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2024广东省四会中学、广信中学高二上学期第二次月考试题数学含解析
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这是一份2024广东省四会中学、广信中学高二上学期第二次月考试题数学含解析，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A.B.C.D.
2.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ）
A.2B.3C.6D.9
3.已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
4.如图，是的重心，，，，则（ ）
A.B.
C.D.
5.已知的三个顶点，，，则边上的中线长为（ ）
A.B.C.D.
6.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）
A.B.C.D.
7.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A.B.C.D.
8.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则点到平面的距离为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线必过定点
B.直线在轴上的截距为-2
C.直线的倾斜角为
D.若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10.已知曲线（ ）
A.若，则是粗圆，其焦点在轴上
B.若，则是双曲线，其渐近线方程为
C.若，则是圆，其半径为
D.若，，则是两条直线
11.如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（ ）
A.B.
C.D.二面角的余弦值为
12.如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A.曲线关于直线，对称
B.两个椭圆的离心率不相等
C.到，，，四点的距离之和为定值
D.曲线所围区域面积必小于36
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.与圆同心且过点的圆的标准方程为________.
14.在平面直角坐标系中，已知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，则直线的截距式方程为；类似地，在空间直角坐标系中，若平面与轴、轴、轴的交点分别为，，，且，则平面的截距式方程为________.
15.已知是抛物线的焦点，定点.若点在抛物线上运动，那么的最小值为________.
16.已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的大小是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程：
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
18.（本小题12分）
如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题12分）
已知两圆和.
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
20.（本小题12分）
如图，在正四棱雉中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，.
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求.
21.（本小题12分）
已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若不过原点的直线与抛物线交于，两点，且，求证：直线过定点.
22.（本小题12分）
设粗圆的离心率为，上、下顶点分别为，，.过点，且斜率为的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使直线？证明你的结论.
2023-2024学年第一学期第二次联考参考答案
高二数学
一、选择题：
8.D详解：法一：（空间向量法）
如图，建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，
取，则
点到平面的距离
法二：（等体积法）
，，
，∵，∴
11.BD详解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，，，，，，
，
或（不合，舍去）
∴，即
∵，
∴A错误，B正确
∵，
∴C错误
对于D，
显然是平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，取，则
∵
显然，二面角是锐二面角
∴二面角的余弦值为，∴D正确
12.AD详解：
直接由图形可知A正确（也可由方程看，因为同时用代替，用代替，方程不变；同时用代替，用代替，方程不变.所以A正确）
两个粗圆的离心率均为，B错误.
由椭圆的定义可知，只有当点刚好在两个椭圆的四个交点的位置时，（定值），此结论才成立，所以C错误.
阴影落在直线，四条直线围成的矩形内部，阴影的，故D正确.
16.详解：（平面到空间的转化，二面角“一作二证三计算”，余弦定理，空间向量的运算）折起前如图①，折起后如图②
法一：图①中，作，，垂足分别为，
∵，∴，∴
∴
图②中，在平面内过作，则可知为二面角的平面角.
连接，，则可得，
∵，∴
∴二面角的大小为
法二：∵，
∴
∴
∴二面角的大小为
三、填空题：共20分
13. 14. 15.3 16.
四、解答题：共70分
17.解：由，解得，∴………………………………3分
设所求直线为
直线的斜率为……………………………………………………4分
（1）∵直线与直线平行
∴直线的方程为：，即………………………………7分
（2）∵直线与直线垂直
∴直线的方程为：，即…………………………10分
18.（1）证明：取的中点，连接，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，………………………………………………………………1分
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，.………………………………………………………………2分
又∵，∴，即………………………………3分
∵平面，，∴平面…………………………4分
∵平面，∴平面平面……………………………………5分
（2）由（1）可知，，，两两互相垂直，故以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.…………………………………………………………6分
∵，，，.…………………………………………7分
∴，，……………………………………8分
设是平面的一个法向量，
则………………………………9分
取，则………………………………………………………10分
设直线与平面所成的角为，则
…………12分
19.解（1）法一：联立，消去，整理得，………………3分
∵，∴两圆相交……………………………………6分
法二：∵，记为圆，圆心，半径
，记为圆，圆心，半径
∴…………………………………………3分
∵，∴两圆相交…………………………………………6分
（2）联立，两式相减，化简得，
∴两圆公共弦所在的直线方程为：……………………………………8分
法一：解方程组，得，
∵两圆的交点，……………………………………………………10分
∴公共弦长为………………………………12分
法二：∵圆心到两圆的公共弦所在直线的距离为
…………………………………………………………10分
∴公共弦长为………………………………12分
20.（1）证明：以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，………………………1分
∴，………………………………………………2分
∴…………………………………………………………………………3分
又∵，不在同一条直线上，∴………………………………4分
（2）解：设，，则
，，…………………………5分
设平面的一个法向量为，则
令，得，
∴.………………………………………………………………7分
又设平面的一个法向量为，则
令，得，
∴..……………………………………………………………………9分
∴
化简可得，，解得或
∴或……………………………………………………11分
∴………………………………………………………………12分
21.（1）解：抛物线的焦点为…………………………………………1分
，渐近线方程为.………………2分
∵，∴抛物线的方程为：…………………………4分
（2）证明：由题意知直线不能与轴平行，故可设直线的方程为：…………5分
联立，消去，得……………………………………6分
设，，则……………………………………………………7分
∵………………9分
，即……………………10分
又∵，∴……………………………………………………………………11分
∴直线的方程为，易得直线过定点………………………………12分
22.解：（1）∵……………………………………………………3分
∴所求的椭圆方程为……………………………………………………4分
（2）直线…………………………………………………………5分
设，
联立方程组，消去，得……………………6分
∴………………………………………………………………7分
由已知可得，
设直线、的斜率分别为、，则，…………………………8分
…………………………………………………………………………9分
又∵……………………………………10分
∴命题“，”是真命题，从而“，”是假命题..……………………11分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
D
A
B
A
D
ACD
ABD
BD
AD
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A.B.C.D.
2.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ）
A.2B.3C.6D.9
3.已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
4.如图，是的重心，，，，则（ ）
A.B.
C.D.
5.已知的三个顶点，，，则边上的中线长为（ ）
A.B.C.D.
6.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）
A.B.C.D.
7.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A.B.C.D.
8.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则点到平面的距离为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线必过定点
B.直线在轴上的截距为-2
C.直线的倾斜角为
D.若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10.已知曲线（ ）
A.若，则是粗圆，其焦点在轴上
B.若，则是双曲线，其渐近线方程为
C.若，则是圆，其半径为
D.若，，则是两条直线
11.如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（ ）
A.B.
C.D.二面角的余弦值为
12.如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A.曲线关于直线，对称
B.两个椭圆的离心率不相等
C.到，，，四点的距离之和为定值
D.曲线所围区域面积必小于36
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.与圆同心且过点的圆的标准方程为________.
14.在平面直角坐标系中，已知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，则直线的截距式方程为；类似地，在空间直角坐标系中，若平面与轴、轴、轴的交点分别为，，，且，则平面的截距式方程为________.
15.已知是抛物线的焦点，定点.若点在抛物线上运动，那么的最小值为________.
16.已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的大小是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程：
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
18.（本小题12分）
如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题12分）
已知两圆和.
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
20.（本小题12分）
如图，在正四棱雉中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，.
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求.
21.（本小题12分）
已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若不过原点的直线与抛物线交于，两点，且，求证：直线过定点.
22.（本小题12分）
设粗圆的离心率为，上、下顶点分别为，，.过点，且斜率为的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使直线？证明你的结论.
2023-2024学年第一学期第二次联考参考答案
高二数学
一、选择题：
8.D详解：法一：（空间向量法）
如图，建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，
取，则
点到平面的距离
法二：（等体积法）
，，
，∵，∴
11.BD详解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，，，，，，
，
或（不合，舍去）
∴，即
∵，
∴A错误，B正确
∵，
∴C错误
对于D，
显然是平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，取，则
∵
显然，二面角是锐二面角
∴二面角的余弦值为，∴D正确
12.AD详解：
直接由图形可知A正确（也可由方程看，因为同时用代替，用代替，方程不变；同时用代替，用代替，方程不变.所以A正确）
两个粗圆的离心率均为，B错误.
由椭圆的定义可知，只有当点刚好在两个椭圆的四个交点的位置时，（定值），此结论才成立，所以C错误.
阴影落在直线，四条直线围成的矩形内部，阴影的，故D正确.
16.详解：（平面到空间的转化，二面角“一作二证三计算”，余弦定理，空间向量的运算）折起前如图①，折起后如图②
法一：图①中，作，，垂足分别为，
∵，∴，∴
∴
图②中，在平面内过作，则可知为二面角的平面角.
连接，，则可得，
∵，∴
∴二面角的大小为
法二：∵，
∴
∴
∴二面角的大小为
三、填空题：共20分
13. 14. 15.3 16.
四、解答题：共70分
17.解：由，解得，∴………………………………3分
设所求直线为
直线的斜率为……………………………………………………4分
（1）∵直线与直线平行
∴直线的方程为：，即………………………………7分
（2）∵直线与直线垂直
∴直线的方程为：，即…………………………10分
18.（1）证明：取的中点，连接，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，………………………………………………………………1分
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，.………………………………………………………………2分
又∵，∴，即………………………………3分
∵平面，，∴平面…………………………4分
∵平面，∴平面平面……………………………………5分
（2）由（1）可知，，，两两互相垂直，故以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.…………………………………………………………6分
∵，，，.…………………………………………7分
∴，，……………………………………8分
设是平面的一个法向量，
则………………………………9分
取，则………………………………………………………10分
设直线与平面所成的角为，则
…………12分
19.解（1）法一：联立，消去，整理得，………………3分
∵，∴两圆相交……………………………………6分
法二：∵，记为圆，圆心，半径
，记为圆，圆心，半径
∴…………………………………………3分
∵，∴两圆相交…………………………………………6分
（2）联立，两式相减，化简得，
∴两圆公共弦所在的直线方程为：……………………………………8分
法一：解方程组，得，
∵两圆的交点，……………………………………………………10分
∴公共弦长为………………………………12分
法二：∵圆心到两圆的公共弦所在直线的距离为
…………………………………………………………10分
∴公共弦长为………………………………12分
20.（1）证明：以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，………………………1分
∴，………………………………………………2分
∴…………………………………………………………………………3分
又∵，不在同一条直线上，∴………………………………4分
（2）解：设，，则
，，…………………………5分
设平面的一个法向量为，则
令，得，
∴.………………………………………………………………7分
又设平面的一个法向量为，则
令，得，
∴..……………………………………………………………………9分
∴
化简可得，，解得或
∴或……………………………………………………11分
∴………………………………………………………………12分
21.（1）解：抛物线的焦点为…………………………………………1分
，渐近线方程为.………………2分
∵，∴抛物线的方程为：…………………………4分
（2）证明：由题意知直线不能与轴平行，故可设直线的方程为：…………5分
联立，消去，得……………………………………6分
设，，则……………………………………………………7分
∵………………9分
，即……………………10分
又∵，∴……………………………………………………………………11分
∴直线的方程为，易得直线过定点………………………………12分
22.解：（1）∵……………………………………………………3分
∴所求的椭圆方程为……………………………………………………4分
（2）直线…………………………………………………………5分
设，
联立方程组，消去，得……………………6分
∴………………………………………………………………7分
由已知可得，
设直线、的斜率分别为、，则，…………………………8分
…………………………………………………………………………9分
又∵……………………………………10分
∴命题“，”是真命题，从而“，”是假命题..……………………11分题号
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答案
B
C
C
D
A
B
A
D
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