2024届湖南省长沙市宁乡市高三上学期11月调研考试数学试题含答案

这是一份2024届湖南省长沙市宁乡市高三上学期11月调研考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．N
【答案】B
【分析】先求出，进而求出交集.
【详解】，则.
故选：B
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题“”，
则其否定为.
故选：D
3．（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】用同角三角函数的基本关系求解.
【详解】原式.
故选：C
4．已知为等差数列，且是方程的两根，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】由是方程的两根，可得，
又由数列为等差数列，可得，所以.
故选：C.
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】计算出的值，由零点存在性定理即得解.
【详解】由题得，
，
所以，
又因为函数是连续函数，
所以零点所在的区间为.
故选：C
【点睛】方法点睛：判断连续函数零点所在的区间，一般利用零点存在性定理，若，则函数在区间上至少有一个零点.
6．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可.
【详解】由图可知函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故应先判断各选项中函数的奇偶性.
对于A，，所以是偶函数，故A选项的函数为其定义域内的偶函数.
同理，对B、C选项的均为其定义域内的奇函数，D选项的为其定义域内的偶函数，故B错，C错
由图可知函数在上，考虑到，所以，
代入A选项，即，
代入D选项，即，
故选：A
7．在中，角所对的边分别为，已知成等差数列，，则的面积为（ ）
A．3B．C．12D．16
【答案】B
【分析】根据题意，得到，再由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】因为成等差数列，可得，
又因为，
由余弦定理得：，
整理得，即，
所以的面积为.
故选：B.
8．已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将函数的零点问题转化为函数图像交点问题，分，以及讨论，结合图像，即可得到结果.
【详解】
令，所以要使恰有3个零点，
只需方程恰有3个实根即可，
即与的图像有3个不同交点．
当时，此时，如图1，与有1个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有3个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以．
综上，的取值范围为．
故选：D
二、多选题
9．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列和数列是同一数列
B．数列的通项公式为，则是该数列的第55项
C．已知为数列的前项和，若，则数列是等比数列
D．数列的一个通项公式为
【答案】BC
【分析】利用数列的意义判断A；利用通项公式计算n判断B；求出通项判断C；举例说明判断D.
【详解】因为数列是按照一定顺序排成的一列数，则数列和数列是不同数列，A错误；
由，得，则是该数列的第55项，B正确；
由，得，当时，，
因此的通项公式是，数列是等比数列，C正确；
当时，，D错误.
故选：BC
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法 ，逐项判定，即可求解.
【详解】对于中，由不等式，可得，所以，
不等式的两边同乘，可得，所以A正确；
对于B中，因为，所以，
即，所以，所以B正确；
对于中，由，则，所以，所以C错误；
对于D中，因为，所以，则，即，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
11．已知函数的图象的任意一条对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（ ）
A．
B．
C．直线为曲线的一条对称轴
D．若在单调递增，则
【答案】AC
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，求得函数，可判定A正确，B错误；利用为最小值，可判定C正确；令，求得，得出，可判定D错误.
【详解】由函数的图象的任意一条对称轴与其相邻的零点之间的距离为，
可得，解得，所以A正确；
又由的图象向左平移个单位得到，
因为的图象关于轴对称，可得且，
解得，所以B错误；
因为且为最小值，
所以直线为曲线的一条对称轴，所以C正确；
令，解得，
要使得函数在单调递增，则，所以D错误.
故选：AC.
12．已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若恒成立，则
C．若有两个零点，则
D．若有极值点，则或
【答案】ABD
【分析】对于A，根据直接计算求解即可；
对于B，根据反函数相关知识转化为恒成立，进而得到，转化为函数最值问题求解即可；
对于C，通过同构转化为与有两个公共点，结合函数图象求解即可；
对于D，通过转化为函数与有公共点，且不在极值处取得进行求解即可.
【详解】对于A，，则，则，则，故正确.
对于B，若，则，
由于互为反函数，它们图象关于对称，
所以只须保证恒成立即可，又因为，
所以，故，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减
所以，所以，故，故B正确.
对于C， 若，则与有且只有一个公共点，
此时有奇数个零点，不符合题意，
若，若有两个零点，则有两不等根，
即，即有两个不等根，
设，则，
由于，且在时满足且单调递增，
则等价于与有两个公共点，
即有两实数根，故有两实数根，
即与有两个公共点，
因为当时，，当时，且，
且，作图象如下：
故，则，故C错误．
对于D，若有极值点，等价于有变号零点．
即有实根，
即函数与有公共点，且不在极值处取得，
因为
若，则在单调递增，
显然，值域为，与有交点；
若，则令，
当，单调递增，
当，单调递减，
．
，，，
则，因为，所以，
则，故或，故D正确．
故选：ABD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
三、填空题
13．已知为虚数单位，，则 ．
【答案】2
【分析】可直接根据复数的模的性质进行计算.
【详解】由题意：，所以：.
故答案为：2
14．已知，且，则 ．
【答案】/0.9
【分析】利用同角三角函数基本关系，诱导公式，二倍角公式转化求值.
【详解】由，，得
，
所以.
故答案为：
15．某同学让一弹性小球从27米高处自由下落，每次落下后反弹的高度都是原来的，当它第6次着地时，经过的总路程是 （精确到1米）．
【答案】
【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
【详解】小球第6次着地前共反弹5次，每次反弹高度构成首项为18，公比为的等比数列，
则小球向上5次总路程为米，
所以小球经过的总路程为米.
故答案为：.
16．在锐角三角形中，角的对边分别为，且，则：
（1） ．
（2）若的中点为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件将边化为角，即可求出A的大小，中线AD长通过向量转化为bc的范围，再借助正弦定理化为三角函数的值域问题求解.
【详解】
因为三角形为锐角三角形，所以，
又D是BC的中点，，
由余弦定理，
由正弦定理：，
又
，
.
故答案为：；
四、解答题
17．已知向量
(1)若⊥，求的值；
(2)记，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到函数图象，求函数在上的最小值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由向量垂直得到，结合三角恒等变换得到或，求出答案；
（2）化简得到，利用左加右减，上加下减得到，整体法结合函数单调性求出最小值.
【详解】（1）⊥，故，
即，
故有或，
当时，又
，
当，即，
又，故，
或；
（2），
由题意知，
，
∴，
由于在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故在上的最小值为.
18．在数列中，且满足（且）．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）变形得到，得到结论；
（2）在（1）的基础上得到，进而利用分组求和.
【详解】（1）（且），
（且），
，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）是首项为2，公比为2的等比数列，
，故，
.
19．已知一次函数过定点．
(1)若，求不等式解集．
(2)已知不等式的解集是，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出，然后代入解不等式即可.
（2）由的解集是，得的解集是，根据韦达定理，求得，再根据基本不等式求最值即得.
【详解】（1）设一次函数，因为过定点，
所以，所以，
因为，即，所以，
所求不等式为，可得，即，
将其转化为不等式组得，解得或，
原不等式的解集为.
（2）由（1）知，
又不等式的解集是，
所以的解集是，
由题意得，，，且，所以且，
即，所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
20．已知中，．
(1)求；
(2)的平分线交于，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得，再由二倍角公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理可得，再由角平分线定理可得，在中，结合余弦定理，即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得，即，
又为三角形内角，，
.
（2）
由余弦定理可得，
解得或（舍）
又由角平分线定理有，即，解得，所以
在中，由余弦定理有.
21．已知函数，
(1)数列的通项，若数列为单调递增的数列，求的取值范围；
(2)设，，，若对恒成立，求满足条件的的最大正整数．
【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）数列为单调递增的数列，结合二次函数的单调性，得求解即得.
（2）根据题意得，整理得，再根据等差数列数列求通项，然后由等差数列求和公式求和，进而列出不等式，根据即得.
【详解】（1）函数为开口向上的二次函数，对称轴为，因为数列为单调递增的数列，即，
根据二次函数的性质知只需满足，
即，所以．
（2），，
当时，可得，
则，又，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
因为，则有
，
则有，又因为，所以的最大正整数为13．
22．已知函数，是的导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在实数使成立，求的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）分类讨论求解函数的最大值，然后利用有解问题转化求解即可.
【详解】（1），
所以，
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
则，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
所以，所以在上单调递减，
所以，不符合题意；
当时，令得，令得，
所以在单调递减，在单调递增.
当时，，所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，，所以在单调递减，在单调递增，，所以，
若，即，则在[0，1]上单调递减，
所以，不符合题意；
若，即，则存在，使，
所以在单调递减，在单调递增，
若存在使成立，则，
解得，所以.
综上：的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.