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2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一下学期期末调研考试数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一下学期期末调研考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=1+2i3−4i，则z的虚部为( )
A. −15B. −15iC. 25D. 25i
2.直线l1，l2互相平行的一个充分条件是
A. l1，l2都平行于同一个平面B. l1，l2与同一个平面所成的角相等
C. l1平行于l2所在的平面D. l1，l2都垂直于同一个平面
3.掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为( )
A. 14B. 13C. 16D. 19
4.某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分数据如下：7.5,7.5,7.8,7.8,8.0,8.0,8.2,8.3,8.4,9.9若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是( )
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差
5.已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是( )
A. 把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的 平均数
B. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个
C. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个
D. 把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据
6.在半径为r的⊙O中，弦AB的长为2，则AO⋅AB=( )
A. 4B. 2C. 1D. 与r有关
7.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是( )
A. 1:3B. 1:4C. 1:5D. 1:6
8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为α，β，γ，则( )
A. cs2α+cs2β+cs2γ=2B. cs2α+cs2β+cs2γ=1
C. sin2α+sin2β+sin2γ=2D. sin2α+sin2β+sin2γ=3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，则a=0，b≠0
B. 复数2−i在复平面内对应的点在第二象限
C. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i
D. 若z1=z2=1，则z1−z2的最大值是2
10.已知a=(csα,sinα),b=(csβ,sinβ)，则正确的选项是( )
A. a和b都是单位向量B. 若α=β+π，则a//b
C. 若a⊥b，则α=β+π2D. (a+b)⊥(a−b)
11.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且csA=−14,c=3,sinA=2sinB，则( )
A. b=2B. sinB= 158
C. sinA+sinB=2sinCD. S▵ABC=32 15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是 ．
13.一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=16，则P(AB)= ．
14.已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
(1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
16.(本小题12分)
已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且满足 3bcsA−asinB=0．
(1)求A；
(2)若b=2,S▵ABC=3 3，求a．
17.(本小题12分)
BMI(身体质量指数)是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：BMI=体重(单位:kg)身高2单位:m2.中国成人的BMI数值参考标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的BMI值，整理得到如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
(2)估计该公司员工的BMI值的众数，中位数；
(3)已知样本中60名男员工BMI值的平均数为u1=22.4，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工BMI值的平均数μ2．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点．
(1)求证：AM⊥平面PCD；
(2)求PB与底面ABCD所成角的正切值；
(3)设平面PAB∩平面PCD=l，求二面角B−l−C的大小．
19.(本小题12分)
如图，设Ox,Oy是平面内相交成60∘角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye2，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2)，E,F分别是OB,BP的中点，AE,AF分别与OP交于R,T两点．
(1)求：|OP|；
(2)求OR,OT的坐标；
(3)若点M在线段AF上运动，设OM=(x,y)，求xy的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.D
6.B
7.C
8.A
9.AD
10.ABD
11.ABC
12.π
13.16
14.3.5或72
15.解：(1)设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，
则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=35×(1−25)+(1−35)×25=1325．
(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P=P(A−)P(B−)=(1−35)×(1−25)=625．
16.(1)因为 3bcsA−asinB=0，
由正弦定理得 3sinBcsA−sinAsinB=0，
在▵ABC中，sinB>0，则 3csA−sinA=0，得tanA= 3，
而A∈(0,π)，可A=π3．
(2)
因b=2,S▵ABC=3 3，
所以12bcsinA=3 3，即12×2c× 32=3 3，解得c=6，
所以a= b2+c2−2bccsA= 4+36−2×2×6×12=2 7．
则a=2 7．
17.(1)
由题，2×(0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13)=1，解得：a=0.1，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2×(0.01+0.03)×100%=8%；
(2)
由频率分布直方图可得，众数为18+202=19，
因为2×(0.08+0.13)=0.42<0.5，2×(0.08+0.13+0.1)=0.62>0.5，
故中位数在20,22，设为m，则m=20+0.5−0.422×0.1×(22−20)=20.8 (3)
设样本平均数为x，
则由频率分布直方图可得；
x=2×(17×0.08+19×0.13+21×0.1+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64，
又x=60u1+40μ2100，
即60×22.4+40μ2100=21.64，解得：μ2=20.5．
18.(1)
证明：因为侧面PAD是正三角形，M是PD的中点，
所以AM⊥PD，
因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AM⊂平面PAD，所以AM⊥CD，
又PD⋂CD=D，PD、CD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD．
(2)
解：取AD的中点O，连接OP，OB，
因为侧面PAD是正三角形，所以OP⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，
所以OP⊥平面ABCD，
所以∠PBO即为PB与底面ABCD所成角，
设正方形ABCD的边长为2a，则OP= 3a，OB= 5a，
在Rt▵OPB中，tan∠PBO=OPOB= 3a 5a= 155，
所以PB与底面ABCD所成角的正切值为 155．
(3)
解：因为AB//CD，AB⊂平面PAB，CD⧸⊂平面PAB，
所以CD//平面PAB，
又平面PAB∩平面PCD=l，CD⊂平面PCD，
所以CD//l，
由(1)知CD⊥平面PAD，
所以l⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥l，
同理可得PD⊥l，
所以∠APD即为二面角B−l−C的平面角，
又侧面PAD是正三角形，所以∠APD=π3，
故二面角B−l−C的大小为π3．
19.(1)
依题意，得e1,e2是 单位向量，且夹角为60∘，
所以e1⋅e2=1×1×cs60∘=12，
而OP=3,2=3e1+2e2，
OP2=3e1+2e22=9e12+12e1⋅e2+4e22=9+12×12+4=19，
则OP= 19．
(2)
因为OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2)，
所以OA=3e1,OB=2e2，OP=3e1+2e2，
所以OP=OA+OB，则四边形OAPB是平行四边形，
所以▵PFT∼▵OAT,▵OER∼▵PAR，
因为E,F分别是OB,BP的中点，所以PFOA=FTAT=12,ORPR=OEPA=12，
所以AT=23AF，OR=13OP=133e1+2e2=e1+23e2，
因为AF=AO+OB+BF=−OA+OB+12BP=−OA+OB+12OA=OB−12OA
=2e2−32e1，
则OT=OA+AT=OA+23AF=3e1+232e2−32e1=2e1+43e2，
所以OR=1,23，OT=2,43；
(3)
由(2)知，AF=2e2−32e1，
因为点M在线段AF上运动，所以设AM=λAF=2λe2−32λe1，其中0≤λ≤1，
因为OM=(x,y)，所以OM=xe1+ye2，
所以AM=OM−OA=xe1+ye2−3e1=(x−3)e1+ye2，
因为e1,e2不共线，则x−3=−32λy=2λ，解得x=3−32λy=2λ,
所以xy=3−32λ×2λ=−3λ2+6λ=−3(λ−1)2+3，
因为0≤λ≤1，所以当λ=1时，xy取得最大值3．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=1+2i3−4i，则z的虚部为( )
A. −15B. −15iC. 25D. 25i
2.直线l1，l2互相平行的一个充分条件是
A. l1，l2都平行于同一个平面B. l1，l2与同一个平面所成的角相等
C. l1平行于l2所在的平面D. l1，l2都垂直于同一个平面
3.掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为( )
A. 14B. 13C. 16D. 19
4.某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分数据如下：7.5,7.5,7.8,7.8,8.0,8.0,8.2,8.3,8.4,9.9若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是( )
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差
5.已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是( )
A. 把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的 平均数
B. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个
C. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个
D. 把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据
6.在半径为r的⊙O中，弦AB的长为2，则AO⋅AB=( )
A. 4B. 2C. 1D. 与r有关
7.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是( )
A. 1:3B. 1:4C. 1:5D. 1:6
8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为α，β，γ，则( )
A. cs2α+cs2β+cs2γ=2B. cs2α+cs2β+cs2γ=1
C. sin2α+sin2β+sin2γ=2D. sin2α+sin2β+sin2γ=3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，则a=0，b≠0
B. 复数2−i在复平面内对应的点在第二象限
C. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i
D. 若z1=z2=1，则z1−z2的最大值是2
10.已知a=(csα,sinα),b=(csβ,sinβ)，则正确的选项是( )
A. a和b都是单位向量B. 若α=β+π，则a//b
C. 若a⊥b，则α=β+π2D. (a+b)⊥(a−b)
11.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且csA=−14,c=3,sinA=2sinB，则( )
A. b=2B. sinB= 158
C. sinA+sinB=2sinCD. S▵ABC=32 15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是 ．
13.一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=16，则P(AB)= ．
14.已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
(1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
16.(本小题12分)
已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且满足 3bcsA−asinB=0．
(1)求A；
(2)若b=2,S▵ABC=3 3，求a．
17.(本小题12分)
BMI(身体质量指数)是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：BMI=体重(单位:kg)身高2单位:m2.中国成人的BMI数值参考标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的BMI值，整理得到如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
(2)估计该公司员工的BMI值的众数，中位数；
(3)已知样本中60名男员工BMI值的平均数为u1=22.4，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工BMI值的平均数μ2．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点．
(1)求证：AM⊥平面PCD；
(2)求PB与底面ABCD所成角的正切值；
(3)设平面PAB∩平面PCD=l，求二面角B−l−C的大小．
19.(本小题12分)
如图，设Ox,Oy是平面内相交成60∘角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye2，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2)，E,F分别是OB,BP的中点，AE,AF分别与OP交于R,T两点．
(1)求：|OP|；
(2)求OR,OT的坐标；
(3)若点M在线段AF上运动，设OM=(x,y)，求xy的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.D
6.B
7.C
8.A
9.AD
10.ABD
11.ABC
12.π
13.16
14.3.5或72
15.解：(1)设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，
则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=35×(1−25)+(1−35)×25=1325．
(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P=P(A−)P(B−)=(1−35)×(1−25)=625．
16.(1)因为 3bcsA−asinB=0，
由正弦定理得 3sinBcsA−sinAsinB=0，
在▵ABC中，sinB>0，则 3csA−sinA=0，得tanA= 3，
而A∈(0,π)，可A=π3．
(2)
因b=2,S▵ABC=3 3，
所以12bcsinA=3 3，即12×2c× 32=3 3，解得c=6，
所以a= b2+c2−2bccsA= 4+36−2×2×6×12=2 7．
则a=2 7．
17.(1)
由题，2×(0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13)=1，解得：a=0.1，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2×(0.01+0.03)×100%=8%；
(2)
由频率分布直方图可得，众数为18+202=19，
因为2×(0.08+0.13)=0.42<0.5，2×(0.08+0.13+0.1)=0.62>0.5，
故中位数在20,22，设为m，则m=20+0.5−0.422×0.1×(22−20)=20.8 (3)
设样本平均数为x，
则由频率分布直方图可得；
x=2×(17×0.08+19×0.13+21×0.1+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64，
又x=60u1+40μ2100，
即60×22.4+40μ2100=21.64，解得：μ2=20.5．
18.(1)
证明：因为侧面PAD是正三角形，M是PD的中点，
所以AM⊥PD，
因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AM⊂平面PAD，所以AM⊥CD，
又PD⋂CD=D，PD、CD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD．
(2)
解：取AD的中点O，连接OP，OB，
因为侧面PAD是正三角形，所以OP⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，
所以OP⊥平面ABCD，
所以∠PBO即为PB与底面ABCD所成角，
设正方形ABCD的边长为2a，则OP= 3a，OB= 5a，
在Rt▵OPB中，tan∠PBO=OPOB= 3a 5a= 155，
所以PB与底面ABCD所成角的正切值为 155．
(3)
解：因为AB//CD，AB⊂平面PAB，CD⧸⊂平面PAB，
所以CD//平面PAB，
又平面PAB∩平面PCD=l，CD⊂平面PCD，
所以CD//l，
由(1)知CD⊥平面PAD，
所以l⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥l，
同理可得PD⊥l，
所以∠APD即为二面角B−l−C的平面角，
又侧面PAD是正三角形，所以∠APD=π3，
故二面角B−l−C的大小为π3．
19.(1)
依题意，得e1,e2是 单位向量，且夹角为60∘，
所以e1⋅e2=1×1×cs60∘=12，
而OP=3,2=3e1+2e2，
OP2=3e1+2e22=9e12+12e1⋅e2+4e22=9+12×12+4=19，
则OP= 19．
(2)
因为OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2)，
所以OA=3e1,OB=2e2，OP=3e1+2e2，
所以OP=OA+OB，则四边形OAPB是平行四边形，
所以▵PFT∼▵OAT,▵OER∼▵PAR，
因为E,F分别是OB,BP的中点，所以PFOA=FTAT=12,ORPR=OEPA=12，
所以AT=23AF，OR=13OP=133e1+2e2=e1+23e2，
因为AF=AO+OB+BF=−OA+OB+12BP=−OA+OB+12OA=OB−12OA
=2e2−32e1，
则OT=OA+AT=OA+23AF=3e1+232e2−32e1=2e1+43e2，
所以OR=1,23，OT=2,43；
(3)
由(2)知，AF=2e2−32e1，
因为点M在线段AF上运动，所以设AM=λAF=2λe2−32λe1，其中0≤λ≤1，
因为OM=(x,y)，所以OM=xe1+ye2，
所以AM=OM−OA=xe1+ye2−3e1=(x−3)e1+ye2，
因为e1,e2不共线，则x−3=−32λy=2λ，解得x=3−32λy=2λ,
所以xy=3−32λ×2λ=−3λ2+6λ=−3(λ−1)2+3，
因为0≤λ≤1，所以当λ=1时，xy取得最大值3．
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