2021-2022学年湖南省长沙市宁乡市高二下学期期末考试考试数学试题含答案

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市宁乡市高二下学期期末考试考试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖南省长沙市宁乡市高二下学期期末考试考试
数学试题卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.在的展开式中，常数项为
A. B.
C. D.
2. 一箱产品中有件正品和件次品．每次从中随机抽取件进行检测，抽出的产品不再放回．已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为
A． B．
C． D．
3. 在下列组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是
4. 为了研究某校男生的脚长(单位： )和身高 (单位： )的关系，从该校随机抽取名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.设关于 的经验回归方程为.已知 ，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为
A. B.
C. D.
5. 已知如果不等式恒成立，那那么的最大值是
A． B．
C． D．
6. “”是函数定义在上的增函数的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7. 设、为不重合的平面，、为不重合的直线，则其中正确命题的序号为
①，，则；
②，，，则；
③，，，则；
④，，，则.
A. ①③ B. ②④
C. ③④ D. ②③
8. 已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9. 下列四个选项中说法正确的有
A.
B. “四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件
C. 命题
D. 若，则
10. 已知函数，关于函数的结论正确的是
A．的定义域为RB．的值域为
C．若，则的值是D．的解集为
11. 某校高一年级共有名学生参加了数学测验，将所有学生的数学成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是
A. 成绩不低于分的学生人数为
B. 这名学生中数学成绩的众数为
C.若本次测试合格率定为，则至少得分才能合格
D. 这名学生数学成绩的平均数为
12. 如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线​翻折成，若​为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有
A. 二面角​可以为
B. 异面直线​与​所成的角可以为
C. 直线​与平面所成的角为定值
D. 线段的长为定值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. 甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口都遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为__________
14. 为迎接中国共产党建党周年，某校开展“学史明理、学史崇德、学史力行”活动．由位思政教师组成宣讲团，面向高中三个年级的学生进行党史宣讲．若要求高一年级安排位教师，高二、高三年级各安排位教师，则不同的安排方案种数为 ．（结果用数字作答）
15. 已知，是一元二次方程​的一个根，是纯虚数，则______
16. 正方体的棱长为，点为底面正方形的中心，点在侧面正方形的边界及其内部运动，若，则点的轨迹的长度为______．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．(本大题满分10分)
已知
（1）求的值；
（2）求的值．
18. (本大题满分12分)
的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角；
（2）若，且边上的中线的长为，求边的值.
19. (本大题满分12分)
某学校学生会有名志愿者，其中高一人，高二人，高三人，现从这人中任意选取人参加一个冬奥会志愿活动．
（1）求选取的个人来自同一年级的概率；
（2）设表示选取的志愿者是高二学生的人数，求的分布列和期望．
20. (本大题满分12分)
某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下个芒果，其质量分别在单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图:
（1）经计算估计这组数据的中位数；
（2）现按分层抽样从质量为的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，求这个芒果中恰有个在​内的概率．
（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以元/千克收购；
B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
21. (本大题满分12分)
如图，四棱锥的底面为菱形，，、分别为和的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面⊥平面．
22. (本大题满分12分)
已知函数.
（1）判断的单调性，并用定义法证明；
（2）记的最小值为，集合，判断是否属于集合，并说明理由.
2022年上学期高二期末考试数学科
参考答案
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. 14. 15. 16.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．(本大题满分10分)
解：（1）∵（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
令x＝0，可得a0＝1． 3分
（2）由二项式定理，得
＝1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5．① 5分
因为，② 7分
由①②可得a1＝10，a3＝80，a5＝32．
所以a1+a3+a5＝122． 10分
18. (本大题满分12分)
解:（1）由题意，
，
∴，
则，
∵，∴，
∴； 6分
（2）由（1）知，又∵，∴，
设，则，，
在中，由余弦定理得：
， 10分
即，解得，即. 12分
19. (本大题满分12分)
解：（1）由题意可知，选取的3个人来自同一年级的概率为＝； 3分
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，
则P（X＝0）＝＝；
P（X＝1）＝＝；
P（X＝2）＝＝；
P（X＝3）＝＝； 8分
所以X的分布列为：
故E（X）＝0×+1×+2×+3×＝． 12分
20. (本大题满分12分)
（1）解： 前3组的频率和为​，
前4组的频率和为​，
所以中位数在​内，设中位数为​，
则有​，
解得​．
故中位数为​. 4分
（2）解：设质量在​内的4个芒果分别为​，质量在​内的2个芒果分别为​. 从这6个芒果中选出3个的情况共有
​，​，​
共计20种，其中恰有一个在​内的情况有
​，​，共计12种，
因此概率​; 8分
（3）解：方案A：
​​元．
方案B：
由题意得低于250克：​元；
高于或等于250克​元
故的总计​元．
由于​，
B方案获利更多，应选B方案． 12分
21. (本大题满分12分)
证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：
∵F是PD的中点，
∴FG∥CD，且，
又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，
∴BE∥CD，且，
∴BE∥FG，且BE＝FG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC； 6分
（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵PB＝PD，O是BD中点，
∴BD⊥PO，
又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC. 12分
22. (本大题满分12分)
解：（1）在上单调递增. 1分
证明：，且， 2分
则， 3分
由，得，，，， 5分
于是，即.所以在上单调递增. 6分
（2）由（1）知，的最小值为，所以， 8分
令，得，解得， 11分
所以. 12分A.
B.
C.
D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
B
C
C
D
题号
9
10
11
12
答案
ABC
BC
BCD
ACD
X
0
1
2
3
P