2023年山西省晋中市平遥县中考数学二模试卷+

这是一份2023年山西省晋中市平遥县中考数学二模试卷+，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．|﹣4|C．﹣（﹣3）D．﹣
2．地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影，下列图案分别为北京，深圳，太原四个城市的地铁标志（ ）
A．B．
C．D．
3．我国第七次人口普查数据结果公布了，数据显示，全国人口共141178万人，增加了7206万人．这个数据结果也表明我国人口在这10年来保持低速增长态势．其中数据7206万用科学记数法表示为（ ）
A．7206×104B．7.206×108C．7.206×107D．7.206×10
4．如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
5．某商场把一个双肩包按进价提高30%标价，然后按八折出售，这样商场每卖出一个书包仍可盈利10元．设每个双肩书包的进价是x元（ ）
A．30%x•80%﹣x＝10B．（1+30%）x•80%﹣x＝10
C．（1+30%）x•80%＝10D．（1+30%）x﹣x＝10更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 6．“数形结合”是我们解决问题常用的一种数学思想，请根据图象，可得关于x的不等式kx﹣3＞﹣x的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＞1D．x＜1
7．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时（ ）
A．30°B．15°C．45°D．20°
8．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．在用撬棍撬动石块匀速转动的过程中，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是（ ）
A．F与l的积为定值
B．F随l的增大而减小
C．当l为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力
D．F关于l的函数图象位于第一、第三象限
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，D为圆心，大于，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，则EC的长度是（ ）
A．2B．3C．D．
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题。（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．分解因式：ab﹣a＝ ．
12．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影） ．
13．如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
14．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，⊙O的半径等于6，则弧AC的长为 ．（结果保留π）
15．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于y轴的对称点为点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，若△ABP的面积等于2，则点P坐标为 ．
三、解答题。（共8小题，满分75分）。
16．（12分）（1）计算：﹣1；
（2）解不等式组：，并写出它的整数解．
17．（5分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且BE＝CF，EF⊥DF
18．（9分）小明的爸爸在小区开了一个文具店，准备购进甲、乙两种钢笔进行销售，经过市场调查
已知花费400元购进甲钢笔的数量和花费800元购进乙钢笔的数量相等．
（1）求甲，乙两种钢笔每支进价分别为多少元？
（2）本月社区组织“全民书写规范字”大赛，文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，如何进货能使利润最大，最大利润是多少元？
19．（7分）为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，B．书法绘画，C．红歌传唱，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 ，扇形统计图中A部分圆心角的度数是 ；
（2）学校从1班，2班，3班，求恰好选中2班和3班的概率．
20．（8分）有一块矩形板材需要加工，如图所示，矩形ABCD中，AD＝5，现要在BC边上确定一点E作为切割点．请你帮忙完成以下任务．
（1）利用尺规在BC边上求作点E，使得BE＝4（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若连结AE，垂足为F，需要在矩形板材按以上操作下裁掉四边形ECDF
21．（10分）下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，画出测量示意图，并进行实地测量，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识 ；（写出一个即可）
（3）任务三：请你设计一个测量方案，简要说明一下．
22．（12分）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD ．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD ．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
23．（12分）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点C的坐标为（0，5）．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
2023年山西省晋中市平遥县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题3分，共30分）
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．|﹣4|C．﹣（﹣3）D．﹣
【分析】正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案．
【解答】解：∵|﹣4|＝4，﹣（﹣5）＝3，
∴4＞3＞﹣＞﹣6，
则最小的数为：﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影，下列图案分别为北京，深圳，太原四个城市的地铁标志（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．我国第七次人口普查数据结果公布了，数据显示，全国人口共141178万人，增加了7206万人．这个数据结果也表明我国人口在这10年来保持低速增长态势．其中数据7206万用科学记数法表示为（ ）
A．7206×104B．7.206×108C．7.206×107D．7.206×10
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：7206万＝72060000＝7.206×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣6，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．
5．某商场把一个双肩包按进价提高30%标价，然后按八折出售，这样商场每卖出一个书包仍可盈利10元．设每个双肩书包的进价是x元（ ）
A．30%x•80%﹣x＝10B．（1+30%）x•80%﹣x＝10
C．（1+30%）x•80%＝10D．（1+30%）x﹣x＝10
【分析】首先根据题意表示出标价为（1+30%）x，再表示出售价为（1+30%）x•80%，然后利用售价﹣进价＝利润即可得到方程．
【解答】解：设每个双肩背书包的进价是x元，根据题意得：
（1+30%）x•80%﹣x＝10．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．
6．“数形结合”是我们解决问题常用的一种数学思想，请根据图象，可得关于x的不等式kx﹣3＞﹣x的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＞1D．x＜1
【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【解答】解：由一次函数的图象可知，当x＞1时，
∴关于x的不等式kx﹣3＞﹣x的解集是x＞6．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
7．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时（ ）
A．30°B．15°C．45°D．20°
【分析】当EF第一次与AB平行时，过点D作直线DM∥AB，则AB∥DM∥EF，由平行线的性质可得∠B＝∠BDM＝30°，∠E＝∠EDM＝45°，进而得到∠BDE＝75°，再利用平角的定义即可求解．
【解答】解：如图，过点D作直线DM∥AB，
由题意得，∠B＝30°，∠EDF＝90°，
∵AB∥EF，DM∥AB，
∴AB∥DM∥EF，
∴∠B＝∠BDM＝30°，∠E＝∠EDM＝45°，
∴∠BDE＝∠BDM+∠EDM＝75°，
∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝180°﹣75°﹣90°＝15°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
8．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．在用撬棍撬动石块匀速转动的过程中，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是（ ）
A．F与l的积为定值
B．F随l的增大而减小
C．当l为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力
D．F关于l的函数图象位于第一、第三象限
【分析】根据杠杆平衡条件：动力×动力臂＝阻力×阻力臂，代入有关数据计算即可．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，
∴动力F和动力臂l的关系式为：Fl＝1200×4.5＝600，即F与l的积为定值；
∵Fl＝600，
∴F＝，故F随l的增大而减小；
当l为1.4m时，撬动石头至少需要F＝，故此选项C不合题意；
∵F＝（l＞2），
∴F关于l的函数图象位于第一象限，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，D为圆心，大于，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，则EC的长度是（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．
【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF计算即可．
【解答】解：S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF
＝×8×+﹣
＝+，
故选：A．
【点评】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．
二、填空题。（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．分解因式：ab﹣a＝ a（b﹣1） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：ab﹣a＝a（b﹣1）．
故答案为：a（b﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影） ．
【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形（阴影）区域的概率．
【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为5，＝，针扎到小正方形（阴影）区域的概率是．
【点评】本题将概率的求解设置于“赵爽弦图”的游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．易错点是得到两个正方形的边长．
13．如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2 ＞ s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，7，5，10，9，8，8，7，
乙的成绩为9，5，10，9，9，2，9，7，8，9，
＝×（3+10+7+9+10+7+8+10+8+5）＝8.5，
＝×（9+8+10+7+9+8+2+7+7+2）＝8.5，
甲的方差s甲5＝[3×（7﹣8.5）2+3×（8﹣8.5）2+3×（10﹣6.5）2+6×（9﹣8.6）2]÷10＝1.45，
乙的方差s乙7＝[2×（7﹣7.5）2+4×（8﹣8.7）2+5×（6﹣8.5）7+（10﹣8.5）8]÷10＝0.85，
∴s甲2＞s乙4，
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，⊙O的半径等于6，则弧AC的长为 4π ．（结果保留π）
【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DAE＝60°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝120°，
∴弧AC的长＝＝7π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式l＝是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于y轴的对称点为点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，若△ABP的面积等于2，则点P坐标为 （，4）或（3，2） ．
【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点B（2，3），然后把B点坐标代入y＝可得到k的值，设P（t，），利用三角形面积公式得到•4•|3﹣|＝2，然后解方程求出t即可得到P点坐标．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）关于y轴的对称点为点B，
∴点B（8，3），
把B（2，7）代入y＝，
∴反比例的函数解析式为y＝，
设P（t，），
∵AB∥x轴，
∴S△ABP＝•4•|5﹣，
解得t＝3或t＝，
∴P点坐标为（，4）或 ，2），
故答案为：（，4）或 ，4）．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
三、解答题。（共8小题，满分75分）。
16．（12分）（1）计算：﹣1；
（2）解不等式组：，并写出它的整数解．
【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2×+2
＝1﹣+5
＝3+；
（2）由3（x+1）≥﹣2得：x≥﹣，
由＞x﹣2得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣≤x＜2，
所以不等式组的整数解为﹣2、﹣2、0、1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（5分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且BE＝CF，EF⊥DF
【分析】欲证明BF＝CD，只要证明△BEF≌△CFD；
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD＝90°，
∴∠EFB+∠DFC＝90°，∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EFB＝∠DFC，
∵BE＝CF，
∴△BEF≌△CFD，
∴BF＝CD．
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（9分）小明的爸爸在小区开了一个文具店，准备购进甲、乙两种钢笔进行销售，经过市场调查
已知花费400元购进甲钢笔的数量和花费800元购进乙钢笔的数量相等．
（1）求甲，乙两种钢笔每支进价分别为多少元？
（2）本月社区组织“全民书写规范字”大赛，文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，如何进货能使利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据花费400元购进甲钢笔的数量和花费800元购进乙钢笔的数量相等，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲，乙两种钢笔每支进价分别为多少元；
（2）根据题意，可以得到利润与购进甲种钢笔数量的函数关系，然后根据要求购进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的4倍，可以得到购进甲种钢笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
【解答】解：（1）由题意可得，
＝，
解得a＝5，
经检验，a＝7是原分式方程的解，
∴a+5＝10，
答：甲，乙两种钢笔每支进价分别为5元；
（2）（2）设利润为w元，甲种钢笔笔购进x支，
w＝2x+3×＝6.5x+600，
∵k＝0.6＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的4倍，
∴x≤×4，
解得x≤266，
∵x为整数，
∴当x＝266时，w取得最大值，＝67，
答：该文具店购进甲种钢笔266支，乙种钢笔67支时，最大利润是733元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
19．（7分）为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，B．书法绘画，C．红歌传唱，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 40 ，扇形统计图中A部分圆心角的度数是 54° ；
（2）学校从1班，2班，3班，求恰好选中2班和3班的概率．
【分析】（1）根据C部分的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用360°乘以A部分的人数所占的百分比，即可得出扇形统计图中A部分圆心角的度数；
（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出恰好选中2班和3班的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）参与此次抽样调查的学生人数是：18÷45%＝40（人），
A类的人数有：40﹣12﹣18﹣4＝6（人），
扇形统计图中A部分圆心角的度数是：360°×＝54°；
故答案为：40；54°．
（2）将1班，2班，8班分别记为1，2，4，4，
根据题意，列表如下：
如表，所有可能发生的结果共有12种，其中恰好选中2班和3班的有8种，
∴恰好选中2班和3班的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）有一块矩形板材需要加工，如图所示，矩形ABCD中，AD＝5，现要在BC边上确定一点E作为切割点．请你帮忙完成以下任务．
（1）利用尺规在BC边上求作点E，使得BE＝4（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若连结AE，垂足为F，需要在矩形板材按以上操作下裁掉四边形ECDF
【分析】（1）以A为圆心，AD为半径作弧交BC与点E，点E即为所求；
（2）证明△DEF≌△DEC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求；
（2）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠DEF＝∠DEC，
∵∠DFE＝∠C＝90°，DE＝DE，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴DF＝DC＝3，EF＝EC＝1，
∴切割线的长＝DF+EF＝8+1＝4．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（10分）下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，画出测量示意图，并进行实地测量，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识 相似三角形的对应边成比例 ；（写出一个即可）
（3）任务三：请你设计一个测量方案，简要说明一下．
【分析】任务一：利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长；
任务二：用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
任务三：除了利用相似来测量河的宽度，我们还可以利用全等来测量．
【解答】解：任务一：由题知，
△ABC∽△ADE．
∴，
又BC＝1.5，BD＝10，
∴，
解得AB＝50．
故河流的宽度AB为50m．
任务二：本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识．
任务三：在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，到达C处，使得CD＝BC，当走到与A，位置记为E．
【点评】本题考查了用相似三角形解决实际问题，找准相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系是解题的关键．
22．（12分）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD BD＝CE ．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD 或 ．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明△ADB≌△AEC，即可得解；
（2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明△ADB∽△AEC，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解；
（3）①根据，∠ABC＝∠ADE＝90°，可证△ABC∽△ADE，可得∠DAB＝∠EAC，在Rt△ABC中，求出BC＝5x，在Rt△ADE中，求出AE＝5a，再证△DAB∽△EAC，根据相似三角形的性质即可求解；
②由①得：△DAB∽△EAC，由此可证△BGF∽△CGA，得∠BFG＝∠GAC，在Rt△ABC中，根据余弦的计算方法即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ADB，△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE．
（2）结论：或，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴，
∵∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝45°，
∴∠DAB＝∠EAC，且∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ADB∽△AEC，
∴，
∴或，
故答案为：或；
（3）①∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC，即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
设AB＝4x，BC＝4x，
在Rt△ABC中，，
同理，在Rt△ADE中，DE＝8a，
∴∠DAB＝∠EAC，，即，
∴△DAB∽△EAC，
∴；
②由①得：△DAB∽△EAC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BGF＝∠AGC，
∴△BGF∽△CGA，
∴∠BFG＝∠GAC，
∴sin∠BFC＝sin∠BAC，
在Rt△ABC中，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形，全等三角形，相似三角形的综合，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（12分）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点C的坐标为（0，5）．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△PHE是等腰直角三角形，则PE＝，即可求解；
（3）当AC为平行四边形对角线时，则﹣5＝x﹣2，解得：x＝﹣3，即可求解；当AM（AN）为平行四边形对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x7﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣62﹣4×（﹣6）+c
∴c＝5，
抛物线y＝﹣x2﹣3x+5，
令y＝0，得6＝﹣x2﹣4x+2，
解得：x＝﹣1或5，
∴点A的坐标为（2，﹣1）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣5x+5，
令y＝﹣x2﹣5x+5＝0，解得：x＝7或﹣5，
故点B（1，6）；
过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H
∵A（﹣5，0），7），
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴PE＝，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣6，0）代入得0＝﹣3k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+2，
设P（m，﹣m2﹣4m+4），（﹣5＜m＜0），m+7），
∴PH＝（﹣m2﹣4m+7）﹣（m+5）＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣5＜0，
∴当m＝﹣时，PH的最大为，
∴PE＝＝，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+2）3+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣4，m），﹣x2﹣4x+7），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
则﹣5＝x﹣2，解得：x＝﹣8，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
则x﹣7＝﹣2，解得：x＝3，
∴点M的坐标为（6，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
则﹣5﹣2＝x，
解得：x＝﹣3，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，﹣16）或（﹣8．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．甲钢笔
乙钢笔
每支进价（元）
a
a+5
每支利润（元）
2
3
题目
测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据
BC＝1.5m，BD＝10m，DE＝1.8m
甲钢笔
乙钢笔
每支进价（元）
a
a+5
每支利润（元）
2
3
1
3
3
4
5
（2，1）
（7，1）
（4，4）
2
（1，2）
（3，2）
（3，1）
3
（4，3）
（2，4）
（4，3）
3
（1，4）
（5，4）
（3，8）
题目
测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据
BC＝1.5m，BD＝10m，DE＝1.8m