湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

2022年下学期期末考试

高二数学试卷

本试卷分选择题和解答题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意：所有试题均须在答题卡上作答．

一、单选题（本大题共8小题，共40分，在年小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．如图，空间四边形中，，点M为的中点，点N在线段上，且，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（    ）

A． B． C． D．

3．已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的度数为（    ）

A． B． C． D．

4．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，且焦距为2，则m的值为（    ）

A．4 B．5 C．7 D．8

5．若数列是等差数列，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（    ）

A．8 B．10 C．4 D．6

7．已知，若，则（    ）

A． B．2 C． D．e

8．设数列的前n项的和为，已知，若，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9．已知点、，直线l经过点且与线段相交，则直线l与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相离 C．相切 D．不好确定

10．已知动点P在左、右焦点为、的双曲线上，下列结论正确的是（    ）

A．双曲线C的离心率为2 B．当点P在双曲线左支时，最大值为

C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为

11．已知函数，则（    ）

A．在上单调递增 B．是的极大值点

C．有三个零点 D．在上的最大值是4

12．等比数列中，，公比，则下列结论正确的是（    ）

A．数列中的所有偶数项可以组成一个公比为的等比数列

B．设数列的前n项的和为，对恒成立

C．数列是递增数列

D．数列是首项和公差都小于0的等差数列

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知空间向量，若，则________．

14．各项均为正数的等比数列的前n项和为，满足，则________．

15．若曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则________．

16．在长方体中，，点P为底面上一点，则的最小值为________．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步）

17．（本大题满分10分）

直线l经过两点、．

（1）求直线l的方程；

（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点，求圆C的方程．

18．（本大题满分12分）

己知直线和直线．

（1）当m为何值时，直线和平行？

（2）当m为何值时，直线和重合？

19．（本大题满分12分）

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的角的余弦值．

20．（本大题满分12分）

已知等差数列的公差，且，数列是首项为的等比数列，且满足、、成等差数列．

（1）求数列与的通项公式；

（2）设数列满足，求证：数列的前n项和．

21．（本大题满分12分）

已知椭圆的上、下两个焦点分别为F、，过点与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，的面积为，椭圆C的长轴长是短轴长的2倍．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知O为坐标原点，直线与y轴交于点P，与椭圆C交于A、B两个不同的点，若存在实数，使得，求m的取值范围．

22．（本大题满分12分）

已知函数．

（1）若该函数在处的切线与直线垂直，求m的值；

（2）若函数在其定义域上有两个极值点、．

①求m的取值范围；

②求证：．

2022年下学期期末考试

高二数学参考答案

一、单选题（本大题共8小腿，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.           14.             15.           16.    

四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步）

17.（本大题满分10分）

解：（1）由已知可得，直线l的斜率，

所以直线l的方程为.                           4分

（2）因为圆C的圆心在直线l上，

所以可设圆心坐标为．                              5分

因为圆C与x轴相切于点，

所以圆心在直线上，所以，                      7分

所以圆心坐标为，半径为1，                     8分

所以圆C的方程为.                    10分

18. （本大题满分12分）

解：（1）由题意，，    2分

得，                        4分

解得或

当或时，直线和平行.                        6分

（2）由题意，，      8分

得，                     11分

解得，

当时，直线和重合.                         12分

19. （本大题满分12分）

解：（1）依题意，棱两两互相垂直.

以点D为原点，依次以所在直线为x，y，z轴，

如图，建立空间直角坐标系.

则，，，.     3分

可得，.

所以，

所以                           6分

（2）由（1）得到，，

因此可得，.

设平面的一个法向量为，则由

，得

令，解得.                   9分

同理，可求平面的一个法向量.        10分

所以，平面与平面所成的锐二面角满足：

.

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.         12分

20. （本大题满分12分）

解：（1）因为，．

所以，解得．                          2分

所以．

因为为等比数列，，且

，，成等差数列．

所以．                                4分

设公比为q，则，所以，

所以，

所以，．                             6分

（2）证明：由（1）得，

所以①，    8分

②，   9分

①-②得：               10分

，

所以．                                 12分

21. （本大题满分12分）

解：（1）由题意可得，

则，解得，          2分

∴的面积①   3分

∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，∴.②    4分

又∵，③

联立①②③解得，，

∴椭圆C的标准方程.                   6分

（2）当时，则，

由椭圆的对称性得，即，    

∴时，存在实数，使得.       7分

当时，得，

∵A，B，P三点共线，∴.    8分

设， ，由

得，

由已知得，

即，且，.

由，得，

即，

∴，

显然不成立，∴.

∵，∴，

即.

解得或.

综上所述，m的取值范围为．      12分

22. （本大题满分12分）

（1）解：由已知得，

∵，

∴，∴．          4分

（2）证明：，

∴．

①由已知有两个正数解，

即有两个正数解，．

令，则．

由得，由得．

∴在上递增，在上递减，且，．

时，，时，．

由图可知m的取值范围是．                 8分

②由①可设，且，

构造函数．

则．

∴在上为增函数．

∵，∴，即．∴

∵，且在上递增，

∴．∴．                          12分