精品解析：江苏省盐城市盐都区2023-2024学年高一上学期期末数学试题

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1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合的元素再求.
【详解】由，所以
故选：C
【点睛】易错点点晴：要注意集合中的条件.
2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由原命题为假命题可知其否定，使得成立是真命题，转化为对于有解，分离可得，即可求解.
【详解】若命题“，”是假命题，
所以，使得成立是真命题，
即对于有解，
所以，所以，
因为，所以，，
所以，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：D
【点睛】方法点睛：若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可.
3. “”是“函数的图像关于中心对称”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分条件必要条件的定义，结合三角函数的性质，作出判断.
【详解】当时，，此时的图像关于中心对称，
当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为0.
所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的性质以及函数在上单调递增，比较自变量绝对值的大小即可得解.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，，
因为在上是单调递增的，故在上是单调递减，且，
所以，即.
故选：B.
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小
【详解】因为在上为增函数，且，
所以，即，
因为，所以，即，
因为在上为增函数，
所以，所以，
因为，所以，即，
所以，
故选：B
7. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.
【详解】由解得，
所以函数的单调递增区间为，
因为在区间上单调递增，所以，所以.
当时，由在区间上单调递增可知，得；
当时，由解得；
当时，无实数解.
易知，当或时不满足题意
综上，ω的取值范围为.
故选：D
8. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案.
【详解】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数，
的图象关于点成中心对称，，
图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数，
的图象关于直线成轴对称，
由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为，
对称中心关于直线成轴对称的点为，即.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是4B. 最小值为1
C. 的最小值是2D. 的最大值是
【答案】CD
【解析】
【分析】A利用“1”代换求最值，B因为，所以，
且，代入中化简构造基本不等式验证即可，
C先把式子变形，再运用基本不等式，
D先构造，再运用基本不等式.
【详解】A.因为正数满足，即
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
故选项A不正确.
B. 因为，所以，
且，
所以
，
当且仅当或，不满足
故取不到最小值，故B选项不正确.
C.
，
当且仅当时等号成立，故选项C正确.
D.因为，所以，
则，
当且仅当时等号成立，故选项D正确.
故选：CD.
10. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ）
A. B.
C. 函数的定义域为D. 函数的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据偶函数定义域关于原点对称，求得，即可解决.
【详解】因为函数是偶函数，
所以函数的定义域关于原点对称．
又因为函数的定义域为，
所以，解得．故A错误；
又因为函数是偶函数，
所以，解得．
所以函数解析式为．
定义域为，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，
所以当时，取得最大值．故BCD正确；
故选：BCD
11. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 不等式的解集可以是
B. 不等式的解集可以是
C. 函数在上可以有两个零点
D. “方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用反证法可判断A选项；取，可判断B选项；取，可判断C选项；利用韦达定理、判别式结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若不等式的是，则且，可得，
由，解得，与题意不符，A错；
对于B选项，取，，则，此时不等式的解集为，B对；
对于C选项，取，，则，
由可得，解得或，C对；
对于D选项，若方程有一个正根和一个负根，则，可得，
即“方程有一个正根和一个负根”“”，
若，对于方程，则，
故方程有两个不等的实根、，则，
此时方程有一个正根和一个负根，
又方程有一个正根和一个负根“”，
因此，“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，D对.
故选：BCD.
12. 已知函数，下面关于函数的描述正确的是（ ）
A. 存在，使得函数是上的增函数
B. 若存在b使得函数存在4个零点，则
C. 当时，若函数有1个零点，则
D. 对于任意，都存在实数b使得函数存在两个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】作出函数的图象，利用图象分析的交点个数进行求解可判断BCD；讨论函数单调性可判断A.
【详解】易知当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，
因为与单调性相同，
所以不存在，使得函数是上的增函数，A错误；
作出函数图象如图，

因为的顶点纵坐标，
所以由图可知，要使与有4个交点，必有，
解得，B正确；
当时，由图可知，当时，与有1个交点，C错误；

由图可知，当且时，与必有2个交点，故D正确.

故选：BD
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】由题意可得：，解得：，
即所求函数定义域为：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查求具体函数定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.
14. 定义在上的奇函数，当时，，当时，________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得.
【详解】因为函数为奇函数，所以，解得.
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
即当时，.
故答案为：
15. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集求得的关系，再根据均值不等式求得最小值.
【详解】因为的解集为，得，，得，又，所以，所以，由均值不等式得，
所以
，当时取等号，故的最小值是.
故答案为：
【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.
16. 已知函数，该函数f(x)在R上的所有零点之和为________；使得不等式成立的实数m的取值范围为________．
【答案】 ①. －6 ②.
【解析】
【分析】先设，则，根据关于对称，且只有两个零点，则零点之和为-6；根据的单调性和对称性化简，然后解出不等式即可
【详解】设函数，则偶函数
则有：在上单调递减；在上单调递增
，，故
可得在上有一个零点；在上有一个零点，且两个零点关于原点对称
故有两个零点，而且关于对称，则两个零点之和为：
不等式等价为：
即有：
解得：
故答案为：-6；
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出集合A，B和，再利用交集运算即得结果；
（2）先根据充分不必要条件得到集合A，B的包含关系，再列关系计算即可.
【详解】解：（1）∵或，∴，
当时，，因此，；
（2）∵是的充分条件，∴，
又，或
∴，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点晴：是的充分条件即为.
18. 已知
（1）求的值；
（2）若，求及的值．
【答案】（1）；
（2），
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简，再利用诱导公式可求得的值；
（2）根据已知条件可得出，利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得所求代数式的值.
【小问1详解】
解：，
所以．
【小问2详解】
解：因为，
所以，
.
19. （
已知函数.
（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（II）若,求的值.
【答案】（1）周期为，最大值为2，最小值为-1
（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.
试题解析:（1）
所以
又 所以
由函数图像知.
（2）解：由题意
而 所以
所以
所以 =.
考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式
20. 若设为实数，已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义法证明：是R上的增函数；
（3）当，求函数的取值范围.
【答案】（1）2 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用，求出的值，验证即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解函数的值域即可．
【小问1详解】
函数是奇函数，
则，解得，
经检验，当时，为奇函数，
所以的值为2；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，
设，
则，
因为，
所以，，
故，即，
所以是上的增函数；
【小问3详解】
解：由（2）可知，函数在，上单调递增，
所以（2），
即，
故函数的取值范围为．
21. 如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

（1）求劣弧的弧长(单位：)；
（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.
【答案】（1）；（2），其中；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度.
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式.
（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.
【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
故.
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由题意知，，所以，
又由，所以，
当时，可得，所以，
故关于时间的函数解析式为，其中.
（3）令，即，
令，解得，
因为甲乙两人相差，
又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果.
【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略：
1、已知函数模型求解数学问题；
2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；
3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
22. 已知函数，且函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围；
（3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）实数的取值范围为
（3）
【解析】
【分析】（1）结合诱导公式，根据求函数的解析式；
（2），求出内层函数的范围，求解的取值范围，利用换元将等式式的转化为含参方程，孤立参数，集合基本不等式，求实数的最大值和最小值即可得实数的取值范围；
（3）当时，化简不等式，利用三角函数的范围求解的范围即可．
【小问1详解】
解：函数，所以；
【小问2详解】
解：，
，．
令，则．
那么：，可得：，即存在，使得成立．
即，当时取等号，的最小值为．
当时，，当时，可得，即的最大值为3．
实数的取值范围为；
【小问3详解】
解：不等式恒成立，即恒成立
当时，
，．
若时，显然恒成立．
若时，当时，分别取得最小值，所以也取得最小值．
即成立．
可得：，解得：．
若时，当时，，取得最小值，取得最大值，则取得最小值．
即成立．
得：，．
综上可得：的范围是.