,则
    A.B.
    C.以为直径的圆与相切D.为等腰三角形
    41.【多选】(2022•新高考Ⅰ)已知为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交于,两点,则
    A.的准线为B.直线与相切
    C.D.
    42.(2023•上海)已知抛物线,在上有一点位于第一象限,设的纵坐标为.
    (1)若到抛物线准线的距离为3,求的值;
    (2)当时,若轴上存在一点,使的中点在抛物线上,求到直线的距离;
    (3)直线,抛物线上有一异于点的动点,在直线上的投影为点,直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中,恒成立,求的取值范围.
    43.(2020•浙江)如图,已知椭圆,抛物线,点是椭圆与抛物线的交点,过点的直线交椭圆于点,交抛物线于点,不同于.
    (Ⅰ)若,求抛物线的焦点坐标;
    (Ⅱ)若存在不过原点的直线使为线段的中点,求的最大值.
    44.(2019•浙江)如图,已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于,两点,点在抛物线上,使得的重心在轴上,直线交轴于点,且在点的右侧.记,的面积分别为,.
    (Ⅰ)求的值及抛物线的准线方程;
    (Ⅱ)求的最小值及此时点的坐标.
    考点十一 圆锥曲线的综合
    45.(2020•浙江)已知点,,.设点满足,且为函数图象上的点,则
    A.B.C.D.
    46.【多选】(2020•海南)已知曲线.
    A.若,则是椭圆,其焦点在轴上
    B.若,则是圆,其半径为
    C.若,则是双曲线,其渐近线方程为
    D.若,,则是两条直线
    47.(2022•上海)设有椭圆方程,直线,下端点为,在上,左、右焦点分别为,、,.
    (1),中点在轴上,求点的坐标;
    (2)直线与轴交于,直线经过右焦点,在中有一内角余弦值为,求;
    (3)在椭圆上存在一点到距离为,使,随的变化,求的最小值.
    48.(2022•浙江)如图,已知椭圆.设,是椭圆上异于的两点,且点在线段上,直线,分别交直线于,两点.
    (Ⅰ)求点到椭圆上点的距离的最大值;
    (Ⅱ)求的最小值.
    49.(2021•新高考Ⅱ)已知椭圆的方程为,右焦点为,,且离心率为.
    (Ⅰ)求椭圆的方程;
    (Ⅱ)设,是椭圆上的两点,直线与曲线相切.证明:,,三点共线的充要条件是.
    50.(2021•浙江)如图,已知是抛物线的焦点,是抛物线的准线与轴的交点,且.
    (Ⅰ)求抛物线的方程:
    (Ⅱ)设过点的直线交抛物线于,两点,若斜率为2的直线与直线,,,轴依次交于点,,,,且满足,求直线在轴上截距的取值范围.
    考点十二 圆锥曲线的轨迹问题
    51.(2021•浙江)已知,,,函数.若,,成等比数列,则平面上点的轨迹是
    A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线
    52.(2020•上海)已知椭圆,作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点,作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点,且,两垂线相交于点,则点的轨迹是
    A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线
    53.(2023•新高考Ⅰ)在直角坐标系中,点到轴的距离等于点到点的距离,记动点的轨迹为.
    (1)求的方程;
    (2)已知矩形有三个顶点在上,证明:矩形的周长大于.
    五年(2019-2023)年高考真题分项汇编
    专题05 平面解析几何
    考点一 两条平行直线间的距离
    1.(2020•上海)已知直线,,若,则与的距离为 .
    【解析】直线,,
    当时,,解得;
    当时与重合,不满足题意;
    当时,此时,;
    则与的距离为.
    故答案为:.
    考点二 圆的一般方程
    2.(2021•上海)若,求圆心坐标为 .
    【解析】由,可得圆的标准方程为,
    所以圆心坐标为.
    故答案为:.
    3.(2023•上海)已知圆的面积为,则 .
    【解析】圆化为标准方程为:,
    圆的面积为,圆的半径为1,


    故答案为:.
    考点三 直线与圆的位置关系
    4.【多选】(2021•新高考Ⅱ)已知直线与圆,点,则下列说法正确的是
    A.若点在圆上,则直线与圆相切
    B.若点在圆外,则直线与圆相离
    C.若点在直线上,则直线与圆相切
    D.若点在圆内,则直线与圆相离
    【解析】中,若在圆上,则,而圆心到直线的距离,所以直线与圆相切,即正确;
    中,点在圆外,则,而圆心到直线的距离,所以直线与圆相交,所以不正确;
    中,点在直线上,则,而圆心到直线的距离,所以直线与圆相切,所以正确;
    中,点在圆内,则,而圆心到直线的距离,所以直线与圆相离,所以正确;
    故选:.
    5.【多选】(2021•新高考Ⅰ)已知点在圆上,点,,则
    A.点到直线的距离小于10B.点到直线的距离大于2
    C.当最小时,D.当最大时,
    【解析】,,
    过、的直线方程为,即,
    圆的圆心坐标为,
    圆心到直线的距离,
    点到直线的距离的范围为,,
    ,,,
    点到直线的距离小于10,但不一定大于2,故正确,错误;
    如图,当过的直线与圆相切时,满足最小或最大点位于时最小,位于时最大),
    此时,
    ,故正确.
    故选:.
    6.(2022•新高考Ⅱ)设点,,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则的取值范围是 .
    【解析】点,,,所以直线关于对称的直线的斜率为:,所以对称直线方程为:,即:,
    的圆心,半径为1,
    所以,得,解得,.
    故答案为:,.
    7.(2022•上海)设集合,,
    ①存在直线,使得集合中不存在点在上,而存在点在两侧;
    ②存在直线,使得集合中存在无数点在上;
    A.①成立②成立B.①成立②不成立
    C.①不成立②成立D.①不成立②不成立
    【解析】当时,集合,,,
    当时,集合,,,
    表示圆心为,半径为的圆,
    圆的圆心在直线上,半径单调递增,
    相邻两个圆的圆心距,相邻两个圆的半径之和为,
    因为有解,故相邻两个圆之间的位置关系可能相离,
    当时,同的情况,故存在直线,使得集合中不存在点在上,而存在点在两侧,故①正确,
    若直线斜率不存在,显然不成立,
    设直线,若考虑直线与圆的焦点个数,
    ,,
    给定,,当足够大时,均有,
    故直线只与有限个圆相交,②错误.
    故选:.
    8.(2023•新高考Ⅱ)已知直线与交于,两点,写出满足“面积为”的的一个值 .
    【解析】由圆,可得圆心坐标为,半径为,
    因为的面积为,可得,
    解得,设所以,
    可得,,或,
    或,
    圆心眼到直线的距离或,
    或,
    解得或.
    故答案为:2(或或或.
    考点四 圆的切线方程
    9.(2023•新高考Ⅰ)过点与圆相切的两条直线的夹角为,则
    A.1B.C.D.
    【解析】圆可化为,则圆心,半径为;
    设,切线为、,则,
    中,,所以,
    所以.
    故选:.
    10.(2019•浙江)已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆相切于点,则 , .
    【解析】如图,
    由圆心与切点的连线与切线垂直,得,解得.
    圆心为,则半径.
    故答案为:,.
    11.(2022•新高考Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程 .
    【解析】圆的圆心坐标为,半径,
    圆的圆心坐标为,半径,
    如图:
    ,两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条.
    ,的斜率为,设直线,即,
    由,解得(负值舍去),则;
    由图可知,;与关于直线对称,
    联立,解得与的一个交点为,在上取一点,
    该点关于的对称点为,,则,解得对称点为,.
    ,则,即.
    与圆和都相切的一条直线的方程为:
    (填,都正确).
    故答案为:(填,都正确).
    12.(2020•浙江)已知直线与圆和圆均相切,则 , .
    【解析】由条件得,,,,
    因为直线与,都相切,
    故有,,
    则有,故可得,整理得,
    因为,所以,即,
    代入,解得,则,
    故答案为:;.
    考点五 椭圆的性质
    13.(2023•新高考Ⅰ)设椭圆,的离心率分别为,.若,则
    A.B.C.D.
    【解析】由椭圆可得,,,
    椭圆的离心率为,
    ,,,

    或(舍去).
    故选:.
    14.(2021•新高考Ⅰ)已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为
    A.13B.12C.9D.6
    【解析】,是椭圆的两个焦点,点在上,,
    所以,当且仅当时,取等号,
    所以的最大值为9.
    故选:.
    15.(2023•新高考Ⅱ)已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和,直线与交于点,两点,若△面积是△面积的两倍,则
    A.B.C.D.
    【解析】记直线与轴交于,
    椭圆的左,右焦点分别为,,,,
    由△面积是△的2倍,可得,
    ,解得或,
    或,或,
    联立可得,,
    直线与相交,所以△,解得,
    不符合题意,
    故.
    故选:.
    16.(2022•新高考Ⅱ)已知直线与椭圆在第一象限交于,两点,与轴、轴分别相交于,两点,且,,则的方程为 .
    【解析】设,,,,线段的中点为,
    由,,
    相减可得:,
    则,
    设直线的方程为:,,,,,,
    ,,,
    ,解得,
    ,,化为:.
    ,,解得.
    的方程为,即,
    故答案为:.
    17.(2021•上海)已知椭圆的左、右焦点为、,以为顶点,为焦点作抛物线交椭圆于,且,则抛物线的准线方程是 .
    【解析】设,,则抛物线,
    直线,联立方程组,解得,,
    所以点的坐标为,所以,又
    所以,
    则,
    所以抛物线的准线方程为:,
    故答案为:.
    18.(2021•浙江)已知椭圆,焦点,,.若过的直线和圆相切,与椭圆的第一象限交于点,且轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
    【解析】直线斜率不存在时,直线与圆不相切,不符合题意;
    由直线过,设直线的方程为,
    直线和圆相切,
    圆心到直线的距离与半径相等,
    ,解得,
    将代入,可得点坐标为,

    ,,

    故答案为:.
    19.(2019•浙江)已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方.若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是 .
    【解析】椭圆的,,,,
    设椭圆的右焦点为,连接,
    线段的中点在以原点为圆心,2为半径的圆,
    连接,可得,
    设的坐标为,可得,可得,,
    由,可得直线的斜率为

    另解:由,,,
    可得,

    可得直线的斜率为.
    故答案为:.
    20.(2019•上海)已知椭圆,,为左、右焦点,直线过交椭圆于,两点.
    (1)若直线垂直于轴,求;
    (2)当时,在轴上方时,求、的坐标;
    (3)若直线交轴于,直线交轴于,是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
    【解析】(1)依题意,,当轴时,则,,得;
    (2)设,,,

    又在椭圆上,满足,即,
    ,解得,即.
    直线,
    联立,解得,;
    (3)设,,,,,,
    直线,
    则,

    联立,得.
    则,.
    由直线的方程:,得纵坐标;
    由直线的方程:,得的纵坐标.
    若,即,

    ,,
    代入根与系数的关系,得,解得.
    存在直线或满足题意.
    考点六 直线与椭圆的综合
    21.(2022•新高考Ⅰ)已知椭圆,的上顶点为,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于,两点,,则的周长是 .
    【解析】椭圆的离心率为,
    不妨可设椭圆,,
    的上顶点为,两个焦点为,,
    △为等边三角形,
    过且垂直于的直线与交于,两点,

    由等腰三角形的性质可得,,,
    设直线方程为,,,,,
    将其与椭圆联立化简可得,,
    由韦达定理可得,,,
    ,解得,
    的周长等价于.
    故答案为:13.
    22.(2020•海南)已知椭圆过点,点为其左顶点,且的斜率为.
    (1)求的方程;
    (2)点为椭圆上任意一点,求的面积的最大值.
    【解析】(1)由题意可知直线的方程为:,
    即,
    当时,解得,所以,
    椭圆过点,
    可得,解得,
    所以的方程:.
    (2)设与直线平行的直线方程为:,当直线与椭圆相切时,与距离比较远的直线与椭圆的切点为,此时的面积取得最大值.
    代入椭圆方程:.
    化简可得:,所以△,即,解得,
    与距离比较远的直线方程:,
    利用平行线之间的距离为:,

    所以的面积的最大值:.
    23.(2020•山东)已知椭圆的离心率为,且过点.
    (1)求的方程;
    (2)点,在上,且,,为垂足.证明:存在定点,使得为定值.
    【解析】(1)离心率,

    又,
    ,,
    把点代入椭圆方程得,,解得,
    故椭圆的方程为.
    (2)①当直线的斜率存在时,设其方程为,
    联立,得,
    由△,知,
    设,,,,则,,
    ,,,,即,
    ,化简整理得,,
    或,
    当时,,过定点,不符合题意,舍去;
    当时,,过定点.
    ,点在以为直径的圆上,
    故当点为的中点,即,时,,为定值;
    ②当直线的斜率不存在时,设其方程为,,,且,
    ,,,,解得或2(舍,
    ,,此时,为定值.
    综上所述,存在定点,,使得为定值,且该定值为.
    考点七 双曲线的性质
    24.(2022•上海)双曲线的实轴长为 .
    【解析】由双曲线,可知:,
    所以双曲线的实轴长.
    故答案为:6.
    25.(2019•浙江)渐近线方程为的双曲线的离心率是
    A.B.1C.D.2
    【解析】根据渐近线方程为的双曲线,可得,所以
    则该双曲线的离心率为,
    故选:.
    26.(2021•新高考Ⅱ)已知双曲线的离心率,则该双曲线的渐近线方程为 .
    【解析】双曲线的方程是,
    双曲线渐近线为
    又离心率为,可得
    ,即,可得
    由此可得双曲线渐近线为
    故答案为:
    27.(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线的左、右焦点分别为,.点在上,点在轴上,,,则的离心率为 .
    【解析】(法一)如图,设,,,
    设,则,
    又,则,可得,
    又,且,
    则,化简得.
    又点在上,
    则,整理可得,
    代,可得,即,
    解得或(舍去),
    故.
    (法二)由,得,
    设,由对称性可得,
    则,
    设,则,
    所以,解得,
    所以,
    在△ 中,由余弦定理可得,
    即,则.
    故答案为:.
    28.(2022•浙江)已知双曲线的左焦点为,过且斜率为的直线交双曲线于点,,交双曲线的渐近线于点,且.若,则双曲线的离心率是 .
    【解析】(法一)如图,过点作轴于点,过点作轴于点,
    由于,且,则点在渐近线上,不妨设,
    设直线的倾斜角为,则,则,即,则,

    又,则,
    又,则,则,
    点的坐标为,
    ,即,

    (法二)由,解得,
    又,
    所以点的纵坐标为,
    代入方程中,解得,
    所以,代入双曲线方程中,可得,
    所以.
    故答案为:.
    考点八 直线与双曲线的综合
    29.(2022•新高考Ⅰ)已知点在双曲线上,直线交于,两点,直线,的斜率之和为0.
    (1)求的斜率;
    (2)若,求的面积.
    【解析】(1)将点代入双曲线方程得,
    化简得,,故双曲线方程为,
    由题显然直线的斜率存在,设,设,,,
    则联立双曲线得:,
    故,,

    化简得:,
    故,
    即,而直线不过点,故;
    (2)设直线的倾斜角为,由,
    ,得
    由,,
    得,即,
    联立,及得,
    同理,
    故,
    而,由,得,
    故.
    30.(2021•新高考Ⅰ)在平面直角坐标系中,已知点,,,,点满足.记的轨迹为.
    (1)求的方程;
    (2)设点在直线上,过的两条直线分别交于,两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和.
    【解析】(1)由双曲线的定义可知,的轨迹是双曲线的右支,设的方程为,
    根据题意,解得,
    的方程为;
    (2)(法一)设,直线的参数方程为,
    将其代入的方程并整理可得,,
    由参数的几何意义可知,,,则,
    设直线的参数方程为,,,同理可得,,
    依题意,,则,
    又,故,则,即直线的斜率与直线的斜率之和为0.
    (法二)设,直线的方程为,,,,,设,
    将直线方程代入的方程化简并整理可得,,
    由韦达定理有,,
    又由可得,
    同理可得,

    设直线的方程为,设,
    同理可得,
    又,则,化简可得,
    又,则,即,即直线的斜率与直线的斜率之和为0.
    31.(2022•新高考Ⅱ)已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为.
    (1)求的方程;
    (2)过的直线与的两条渐近线分别交于,两点,点,,,在上,且,.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
    ①在上;②;③.
    注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
    【解析】(1)由题意可得,,
    解得,,
    因此的方程为,
    (2)解法一:设直线的方程为,,将直线的方程代入可得,
    △,
    ,,


    设点的坐标为,,则,
    两式相减可得,


    解得,
    两式相加可得,


    解得,
    ,其中为直线的斜率;
    若选择①②:
    设直线的方程为,并设的坐标为,,的坐标为,,
    则,解得,,
    同理可得,,
    ,,
    此时点的坐标满足,解得,,
    为的中点,即;
    若选择①③:
    当直线的斜率不存在时,点即为点,此时不在直线上,矛盾,
    当直线的斜率存在时,设直线的方程为,并设的坐标为,,的坐标为,,
    则,解得,,
    同理可得,,
    此时,

    由于点同时在直线上,故,解得,
    因此.
    若选择②③,
    设直线的方程为,并设的坐标为,,的坐标为,,
    则,解得,,
    同理可得,,
    设的中点,,则,,
    由于,故在的垂直平分线上,即点在直线上,
    将该直线联立,解得,,
    即点恰为中点,故点在直线上.
    (2)解法二:由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,
    若选由①②③,或选由②③①:由②成立可知直线的斜率存在且不为0.
    若选①③②,则为线段的中点,假设的斜率不存在,
    则由双曲线的对称性可知在轴上,即为焦点,
    此时由对称性可知、关于轴对称,从而,已知不符.
    综上,直线的斜率存在且不为0,
    直线的斜率为,直线的方程为.
    则条件①在直线上,等价于,
    两渐近线的方程合并为,
    联立方程组,消去并化简得:,
    设,,,,线段中点为,,
    则.,
    设,,
    则条件③等价于,
    移项并利用平方差公式整理得:






    由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,
    由,,

    直线的斜率,
    直线,即,
    代入双曲线的方程为,即中,
    得,
    解得的横坐标为,
    同理,,,

    条件②等价于,
    综上所述:
    条件①在上等价于,
    条件②等价于,
    条件③等价于.
    选①②③:
    由①②解得,③成立;
    选①③②:
    由①③解得:,,,②成立;
    选②③①:
    由②③解得:,,,①成立.
    32.(2020•上海)已知双曲线与圆交于点,(第一象限),曲线为、上取满足的部分.
    (1)若,求的值;
    (2)当,与轴交点记作点、,是曲线上一点,且在第一象限,且,求;
    (3)过点斜率为的直线与曲线只有两个交点,记为、,用表示,并求的取值范围.
    【解析】(1)由,点为曲线与曲线的交点,联立,解得,;
    (2)由题意可得,为曲线的两个焦点,
    由双曲线的定义可得,又,,
    所以,因为,则,
    所以,
    在△中,由余弦定理可得

    由,可得;
    (3)设直线,可得原点到直线的距离,
    所以直线是圆的切线,设切点为,
    所以,并设与圆联立,可得,
    可得,,即,
    注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行,
    所以只有当时,直线才能与曲线有两个交点,
    由,可得,
    所以有,解得或(舍去),
    因为为在上的投影可得,,
    所以,
    则,.
    33.(2023•新高考Ⅱ)已知双曲线中心为坐标原点,左焦点为,,离心率为.
    (1)求的方程;
    (2)记的左、右顶点分别为,,过点的直线与的左支交于,两点,在第二象限,直线与交于,证明在定直线上.
    【解析】(1)双曲线中心为原点,左焦点为,,离心率为,
    则,解得,
    故双曲线的方程为;
    (2)证明:过点的直线与的左支交于,两点,
    则可设直线的方程为,,,,,
    记的左,右顶点分别为,,
    则,,
    联立,化简整理可得,,
    故△且,
    ,,
    直线的方程为,直线方程,


    故,解得,
    所以,
    故点在定直线上运动.
    考点九.抛物线的性质
    (2021•新高考Ⅱ)若抛物线的焦点到直线的距离为,则

    A.1B.2C.D.4
    【解析】抛物线的焦点,到直线的距离为,
    可得,解得.
    故选:.
    35.【多选】(2022•新高考Ⅱ)已知为坐标原点,过抛物线焦点的直线与交于,两点,其中在第一象限,点.若,则
    A.直线的斜率为B.
    C.D.
    【解析】如图,
    ,,,且,,,
    由抛物线焦点弦的性质可得,则,则,,
    ,故正确;
    ,,,故错误;
    ,故正确;
    ,,,,,
    ,,
    ,均为锐角,可得,故正确.
    故选:.
    36.(2021•上海)已知抛物线,若第一象限的,在抛物线上,焦点为,,,,求直线的斜率为 .
    【解析】如图所示,设抛物线的准线为,作于点,于点,于点,
    由抛物线的定义,可得,,

    直线的斜率.
    故答案为:.
    37.(2021•新高考Ⅰ)已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且.若,则的准线方程为 .
    【解析】法一:由题意,不妨设在第一象限,则,,,.
    所以,所以的方程为:,
    时,,
    ,所以,解得,
    所以抛物线的准线方程为:.
    法二:根据射影定理,可得,可得,解得,
    因此,抛物线的准线方程为:.
    故答案为:.
    38.(2020•山东)斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则 .
    【解析】由题意可得抛物线焦点,直线的方程为,
    代入并化简得,
    设,,,,则;

    由抛物线的定义可得.
    故答案为:.
    39.(2019•上海)过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于,,在上方,为抛物线上一点,,则 .
    【解析】过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于,,在上方,
    依题意:得到:,,,
    设点,
    所以:为抛物线上一点,,
    则:,,,,,
    代入,
    得到:.
    故答案为:3
    考点十 直线与抛物线的综合
    40.【多选】(2023•新高考Ⅱ)设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,为的准线,则
    A.B.
    C.以为直径的圆与相切D.为等腰三角形
    【解析】直线过抛物线的焦点,可得,所以,
    所以正确;
    抛物线方程为:,与交于,两点,
    直线方程代入抛物线方程可得:,

    所以,所以不正确;
    ,的中点的横坐标:,中点到抛物线的准线的距离为:,
    所以以为直径的圆与相切,所以正确;

    不妨可得,,,,
    ,,,
    所以不是等腰三角形,所以不正确.
    故选:.
    41.【多选】(2022•新高考Ⅰ)已知为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交于,两点,则
    A.的准线为B.直线与相切
    C.D.
    【解析】点在抛物线上,
    ,解得,
    抛物线的方程为,准线方程为,选项错误;
    由于,,则,直线的方程为,
    联立,可得,解得,故直线与抛物线相切,选项正确;
    根据对称性及选项的分析,不妨设过点的直线方程为,与抛物线在第一象限交于,,,,
    联立,消去并整理可得,则,,,
    ,由于等号在时才能取到,故等号不成立,选项正确;
    ,选项正确.
    故选:.
    42.(2023•上海)已知抛物线,在上有一点位于第一象限,设的纵坐标为.
    (1)若到抛物线准线的距离为3,求的值;
    (2)当时,若轴上存在一点,使的中点在抛物线上,求到直线的距离;
    (3)直线,抛物线上有一异于点的动点,在直线上的投影为点,直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中,恒成立,求的取值范围.
    【解析】(1)抛物线的准线为,
    由于到抛物线准线的距离为3,
    则点的横坐标为2,则,
    解得;
    (2)当时,点的横坐标为,则,
    设,则的中点为,
    由题意可得,解得,
    所以,
    则,
    由点斜式可得,直线的方程为,即,
    所以原点到直线的距离为;
    (3)如图,
    设,则,
    故直线的方程为,
    令,可得,即,
    则,
    依题意,恒成立,
    又,
    则最小值为,即,即,
    则,解得,
    又当时,,当且仅当时等号成立,
    而,即当时,也符合题意.
    故实数的取值范围为,.
    43.(2020•浙江)如图,已知椭圆,抛物线,点是椭圆与抛物线的交点,过点的直线交椭圆于点,交抛物线于点,不同于.
    (Ⅰ)若,求抛物线的焦点坐标;
    (Ⅱ)若存在不过原点的直线使为线段的中点,求的最大值.
    【解析】(Ⅰ),则,则抛物线的焦点坐标,,
    (Ⅱ)直线与轴垂直时,此时点与点或点重合,不满足题意,
    设直线的方程为,,,,,,,
    由,消可得,
    △,即,
    ,,
    ,,,
    点在抛物线上,,

    联立,解得,,
    代入椭圆方程可得,解得

    ,当且仅当,即,时等号成立,
    故的最大值为.
    44.(2019•浙江)如图,已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于,两点,点在抛物线上,使得的重心在轴上,直线交轴于点,且在点的右侧.记,的面积分别为,.
    (Ⅰ)求的值及抛物线的准线方程;
    (Ⅱ)求的最小值及此时点的坐标.
    【解析】(Ⅰ)由抛物线的性质可得:,

    抛物线的准线方程为;
    (Ⅱ)设,,,,,,重心,,
    令,,则,
    由于直线过,故直线的方程为,
    代入,得:,
    ,即,,,
    又,,重心在轴上,

    ,,,,
    直线的方程为,得,,
    在焦点的右侧,,

    令,则,

    当时,取得最小值为,此时.
    考点十一 圆锥曲线的综合
    45.(2020•浙江)已知点,,.设点满足,且为函数图象上的点,则
    A.B.C.D.
    【解析】点 ,, .设点满足,
    可知的轨迹是双曲线的右支上的点,
    为函数图象上的点,即在第一象限的点,
    联立两个方程,解得,,
    所以.
    故选:.
    46.【多选】(2020•海南)已知曲线.
    A.若,则是椭圆,其焦点在轴上
    B.若,则是圆,其半径为
    C.若,则是双曲线,其渐近线方程为
    D.若,,则是两条直线
    【解析】.若,则,则根据椭圆定义,知表示焦点在轴上的椭圆,故正确;
    .若,则方程为,表示半径为的圆,故错误;
    .若,,则方程为,表示焦点在轴的双曲线,故此时渐近线方程为,
    若,,则方程为,表示焦点在轴的双曲线,故此时渐近线方程为,
    故正确;
    .当,时,则方程为表示两条直线,故正确;
    故选:.
    47.(2022•上海)设有椭圆方程,直线,下端点为,在上,左、右焦点分别为,、,.
    (1),中点在轴上,求点的坐标;
    (2)直线与轴交于,直线经过右焦点,在中有一内角余弦值为,求;
    (3)在椭圆上存在一点到距离为,使,随的变化,求的最小值.
    【解析】(1)由题意可得,

    的中点在轴上,
    的纵坐标为,
    代入得.
    (2)由直线方程可知,
    ①若,则,即,


    ②若,则,
    ,,
    ,.
    即,,,
    综上或.
    (3)设,
    由点到直线距离公式可得,
    很明显椭圆在直线的左下方,则,
    即,
    ,,
    据此可得,,
    整理可得,即,
    从而.
    即的最小值为.
    48.(2022•浙江)如图,已知椭圆.设,是椭圆上异于的两点,且点在线段上,直线,分别交直线于,两点.
    (Ⅰ)求点到椭圆上点的距离的最大值;
    (Ⅱ)求的最小值.
    【解析】(Ⅰ)设椭圆上任意一点,则,,,
    而函数的对称轴为,则其最大值为,
    ,即点到椭圆上点的距离的最大值为;
    (Ⅱ)设直线,
    联立直线与椭圆方程有,消去并整理可得,,
    由韦达定理可得,,

    设,,,,直线,直线,
    联立以及,
    可得,
    由弦长公式可得

    当且仅当时等号成立,
    的最小值为.
    49.(2021•新高考Ⅱ)已知椭圆的方程为,右焦点为,,且离心率为.
    (Ⅰ)求椭圆的方程;
    (Ⅱ)设,是椭圆上的两点,直线与曲线相切.证明:,,三点共线的充要条件是.
    【解析】(Ⅰ)解:由题意可得,椭圆的离心率,又,
    所以,则,
    故椭圆的标准方程为;
    (Ⅱ)证明:先证明充分性,
    当时,设直线的方程为,
    此时圆心到直线的距离,则,
    联立方程组,可得,
    则△,
    因为,
    所以,,
    因为直线与曲线相切,
    所以,则,
    则直线的方程为恒过焦点,
    故,,三点共线,
    所以充分性得证.
    若,,三点共线时,设直线的方程为,
    则圆心到直线的距离为,解得,
    联立方程组,可得,
    即,
    所以;
    所以必要性成立;
    综上所述,,,三点共线的充要条件是.
    50.(2021•浙江)如图,已知是抛物线的焦点,是抛物线的准线与轴的交点,且.
    (Ⅰ)求抛物线的方程:
    (Ⅱ)设过点的直线交抛物线于,两点,若斜率为2的直线与直线,,,轴依次交于点,,,,且满足,求直线在轴上截距的取值范围.
    【解析】(Ⅰ)依题意,,故抛物线的方程为;
    (Ⅱ)由题意得,直线的斜率存在且不为零,设直线,
    将直线方程代入抛物线方程可得,,
    则由韦达定理有,,则,
    设直线,其中,设直线,其中,
    则,

    设直线,
    联立,可得,则,
    联立,可得,则,
    同理可得,,
    又,
    ,即,

    ,即,解得或;
    当直线的斜率不存在时,则直线,,,,
    直线的方程为,直线的方程为,
    设直线,则,,,,
    又,故,
    解得满足.
    直线在轴上截距的取值范围为.
    考点十二 圆锥曲线的轨迹问题
    51.(2021•浙江)已知,,,函数.若,,成等比数列,则平面上点的轨迹是
    A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线
    【解析】函数,因为,,成等比数列,
    则,即,
    即,
    整理可得,
    因为,故,即,
    所以或,
    当时,点的轨迹是直线;
    当,即,因为,故点的轨迹是双曲线.
    综上所述,平面上点的轨迹是直线或双曲线.
    故选:.
    52.(2020•上海)已知椭圆,作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点,作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点,且,两垂线相交于点,则点的轨迹是
    A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线
    【解析】,,判断轨迹为上下两支,即选双曲线,
    设,,
    所以,
    因为,,消去可得:,
    故选:.
    53.(2023•新高考Ⅰ)在直角坐标系中,点到轴的距离等于点到点的距离,记动点的轨迹为.
    (1)求的方程;
    (2)已知矩形有三个顶点在上,证明:矩形的周长大于.
    【解析】(1)设点点坐标为,由题意得,
    两边平方可得:,
    化简得:,符合题意.
    故的方程为.
    (2)解法一:不妨设,,三点在上,且.
    设,,,
    则,.
    由题意,,即,
    显然,于是.
    此时,..于是,.
    不妨设,则,


    设,则,即,
    又.
    显然,为最小值点.故,
    故矩形的周长为.
    注意这里有两个取等条件,一个是,另一个是,
    这显然是无法同时取到的,所以等号不成立,命题得证.
    解法二:不妨设,,在抛物线上,不在抛物线上,欲证命题为.
    由图象的平移可知,将抛物线看作不影响问题的证明.
    设,,平移坐标系使为坐标原点,
    则新抛物线方程为,写为极坐标方程,
    即,即.
    欲证明的结论为,
    也即.
    不妨设,将不等式左边看成关于的函数,根据绝对值函数的性质,
    其最小值当即时取得,
    因此欲证不等式为,即,
    根据均值不等式,有

    由题意,等号不成立,故原命题得证.

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