2024届江西省宜春市丰城中学高三上学期12月段考数学试题含答案

这是一份2024届江西省宜春市丰城中学高三上学期12月段考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由集合的描述有或，应用集合的交补运算求即可.
【详解】由或，
∴，由，
∴.
故选：B
【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据已知集合利用交补运算求集合，属于简单题.
2．已知复数z满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.
【详解】，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
3．设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求得直线斜率的取值范围，进而求得的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：A
4．已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】将问题转化为直线与圆有交点，从而列式即可得解.
【详解】依题意，设，整理得，
因为点在圆上运动，
所以直线与圆有交点，
又圆心为，半径为，所以，解得，
经检验，满足题意，
所以的最大值为.
故选：C.
5．设点A，B的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式计算作答.
【详解】设，因直线AM，BM的斜率之积是，则有，整理为，
显然有，所以点M的轨迹方程为.
故选：A
6．设为等差数列的前n项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据，则（）；（），但不一定小于0，得到答案.
【详解】若，则（），所以是单调递减数列；
若是单调递减数列，则（），即（），
但不一定小于0.
所以甲是乙的充分不必要条件，
故选：A.
7．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，点M是双曲线右支上一点，且为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连结.判断出为直角三角形，且，由双曲线的定义得到，求出离心率.
【详解】如图示，连结.
因为为等边三角形，所以.
所以.
因为，所以.
又，所以，所以.
在中，，所以.
由双曲线的定义可得：，即，
所以离心率.
故选：A.
8．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数 有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】画出函数的图象，结合图象可知，若函数 有零点转化为与有交点，考虑特殊位置，直线与曲线相切时斜率最大，直线过点时斜率最小，求出两个位置直线斜率即可写出斜率的取值范围.
【详解】解：画出函数的图象如下图所示，
方程有四个不同的根，即与有个交点，则，
由图可知，，令得，即与在上有交点，
当过时斜率最小，此时，
当与相切时，斜率最大．设切点为，由，则，即切线的斜率为，
故有，即，即，所以斜率为．
所以
故选：B．
二、多选题
9．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.
【详解】对A，当直线的方向向量平行时，由于直线不重合，故直线平行，反之直线平行时，方向向量也平行，故A正确；
对B，当时，直线可能在平面内，也可能与平面平行，所以得不到，故B错误；
对C，当两平面法向量平行时，两平面平行，当两平面垂直时，两平面法向量垂直，故C错误；
对D，两平面的法向量垂直与两平面垂直等价，故D正确.
故选：AD
10．已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，若，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．
C．的图象关于点对称D．
【答案】BC
【分析】结合题意，借助函数的图象变换及对称性，周期性判断即可.
【详解】解：对于选项：由函数的图像关于对称，
根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以错误；
对于选项B：由函数对任意都有，
可得，所以函数是周期为4的周期函数，
因为，可得，则，
所以正确；
又因为函数为偶函数，即，所以，
可得，所以函数关于中心对称，所以正确；
所以，所以，所以错误.
故选：BC.
11．已知与，以下结论正确的有（ ）
A．与有且仅有2条公切线
B．若直线与分别切于相异的两点，则
C．若分别是与上的动点，则的最大值为16
D．与的一条公切线斜率为
【答案】BD
【分析】A选项，得到两圆外切，得到公切线条数；C选项，数形结合得到当四点共线时，最大，求出最大值；BD选项，先得到直线的斜率存在，设其与轴交点为，斜率为，作出辅助线，求出且斜率为.
【详解】选项A，由题意可知：的圆心，半径，
的圆心，半径，
因为，所以与外切，
所以与有且仅有3条公切线，故错误；
选项C：因为，
当且仅当四点共线时，等号成立，所以的最大值为10，故错误；
选项BD：当直线的斜率不存在时，直线与分别切于相同的点，不合要求，
显然直线的斜率存在且不为0，根据对称性，
不妨设直线的与轴交点为，斜率为，如图所示，
连接，过作，垂足为，
可知四边形为矩形，且，
在Rt中，可得，
所以，
故直线的斜率，故BD正确.
故选：.
12．已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别为，的离心率，点是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A．面积为
B．若，则
C．若，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】由椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式可判断A；由和结合基本不等式可判断B；由条件可得，结合函数的性质可判断C、D.
【详解】设，，，
不妨设点是，在第一象限内的交点，则，
，，所以，，
在中，由余弦定理可得：，
即，
一方面，
所以，此时面积为
；
另一方面，，
所以，此时面积为
，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为且，所以，
所以，
所以，所以，又，
所以，故B正确；
当时，
由得，
即，所以，所以，，
对于C，令，
则，
所以，，故C错误；
对于D，，
记，则，
函数是对勾函数，在上单调递增，
所以，
即的取值范围为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先利用幂指数运算求出ab的值，在利用基本不等式求和的最小值即可
【详解】因为
所以
所以，
当且仅当即时取等号
故答案为：.
14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么＝ .
【答案】12
【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再结合抛物线定义计算作答.
【详解】抛物线的准线为：，设抛物线的焦点为F，
由抛物线定义得：，
所以.
故答案为：
15．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数图像平移变换，写出函数的解析式，再由函数 在区间上有且仅有一个零点，列出不等式组求出的取值范围即可
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
函数在区间上有且仅有一个零点，
，
解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了函数的图像变换，考查了计算能力，而且还涉及了零点问题，有一定综合性，属于中档题．
16．表面积为的球面上有四点，，，且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则棱锥体积的最大值为 ．
【答案】27
【分析】根据球的表面积公式，结合面面垂直的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】设球的半径为，
因为球的表面积为，所以有.
设的中心为,则 ,所以 ，
则，
棱锥的底面积为定值，
欲使其体积最大，应有到平面的距离取最大值，
又平面平面，
所以由球的性质可知：当在平面上的射影是的中点时，点到平面的距离取最大值，而，
显然有平面，平面，因此，
过做，于是有，，
则到平面的距离的最大值为，
∴.
故答案为：27
【点睛】关键点睛：利用球的性质，结合面面垂直的性质是解题的关键.
四、解答题
17．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)当时，的解集为，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据得到方程，求出或；
（2）解分式不等式，求出解集.
【详解】（1），则，即，
解得：或.
（2）当时，，
等价于，
解得：，
所以.
18．已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由的前项和即可求出等比数列的通项公式，由和即可求出等差数列的通项公式.
（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
（2）由（1）知，
令①，
①式两边同乘得：②，
错位相减得
则．
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）如图，若点D在边上，，，E为垂足，，，求长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据题中条件，由正弦定理，求出，即可得出角；
（Ⅱ）根据，得到为等腰三角形，再由，，求出，结合正弦定理求出，得出，由，即可求出结果.
【详解】（Ⅰ）因为，
由正弦定理可得，
则，即，所以，
又为三角形内角，所以；
（Ⅱ）因为，所以为等腰三角形，且角为一个底角，所以角，
又，所以为中点，则；
在中，，，，
由正弦定理可得，，
所以，
因此在中，.
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，涉及两角和的正弦公式，属于基础题型.
20．如图，在棱长是2的正方体中，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由可证明，再由线面平行的判定定理即可证明.
（2）先求出平面的法向量和直线的方向向量，由点到平面的距离公式求解即可.
【详解】（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
分别为的中点，，.
，
又平面平面，
平面.
（2），
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
所以平面的法向量，
点到平面的距离.
21．如图，过点E（1，0）的直线与圆O：相交于A，B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D.
(1)当点B坐标为（0，）时，求直线CD的方程；
(2)求四边形ACBD面积S的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，直线的斜率为2，由与垂直，直线的斜率为，由此能求出直线的方程.
（2）当直线与轴垂直时，，，四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，由此利用配方法能求出四边形面积的最大值.
【详解】（1）当时，直线的斜率为，
与垂直，直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）当直线与轴垂直时，，
四边形的面积
当直线与轴不垂直时，设直线方程为
即
则直线方程为，即
点到直线的距离为
则四边形面积
令（当时，四边形不存在）

四边形面积的最大值为.
22．已知函数．
(1)若在单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得，根据条件单调递增，得到在上恒成立，从而得到在上恒成立，结合二次函数的图像与性质即可求解；
（2）先化简得到，求导得到，根据条件有两个极值点，（），得到，是方程的两个不同的根，结合韦达定理将不等式转化为，构造函数，，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，则，
若单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上单调递减，于是，
所以，
故实数a的取值范围为.
（2）证明：（），
则，
依题意可得，是方程的两个不同的根，
于是，，，即，
又，则，.
要证，
只需证，
即证，，
因为，所以，
从而，
令，，
则，
设，则，
令，解得：（舍去），
由，得，由，得，
于是在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
而，，于是在上，，
因此在上单调递增，从而，
综上所述，，
所以原命题得证．
【点睛】方法点睛：破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.本题中得到，是方程的两个不同的根，根据韦达定理得到及，从而将原不等式转化为只的不等式；
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.本题中构造函数，；
（3）再次利用导数研究函数的最值，即可证得结果.