人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精练，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

3.3 幂函数（难点）
一、单选题
1．已知函数，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，容易判断为奇函数，且在R上单调递增，进而将原不等式转化为，最后根据单调性求得答案.
【解析】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故选：A.
2．已知，则函数的图像不可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.
【解析】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.
故选：A
3．已知命题：幂函数在上单调递增；命题：若函数为偶函数，则的图象关于直线对称．则下列命题为假命题的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先分别判断命题和命题的真假，然后再根据逻辑连接词“且”、“或”、“非”进行判断即可.
【解析】是偶函数，
幂函数在上单调递减，
在上单调递增，
命题为真命题；则为假命题；
函数为偶函数，
的图象关于直线对称
命题为真命题；则为假命题；
又逻辑连接词“且”为“一假必假”，“或”为“一真必真”，
则对于A，为真命题；
对于B，为真命题；
对于C，为假命题；
对于D，为真命题；
故选：C.
4．①函数值域为；②函数为偶函数；③函数在上恒成立；④若任意都有.已知函数：①；②；③；④.其中同时满足以上四个条件的函数有（       ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】分别作出①；②；③；④四个函数的图象，再根据图象逐一判断四个函数是否满足①②③④四个条件即可求解.
【解析】分别作出①；②；③；④四个函数的图象：


由图知，四个函数的值域都是都满足①；
由图知：①；②；③图象关于轴对称，都是偶函数，④的定义域为不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故④不满足条件②；排除函数④；
条件③：函数在上恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在上单调递增，由四个函数图象可知，①，③，④满足条件③，函数②不满足条件③，排除函数②；
对于条件④：
函数①：如图任意都有，故函数①满足条件④，
函数③：如图任意都有，故函数③满足条件④，
所以同时满足以上四个条件的函数有函数①、函数③，共有个，
故选：C

5．已知点（n，8）在幂函数的图象上，则函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由为幂函数可求m，由点（n，8）在幂函数的图象上可求n，再根据函数的单调性求函数的值域.
【解析】由题可得m－2＝1，解得m＝3，所以，则，因此，定义域为[2，3]，因为函数和函数在[2，3]上单调递减，所以函数g（x）在[2，3]上单调递减，而g（2）＝1，g（3）＝－2，所以g（x）的值域为[－2，1]．
故选:D.
6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，分、和三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解.
【解析】由题意，当时，，
所以当时，；
当时，；
当时，.
综上，函数，
在时的解析式等价于.
根据奇函数的图像关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使，，则需满足，
解得.
故选：B.

7．定义新运算“”如下：，已知函数，则满足的实数的取值范围是（          ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据新定义，得到的表达式，判断函数在定义域的单调性，可得结果.
【解析】当时，
；
当时，
；
所以，
易知，在单调递增，
在单调递增，
且当时，，
当时，，
则在上单调递增，
所以
得，解得.
故选：C
【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数以及判断单调性，难点在于满足的不等式，属中档题.
8．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【解析】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．

二、多选题
9．黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】通过已知三个条件，分别奇偶性、值域和单调性即可排除选项.
【解析】由已知可得，此函数为奇函数，而A选项为偶函数，不满足题意，排除选项；
选项B，的值域为，且该函数在R上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C、D同时满足三个条件.
故选：CD.
10．已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列选项中正确的是（       ）
A．和在上的单调性相同
B．和在上的单调性相反
C．和在上的单调性相同
D．和在上的单调性相反
【答案】BC
【分析】通过解方程组求出再判断单调性即得解.
【解析】解：由题得（1），
又 （2），
解（1）（2）得
在上单调递减（因为幂函数是上的增函数），
因为在上的单调性相反（单调递增单调递减），在上都是单调递减，
故选：BC
11．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为R上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【解析】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．
12．记使得函数在上的值域为的实数的取值范围为集合，过点的幂函数在区间上的值域为集合，若是的必要不充分条件，则整数的取值可以为（       ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据二次函数的性质可得集合；根据幂函数的性质可得集合，由集合是集合的必要不充分条件，则是的真子集，即可得出答案．
【解析】函数的对称轴为，在时取最小值，故，
又与时函数值均为，故，
故的取值范围为，即集合；
设幂函数，过点，
即，得，
故，在区间上的值域为，
即，
若集合是集合的必要不充分条件，
则是的真子集，
即等号不能同时成立，
解得．
则整数的取值可以为，，．
故选：ABC

三、填空题
13．已知函数，则关于 的下列结论：①②是奇函数③在上是单调递增函数④对任意实数，方程都有解，其中正确的有（填写序号即可）__________．
【答案】①②④
【解析】∵，，∴所以函数是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又，是上的单调递减函数，是上的单调递减函数，由函数单调性的性质，所以在上单调递减，③不正确；因为函数值域为，所以对任意实数，方程都有解，④正确，故答案为①②④．
14．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】由函数为幂函数，可得m＝－1或m＝2，又由题意函数在上单调递增，可得，从而根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【解析】解：因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．
当m＝－1时，；当m＝2时，．
因为函数对任意的，，且，满足，
所以函数在上单调递增，
所以，
又，
所以函数是奇函数，且为增函数，
因为，
所以，
所以，即．
故答案为：＜.
15．定义在R上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式.则当时，的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由f(x−1)的图象相当于f(x)的图象向右平移了一个单位
又由f(x−1)的图象关于(1,0)中心对称
知f(x)的图象关于(0,0)中心对称，
即函数f(x)为奇函数，
得f(s2−2s)⩽f(t2−2t)，
从而t2−2t⩽s2−2s,化简得(t−s)(t+s−2)⩽0，
又1⩽s⩽3，则-1⩽2-s⩽1，故2−s⩽t⩽s,
从而,而，
故的取值范围是.
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
16．对于函数（为常数），给出下列命题：
①对任意，都不是奇函数；②的图像关于点对称；
③当时，无单调递增区间；④当时，对于满足条件的所有，总有．其中正确命题的序号为__________．
【答案】①②④
【解析】①定义域为，∴不可能为奇函数，正确；②，图像关于对称，正确；③当时，在和上为增，错误；④时，在上为减函数，，正确，故答案为①②④.

四、解答题
17．已知函数.
(1)如果函数为幂函数，试求实数a、b、c的值；
(2)如果、，且函数在区间上单调递减，试求ab的最大值.
【答案】(1)，，，或，，.
(2)18
【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；
（2）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得；
(1)
解：由函数的定义域为R知，当为幂函数时，
应满足或
解得，、、的值分别为：，，，或，，.
(2)
解：①当时，
由题意知，，所以.
②当时，函数图象的对称轴为，
以题意得：，即
所以，.
当且仅当，时取等号.
③当时，
以题意得：，即，即
又因为，
所以
综上可得，的最大值为18.
18．已知函数.
（1）当时，判断并证明的单调性；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）.
【解析】（1）根据函数单调性定义，判断当时，即可；
（2）法一：根据函数得到解析式，解关于的二次型不等式即可.
法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将转化为解，分，，，讨论使得成立时的范围为其解集.
【解析】解：（1）设，
则
因为，
所以，
所以在上单调递增.
（2）法一：原不等式可化为，
即，
所以，
当时，，不合题意，舍去；
当时，只需解，可化为，所以.
综上所述，不等式的解集为.
法二：由（1）的解答过程知在上单调递减，在上单调递增，
又为奇函数，，
所以，
当时，，与上式矛盾，故舍去；
当时，上式成立；
当时，，则，与上式矛盾，故舍去；
当时，，则，与上式矛盾，故舍去；
综上所述，不等式的解集为.
【点睛】确定函数单调性的四种方法：
（1）定义法：利用定义判断；
（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；
（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；
（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.
19．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可；
（2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可.
（1）
解：令，则，
则，
故．
（2）
解：由（1）可得．
因为函数和函数均在上单调递增，
所以在上单调递增．
故．
对任意，，不等式恒成立，
即对任意，不等式恒成立，
则解得或．
故的取值范围是．
20．已知幂函数，且在定义域内单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且.
【分析】（1）结合幂函数的定义、单调性求得的值.
（2）求得的解析式，对进行分类讨论，结合的最小值为来求得的取值范围.
(1)
函数是幂函数，
，
解得或.
由于在定义域内递增，所以不符合，
当时，，符合题意.
(2)
，，
图象开口向上，对称轴为，
当，即时，在上递增，.
当，即时，，不符合题意.
当，即时，在上递减，，不符合题意.
综上所述，存在使得的最小值为.
21．1.已知函数
(1)求函数的值域；
(2)记，则在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出和在各自区间上的值域，最后求并集即为分段函数的值域；（2）写出分段函数，求出的值域，然后即可
(1)
当时，，在上单调递增，所以        
当时，，在上单调递减，所以
故函数的值域为．
(2)
由题意可知，                         
当时，，则；
当时，，则；
所以，             
所以要使在上恒成立，只要即可，
m的取值范围为．
22．已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；
（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.
【解析】（1）（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，
故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
23．已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)由幂函数概念及偶函数性质求解析式
(2)由(1)知，再由在上恒成立，即的最小值恒大于等于0，应用函数思想分类讨论，求a的范围
【解析】（1）由为幂函数知，得或
为偶函数
∴当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去
所以
（2），令在上的最小值为
①当，即时，，所以
又，所以a不存在；
②当，即时，
所以.又，所以
③当，即时，
所以.又
所以.
综上可知，a的取值范围为
【点睛】本题考查了幂函数，并综合了偶函数、及根据不等式恒成立求参数范围，应用了分类讨论、函数的思想，属于较难的题
24．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)；
(2)函数在上单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）
证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）
解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
25．已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.
【答案】(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；
若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；
将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；
（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.
（1）
选择①.
由在上是偶函数，
得，且，所以a＝2，b＝0.
所以.
选择②.
当时，在上单调递增，则，解得，
所以.
为奇函数.
证明如下：的定义域为R.
因为，所以为奇函数.
（2）
当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当x＝0时，，所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以,解得.
所以实数c的取值范围是.
26．已知函数.
(1)若，记函数.当时，写出的增区间.（不需要证明）；
(2)记函数.若在区间上最大值是2，求的值；
(3)记函数，对，有成立，求实数取值范围.
【答案】(1)
(2)或或或5
(3)
【分析】（1）去绝对值符号，从而可求出函数的单调增区间；
（2）令，则有，故问题转化为：当时，函数在函数图像之间，再分和两种情况讨论，从而可得出答案；
（3），即，令，则，即，令，再根据二次函数的性质即可得出答案.
(1)
解：，
的单调递增区间是；
(2)
解：，令，
，
故问题转化为：当时，函数在函数图像之间，
①那么当时，函数顶点坐标在轴的负半轴上，
当过点或时，满足题意，故，
②那么当时，函数顶点坐标在轴的正半轴上，
当过点或，或者与相切时，满足题意，
故，
综上所述：的值为或或或5；

(3)
解：，，
不妨令或，
令，
，
换元可得：，
令，
对称轴，
①当，对称轴为负数，只需满足，
②当，只需满足即可，
恒成立，故成立，
综上所述：实数取值范围为.
【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了二次函数的最值问题，及不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想及转化思想，有一定的难度.