广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试卷(含答案)

这是一份广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．过点,且倾斜角为的直线方程为( )
A.B.C.D.
2．已知为抛物线上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则( )
A.2B.3C.6D.9
3．已知椭圆的一个焦点为,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
4．如图,G是的重心,,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知的三个顶点,,,则BC边上的中线长为( )
A.B.C.D.
6．已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为( )
A.B.C.D.
7．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
8．如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别是棱AB,BC的中点,则点到平面的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.直线必过定点
B.直线在轴上的截距为
C.直线的倾斜角为
D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线l的斜率为
10．已知曲线( )
A.若,则C是粗圆,其焦点在y轴上
B.若,则C是双曲线,其渐近线方程为
C.若,则C是圆,其半径为
D.若,,则C是两条直线
11．如图,在直三棱柱中,,,,,D是的中点,点E在棱上且靠近,当时,则( )
A.B.
C.D.二面角的余弦值为
12．如图所示,两个椭圆,,内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,下列说法正确的是( )
A.曲线C关于直线,对称
B.两个椭圆的离心率不相等
C.P到,,,四点的距离之和为定值
D.曲线所围区域面积必小于36
三、填空题
13．与圆同心且过点的圆的标准方程为________.
14．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l在轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,且,则直线l的截距式方程为;类似地,在空间直角坐标系中,若平面ABC与x轴,y轴,z轴的交点分别为,,,且,则平面ABC的截距式方程为________.
15．已知F是抛物线的焦点,定点.若点M在抛物线上运动,那么的最小值为________.
16．已知矩形ABCD,,,沿对角线AC将折起,使得,则二面角的大小是________.
四、解答题
17．经过直线,的交点M,且满足下列条件的直线的方程:
（1）与直线平行;
（2）与直线垂直.
18．如图,是边长为2的等边三角形,是以为斜边的等腰直角三角形,且.
（1）求证:平面平面ABD;
（2）求直线AC与平面BCD所成角的正弦值.
19．已知两圆和.
（1）判断两圆的位置关系;
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
20．如图,在正四棱雉中,,,点,,,分别在棱,,,上,,,.
（1）证明:;
（2）点P在棱上,当二面角为时,求.
21．已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A,B两点,且,求证:直线l过定点.
22．设粗圆的离心率为,上,下顶点分别为,,.过点,且斜率为k的直线l与椭圆相交于C,D两点.
（1）求椭圆的方程;
（2）是否存在实数k,使直线?证明你的结论.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意,要求直线的倾斜角为,则该直线与x轴垂直,其斜率不存在,
又由直线过点.
则其方程为;
故选:B.
2．答案：C
解析：A为抛物线上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,
故有:;
故选:C.
3．答案：C
解析：椭圆的一个焦点为
可得,,解得,
所以
故选:C.
4．答案：D
解析：,,,
,
则向量用基底可以表示为,
故选:D.
5．答案：A
解析：
6．答案：B
解析：椭圆的焦点坐标为,
则双曲线的焦点坐标为,
所以双曲线C的半焦距.
由双曲线的一条渐近线方程为,可得,即,可得,
解得,,
所以所求的双曲线C的方程为:.
故选:B.
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：法一:(空间向量法)
如图,建立空间直角坐标系,
则,,,
,,
设是平面的一个法向量,
则,
取,则
点到平面的距离
法二:(等体积法)
,,
,,
9．答案：ACD
解析：对于A:直线,整理得,所以该直线经过点,故A正确;
对于B:直线,令,解得,故直线在y轴上的截距为,故B错误;
对于C:直线,所以直线的斜率,所以,由于,故,故C正确;
对于D:直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则,所以直线的斜率为,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：ABD
解析：
11．答案：BD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,设,,
则,,,,,,
,
或(不合,舍去)
,即
,
A错误,B正确
,
C错误
对于D,
显然是平面的一个法向量,设为平面的一个法向量,则,取,则
显然,二面角是锐二面角
二面角的余弦值为,
D正确
12．答案：AD
解析：直接由图形可知A正确(也可由方程看,因为同时用x代替y,用y代替x,方程不变;同时用代替y,用代替x,方程不变.所以A正确)
两个粗圆的离心率均为,B错误.
由椭圆的定义可知,只有当点P刚好在两个椭圆的四个交点的位置时,(定值),此结论才成立,所以C错误.
阴影落在直线,四条直线围成的矩形内部,阴影的,故D正确.
13．答案：
解析：由题意:设所求圆的方程为:,
因为所求圆过点,
可得:.
所求圆的方程为:.
故答案为:.
14．答案：
解析：因为在平面直角坐标系中,方程表示的图形是一条直线,具有特定性质:在x轴,y轴上的截距分别为a,b,因此,类比到空间直角坐标系中,如果一个平面在x轴,y轴,z轴上的截距分别为a,b,,
则此平面的截距式方程为,
故答案为:.
15．答案：3
解析：由抛物线的方程可得焦点,准线方程为:,
设垂直于准线交于抛物线的准线于,设M为抛物线上任意一点,
则,
的最小值为3.
故答案为:3.
16．答案：
解析：(平面到空间的转化,二面角“一作二证三计算”,余弦定理,空间向量的运算)折起前如图①,折起后如图②
法一:图①中,作,,垂足分别为,
,,
图②中,在平面内过作,则可知为二面角的平面角.
连接,,则可得,
,
二面角的大小为
法二:,
二面角的大小为
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：由,解得,
设所求直线为l
直线的斜率为
（1）直线l与直线平行
直线l的方程为:,即
（2）直线l与直线垂直
直线l的方程为:,即
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取AB的中点O,连接OC,OD
是边长为2的等边三角形,
,
是以AB为斜边的等腰直角三角形,
,.
又,,即
,平面ABD,,平面ABD
平面ABC,平面平面ABD
（2）由（1）可知,AB,OC,OD两两互相垂直,故以O为原点,以OC,OB,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
,,,.
,,
设是平面BCD的一个法向量,
则
取,则
设直线AC与平面BCD所成的角为,则
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）法一:联立,消去y,整理得,
,两圆相交
法二:,记为圆,圆心,半径
,记为圆,圆心,半径
,两圆相交
（2）联立,两式相减,化简得,
两圆公共弦所在的直线方程为:
法一:解方程组,得,
两圆的交点,
公共弦长为
法二:圆心到两圆的公共弦所在直线的距离为
公共弦长为
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:以C为坐标原点,以CD,CB,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,则,,,,
,
又,不在同一条直线上,
（2）设,,则
,,
设平面的一个法向量为,则
令,得,
.
又设平面的一个法向量为,则
令,得,
.
化简可得,,解得或
或
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）抛物线的焦点为
,渐近线方程为.
,抛物线C的方程为:
（2）证明:由题意知直线l不能与x轴平行,故可设直线l的方程为:
联立,消去x,得
设,,则
,即
又,
直线l的方程为,易得直线l过定点
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）
所求的椭圆方程为
（2）直线
设,
联立方程组,消去y,得
由已知可得,
设直线AC,BD的斜率分别为,,则,
又
命题“,”是真命题,从而“,”是假命题..