江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期12月学情调研测试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期12月学情调研测试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若两条直线与互相垂直，则实数a的值为( )
A.B.C.D.6
2．抛物线的焦点到点的距离为( )
A.3B.C.5D.
3．已知数列中，且，则为( )
A.B.C.D.
4．设函数在处存在导数为3，则( )
A.1B.3C.6D.9
5．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数m的值为( )
A.B.C.D.
6．已知等差数列的前n项和为，，，则使得不等式成立的最大的n的值为( )
A.9B.10C.11D.12
7．已知双曲线，，是它的两个焦点，O为坐标原点，P是双曲线右支上一点，，则( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆，P是椭圆C上的点，，分别是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的有( )
A.若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大；
B.直线必过定点；
C.直线与直线的距离为；
D.斜率为3，且在y轴上的截距为2的直线方程为.
10．下列求导运算正确的是( )
A.B.C.D.
11．已知点在抛物线的准线上，过抛物线C的焦点F作直线l交C于、两点，则( )
A.抛物线C的方程是B.
C.当时，D.
12．对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前n项和为，则下列关于数列的描述正确的有( )
A.数列为等比数列B.数列为等差数列
C.D.记为数列的前n项和，则
三、填空题
13．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则实数m的值为________.
14．已知为等比数列，公比，，且，，成等差数列，则通项公式________.
15．已知平面内的动点P到两定点，的距离分别为和，且，则点P到直线的距离的最大值为________.
16．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数k的最小值为________.
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前10项和.
18．已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
19．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.
20．已知数列，，，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和.
21．在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8.
（1）求点A的轨迹方程；
（2）记的左、右焦点分别为、，过定点的直线l交于P、Q两点.若P、Q两点满足，求直线l的方程.
22．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线交E于A，B两点，C，D为E上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可知，两条直线斜率乘积为-1，则解得
故选C
2．答案：B
解析：由抛物线的焦点，
焦点到点的距离为.
故选B.
3．答案：D
解析：，，
即，两边同时除以得：，
即，令，则，
则是首项为，公差为1的等差数列，则，即，
则，则.
故选：D
4．答案：A
解析：由题意可得，则.
综上所述，答案选择：A.
5．答案：D
解析：圆，
可化为，圆心，半径；
圆可化为
，心，半径；
因为与有且仅有一条公切线，所以两圆内切，所以，
即，解得.
故选：D.
6．答案：C
解析：根据题意，数列是等差数列，设其公差为d，由等差数列的性质，可得，又，所以，公差，因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，又，
所以使得的最大的n为11，故选：C.
7．答案：A
解析：
设点P坐标为，，
由题意可知，，，
则，，，.
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得.
因为，则.
因为，
所以，解得.
又因为点P在双曲线，所以，
则.
故选：A
8．答案：B
解析：设，则，，，
因为，所以，又，
所以时，取得最大值，
恒成立，则，变形得，又，故解得，
故选：B.
9．答案：BC
解析：对于A，当斜率为时，倾斜角为，当斜率为时，倾斜角为，故A错误；
对于B，将直线化为，
则，解得，
即直线必过定点，故B正确；
对于C，将直线化为，
则这两平行直线间的距离为，
故C正确；
由斜截式方程的定义可知斜率为3，且在y轴上的截距为2的直线方程为，故D错误.
故选：BC.
10．答案：AD
解析：由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：
对A，，A正确；
对B，，B错误；
对C，，C错误；
对D，，D正确.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：对于A选项，抛物线C的准线方程为，因为点在抛物线的准线上，则，可得，所以抛物线C的方程为，A对；
对于B选项，抛物线C的焦点为，
若直线l与x轴重合，此时，直线l与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，
所以直线l不与x轴重合，设直线l的方程为，
联立，可得，，则，
所以，B对；
对于C选项，因为，即
，则，
因为，可得，
则，则，
此时，
，C错；
对于D选项，，同理可得，
所以
所以，D对.
故选：ABD.
12．答案：BCD
解析：由已知可得，所以，①
当时，②，
由①-②得
即时，，
当时，由①知，满足，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，故A错误，B正确；
因为，所以，故，故C正确；
因为，所以
，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：5
解析：由于椭圆焦距为，所以.由于椭圆的焦点在x轴上，所以，所以，解得.故答案为5.
14．答案：
解析：由，，成等差数列，且，
得，解得或，
又，所以，所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：设动点为，由题意得
，整理得，即，所以动点P的轨迹是半径为，圆心为的圆，
根据圆心到直线的距离，可知点P到此直线的最大距离为.故答案为：.
16．答案：
解析：因为，故，设，则，，是首项为3，公比为3的等比数列，故，，，即，即恒成立，设，设的最大项为，则，解得，故第4项或者第5项最大为，故.故答案为：.
17．答案：（1）；
（2）；
解析：（1）依题意，设数列的公差为d，
因为，所以，解得：.
所以.
（2）因为，所以，
所以
18．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）圆C的圆心在直线上且与y轴切于点，
设圆心坐标为，则，解得，，
圆心，半径，
故圆的方程为.
（2），即，所以.
当l的斜率不存在时，l的方程为，不满足条件
当l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方程为，即
故，解得或，
所以直线方程为或.
19．答案：（1）；
（2），切点为
解析：（1）由，得，所以
所以曲线在点处的切线方程为，即
（2）设切点为，由（1）得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，所以，
所以，
所以，切点为，所以所求的切线方程为
即过原点的切线方程为，切点为
20．答案：（1）证明见解析；
（2）；
解析：（1）证明：因为，
所以，即，
又，则
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）得，则
则，
，
两式相减得，
所以
21．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）设，由题意，化简可得
所以A的轨迹方程为
（2）由题设过定点的直线l方程为，将其与联立有：，消去y得：
因l交于P、Q两点，则
解得：.
设，，则由韦达定理有：，
又，，则，
同理，
又因为，所以
又，
所以，解得，
则直线l的方程为：或.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，
又点在椭圆E上，所以，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由，解得或，
因此
设直线的方程为，设，.
由得.
由，故.
又，的交点在A，B之间，故.
因为直线的斜率为1，所以
又四边形的面积
当时，
所以四边形面积的取值范围为.