2023-2024学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件为随机事件的是( )
A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B. 负数大于正数
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°D. 通常加热到100℃时，水沸腾
3.如果反比例函数y=ax的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是( )
A. −3B. 2C. 0D. −2
4.如图，在△ABC中，∠BAC=32°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为( )
A. 28°
B. 30°
C. 32°
D. 38°
5.解方程“1x=x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为( )
A. x=1
B. x1=1，x2=2
C. x1=−1，x2=1
D. x=−1
6.某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是( )
A. (x+16)(200−5x)=1200B. (x+16)(200+5x)=1200
C. (x−16)(200+5x)=1200D. (x−16)(200−5x)=1200
7.如图，正方形ABCD的边长为2，AC是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，则AC的长为( )
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
8.如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA= 3，则AB的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2 3
9.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A. (−2,1)B. (2,−1)C. (−8,4)或(8,−4)D. (−2,1)或(2,−1)
10.如图，抛物线y=ax2+c经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则ac的值为( )
A. −4
B. −3
C. −2
D. −1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，则OP的长为______ ．
12.已知△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，则它们的周长之比为______ ．
13.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，这些球除颜色外都相同.小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则可估计红球的数量约为______ 个.
14.若关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值等于 ．
15.已知点M(x1,y1)，N(x2,y2)在反比例函数y=3x的图象上，且01)，BC=2，点O是BC边的中点，点E是矩形内一个动点，且OE=1．
(1)当OE⊥BC时，连接BE、CE，直接写出∠BEC的度数；
(2)当a= 3时，连接DE，若DE⊥OE，求BE的长；
(3)当a=2时，将线段DE绕点D逆时针旋转90°后，得到线段DF，点P是线段DF的中点，当点E在矩形ABCD内部运动时，求点P运动路径的长度．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】[分析]
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，了解什么是中心对称图形是本题解题的关键．
[详解]
A选项，绕图形的中心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形；
B选项，绕图形的中心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形；
C选项，绕图形的中心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形；
D选项，绕任意点旋转180°后与原图形不重合，不是中心对称图形．
故选 D．
2.【答案】A
【解析】解：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，则A符合题意；
负数大于正数是不可能事件，则B不符合题意；
任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，则C不符合题意；
通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，则D不符合题意；
故选：A．
在一定条件下，一定发生的事件即为必然事件；在一定条件下，一定不发生的事件即为不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件即为随机事件；据此逐项判断即可．
本题考查随机事件的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=ax的图象分布在第一、三象限，
∴a>0，
∴只有2符合，
故选：B．
根据反比例函数的图象所处的位置确定a的符号，然后确定a的值即可．
考查了反比例函数的性质及图象，解题的关键是了解反比例函数的性质，难度不大．
4.【答案】A
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=60°，
∴∠B′AC=∠BAB′−∠BAC=28°，
故选：A．
由旋转的性质可得∠BAB′=60°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：从图象中可知：两函数图象的交点坐标是(1,1)，(−1,−1)，
所以方程1x=x的解是x1=−1，x2=1．
故选：C．
根据图象得出两函数图象的交点坐标是(1,1)，(−1,−1)，再根据交点坐标求出方程的解即可．
本题考查了解分式方程和函数的图象，能根据函数图象找出两函数图象的交点坐标是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意可得：(36+x−20)(200−5x)=1200，
即：(x+16)(200−5x)=1200．
故选：A．
根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1200元的利润，即售价定为每个(x+16)元，销售量为(200−5x)个，结合获得的利润为1200元，可列方程．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知，AC所在圆的半径为2，圆心角为90°，
所以AC的长为90π×2180=π．
故选：A．
根据弧长公式进行计算即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的前提．
8.【答案】B
【解析】解：∵PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，
∴PA=PC，
∵∠P=60°，
∴△PAC是等边三角形，
∴AC=PA= 3，∠PAC=60°，
∵PA切圆于A，
∴直径AB⊥PA，
∴∠PAB=90°，
∴∠BAC=90°−60°=30°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵cs∠BAC=cs30°=ACAB= 32，
∴AB=2．
故选：B．
由切线长定理推出PA=PC，而∠P=60°，得到△PAC是等边三角形，因此AC=PA= 3，∠PAC=60°，由切线的性质得到∠PAB=90°，求出∠BAC=90°−60°=30°，由锐角的余弦定义得到cs∠BAC=ACAB= 32，即可求出AB=2．
本题考查圆周角定理，切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是由切线长定理推出△PAC是等边三角形，由锐角的余弦即可求出AB的长．
9.【答案】D
【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，
而点A坐标为(−4,2)，
∴点A的对应点A′的坐标是(−2,1)或(2,−1)．
故选：D．
根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点A的横纵坐标乘以12或−12得到其对应点A′的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
10.【答案】C
【解析】解：过B作BH⊥y轴于H，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴BH=AH=OH，
设B(m,−m)，则A(0,−2m)，
∴−m=am2+c−2m=c，
解得am=1，m=−c2，
∴ac的值为−2，
故选：C．
过B作BH⊥y轴于H，根据等腰直角三角形的性质得到BH=AH=OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O上，
∴OP=r=5．
故答案为：5．
根据d=r时点在圆上解决问题即可．
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；①点P在圆内⇔d0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ
【解析】解：∵反比例函数y=3x中，k=3>0，
∴反比例函数y=3x的图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵0．
根据反比例函数y=3x的图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，利用00)个单位，可得抛物线y=(x+k−2)2−1，可求出新抛物线与x轴两个交点之间的距离为(3−k)−(1−k)=2，而新抛物线与y轴交点为(0,k2−4k+3)，根据新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为1，有12×2×|k2−4k+3|=1，即可得k=2+ 2或k=2− 2或k=2．
本题考查二次函数的综合应用，涉及平移变换，正方形判定，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
25.【答案】解：(1)如图1，
∵O是BC的中点，
∴OB=OC=1，
∵OE=1，
∴OB=OC=OE，
∴∠BEO=∠EBO，∠CEO=∠ECO，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE=∠COE=90°，
∴∠BEO=∠EBO=∠CEO=∠ECO=45°，
∴∠BEC=90°；
(2)如图2，
连接OD，
∵∠DEO=∠C=90°，OE=C=1，OD=OD，
∴Rt△DEO≌Rt△DCO(HL)，
∴∠DOE=∠DOC，
∵∠C=90°，OC=1，CD= 3，
∴tan∠COD= 3，
∴∠COD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴∠BOE=180°−∠COD−∠DOE=60°，
∵OB=OE=1，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE=OE=1；
(3)如图3，
连接OD，将△DOE绕点D逆时针旋转90°至△DO′F，取O′D的中点I，连接IP，
∴O′F=OE=1，
∵点P是DF的中点，
∴IF=12O′F=12，
∴点P的运动轨迹是在以I为圆心，12为半径的半圆，
∴点P运动路径的长度=12π．
【解析】(1)可得出△BEC是等腰直角三角形，从而得出结果；
(2)连接OD，可证得Rt△DEO≌Rt△DCO，从而得出∠DOE=∠DOC，可求得∠COD=60°，进而推出△BOE是等边三角形，进一步得出结果；
(3)连接OD，将△DOE绕点D逆时针旋转90°至△DO′F，取O′D的中点I，连接IP，可得出O′F=OE=1，进而得出IF=12O′F=12，从而推出点P的运动轨迹是在以I为圆心，12为半径的半圆，从而得出点P运动路径的长度=12π．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，三角形的中位线性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是利用旋转作辅助线．A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)