2023-2024学年吉林省延边州九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省延边州九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 抛掷硬币时，正面朝上B. 太阳从东方升起
C. 经过红绿灯路口，遇到红灯D. 负数大于正数
3.抛物线y=−2(x−2)2−5的顶点坐标是( )
A. (−2,5)B. (2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)
4.一元二次方程x2−2x−5=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
5.在同一平面内，已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA的长度可以等于( )
A. 6B. 5C. 3D. 0
6.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m.则水管OA的高是( )
A. 2mB. 2.25mC. 2.5mD. 2.8m
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.点(3,−2)关于原点的对称点的坐标为 ．
8.10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是______．
9.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为______．
10.根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10(m/s)的速度竖直上抛(如图所示)，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为10x−4.9x2.根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为______s(结果保留整数)．
11.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=25°，则∠OCB的度数为______ ．
12.若二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表所示，则当自变量x=2时，函数y的值为______ ．
13.将二次函数y=x2+1图象向左平移2个单位长度，平移后的解析式为______ ．
14.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE=4，则S四边形ABCD=______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解方程：x(x−2)+x−2=0．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
两年前生产1吨甲种药品的成本是6400元.随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3600元.求甲种药品成本的年平均下降率．
17.(本小题5分)
如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠COA．
18.(本小题5分)
布袋中有红、黄、蓝三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色.求摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率．
19.(本小题7分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫
格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
(1)画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
20.(本小题7分)
石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，赵州桥是我国古代石拱桥的代表.图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB，桥的跨度(弧所对的弦长)AB=30m，设AB所在圆的圆心为O，OB，OC为半径，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m．
(1)直接写出AD与BD的数量关系．
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径．
21.(本小题7分)
某水果公司新进了10000千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中：
(1)写出a= ______ ，b= ______ ，c= ______ (精确到0.001)．
(2)估计这批柑橘的损坏概率为______ (精确到0.1)．
(3)该水果公司以2元/千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适(精确到0.1)．
22.(本小题7分)
如图，将含30°角的直角三角板ABC放入半圆O中，∠ACB=90°，A，B，C三点恰好在半圆O上，延长AB到点E，作直线CE，使得∠BCE=∠BAC=30°．
(1)求证：EC是半圆O的切线．
(2)若AB=8，求阴影部分的面积．
23.(本小题8分)
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？
(2)房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？
24.(本小题8分)
如图，已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．
(1)如图①，若AB= 3，点A，E，P恰好在一条直线上时，则直接写出EF= ______ ．
(2)如图②，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF=EF．
(3)如图②，AB= 3，BP=2，则直接写出QF= ______ ．
25.(本小题10分)
如图，△ABC是等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AB=6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点B运动(动点P不与点A、B重合)，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB于点Q，将线段PQ绕点Q逆时针方向旋转90°得到线段QM，连接PM.设△PQM与△ABC重合部分图形的面积为S(cm2)，动点P运动的时间为t(s)．
(1)当点M落在边BC上时，求t的值．
(2)求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
(3)在动点P的整个运动过程中，直接写出S的最大值．
26.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,−1)、B(3,3)两点，点D在该抛物线上运动，设点D的横坐标为m(m>−1)．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当−1(3)当m≠3时，若抛物线在点D，点B之间部分(包括点D，点B两个端点)的最高点和最低点的纵坐标的差为3时，求m的值．
(4)设抛物线y=ax2+bx−3与线段AB围成的封闭图形记作图形P，点C为直线AB上的一个动点(点C不与点A重合)，设点C的横坐标为n，以AC为边向下作正方形ACMN，当M、N两点中只有一个点在图形P的内部时(不包括边界)，直接写出n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
C、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意．
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】D
【解析】解：因为抛物线y=−2(x−2)2−5，
所以抛物线y=−2(x−2)2−5的顶点坐标是(2,−5)．
故选：D．
根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵△=(−2)2−4×(−5)
=24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
5.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径r=5，点A在⊙O外，
∴点A到圆心O的距离OA>5，
故选：A．
点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r，由此即可判断．
本题考查点和圆的位置关系，关键是掌握点和圆位置关系的判定方法．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知点(1,3)是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3．
∵该抛物线过点(3,0)，
∴0=a(3−1)2+3，
解得：a=−34．
∴y=−34(x−1)2+3．
∵当x=0时，y=−34×(0−1)2+3=−34+3=94=2.25，
∴水管应长2.25m．
故选：B．
利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x=0，求得相应的函数值，即为所求的答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．
7.【答案】(−3,2)
【解析】【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【解答】
解：点(3,−2)关于原点的对称点的坐标为(−3,2)，
故答案为：(−3,2)．
8.【答案】110
【解析】解：从中任意抽取1件检验，则抽到不合格产品的概率是1：10=110．
故答案为：110．
根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．
本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
9.【答案】12x(x−1)=15
【解析】解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得：12x(x−1)=15．
故答案为：12x(x−1)=15．
设应邀请x个球队参加比赛，根据赛制为单循环形式且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】2
【解析】解：S=10x−4.9x2，
落回地面时S=0，
所以10x−4.9x2=0，
解得：x1=0(不合题意舍去)，x2=10049≈2，
答：物体经过约2秒回落地面．
故答案为：2．
由题意可知物体回落到地面，也就是说S为0，建立方程求得答案即可．
此题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题．
11.【答案】65°
【解析】解：连接OB，如图，
∵∠BAC和∠BOC都对BC，
∴∠BOC=2∠BAC=2×25°=50°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=12(180°−∠BOC)=12×(180°−50°)=65°．
故答案为：65°．
连接OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCB的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12.【答案】0
【解析】解：根据表中数据可知，抛物线的对称轴为直线x=0，
∴当x=−2和x=2时，函数值相等，
∴当自变量x=2时，函数y的值为0，
故答案为：0．
根据表中数据可求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性可得结论．
本题考查二次函数的性质，关键是掌握二次函数的对称性．
13.【答案】y=x2+4x+5
【解析】解：将二次函数y=x2+1图象向左平移2个单位长度，平移后的解析式为y=(x+2)2+1=x2+4x+5．
故答案为：y=x2+4x+5．
根据二次函数图象平移法则——“左加右减”，即可得出答案．
本题考查二次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”．
14.【答案】16
【解析】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
而∠C=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△ADF中，
∠1=∠3∠AEB=∠AFDAB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF=4，S△ABE=S△ADF，
∴四边形AECF是边长为4的正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=42=16，
故答案为：16．
过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3=90°，而∠BAD=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠3，加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE=AF=4，S△ABE=S△ADF，则S四边形ABCD=S正方形AECF，然后根据正方形的面积公式计算即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的面积相等．也考查了矩形的性质．
15.【答案】解：x(x−2)+x−2=0，
(x−2)(x+1)=0，
x−2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=−1．
【解析】【分析】
把方程的左边分解因式得到(x−2)(x+1)=0，得到x−2=0或x+1=0，求出方程的解即可．
【点评】
本题主要考查解一元二次方程−因式分解法，把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
16.【答案】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
依题意得：6400(1−x)2=3600，
解得：x=0.25=25%或x=1.75(不合题意，舍去)．
答：甲种药品成本的年平均下降率为25%．
【解析】设甲种药品成本的年平均下降率为x，利用现在生产1吨甲种药品的成本=两年前生产1吨甲种药品的成本×(1−年平均下降率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】证明：∵AB=AC
∴AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA．
【解析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．
18.【答案】解：画树状图得：
由树状图可知：共有9种等情况数，其中“一红一黄”的有2种，
∴摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率为29．
【解析】先画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果数，找出一红一黄的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)如图所示，对称图形正确给2分；
(2)如图所示，旋转正确给2分；
(3)如图所示，对称轴每一条正确给1分，共2分．
【解析】(1)根据轴对称的性质，作出各对应点即可得出图象；
(2)将A，B，C，沿点O顺时针旋转90度即可得出对应点，画出图象即可；
(3)利用轴对称图形性质，画出对称轴即可．
此题主要考查了轴对称图形性质以及图形的旋转和轴对称变换，正确根据已知找出对应点进而画出图象是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵OC⊥AB，
∴AD=BD；
(2)设主桥拱半径为R，由题意可知AB=30m，CD=5m，
∴BD=12AB=15m，OD=OC−CD=(R−5)m，
∵∠ODB=90°，
∴OD2+BD2=OB2，
∴(R−5)2+152=R2，
解得R=25，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为25m．
【解析】(1)根据垂径定理便可得出结论；
(2)设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．
此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用．
21.【答案】0.103 0.098 0.103 0.1
【解析】解：(1)由题意可得，
a=30.93÷300≈0.103，
b=39.24÷400≈0.098，
c=51.54÷500≈0.103，
故答案为：0.103，0.098，0.103；
(2)由表格可得，
估计这批柑橘的损坏概率为0.1，
故答案为：0.1；
(3)设每千克大约定价为x元时比较合适，
由题意可得：10000(1−0.1)x−2×10000=5000，
解得x≈2.8，
答：每千克大约定价为2.8元时比较合适．
(1)根据题意和表格中的数据，可以计算出a、b、c的值；
(2)根据表格中的数据，可以估计这批柑橘的损坏概率；
(3)根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
22.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵∠ACB=90°，
∴AB为半圆O的直径，
∴OB=OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=∠OCB=60°，
∵∠BCE=30°，
∴∠OCE=60°+30°=90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴EC是半圆O的切线；
(2)解：根据题意，S阴影部分=S扇形BOC−S△BOC
=60×π×42360− 34×42
=83π−4 3．
【解析】(1)连接OC，如图，先根据圆周角定理判断AB为半圆O的直径，再判断△OBC为等边三角形得到∠BOC=∠OCB=60°，然后证明∠OCE=90°，从而根据切线的判定方法可判断EC是半圆O的切线；
(2)根据扇形的面积公式和等边三角形的面积公式，S阴影部分=S扇形BOC−S△BOC进行计算．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
23.【答案】解：(1)依题意得：(200−20)(50−200−18010)=8640元，
即每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；
(2)设每个房间定价增加x元，
依题意得：所获利润=(180+x−20)(50−x10)=−110(x−170)2+10890，
∴当x=170元时，利润最大，
∴180+170=350(元)，
即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．
【解析】(1)根据题意列式计算即可得到答案；
(2)设每个房间定价增加x元，根据题意，得出利润的关系式−110(x−170)2+10890，再根据二次函数的性质，即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的实际应用，正确列出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．
24.【答案】1 3
【解析】(1)解：∵△ABE是等边三角形，A、E、P在同一直线上，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴∠APB=30°，
∴AP=2AB=2 3，
∴点E是AP的中点，
∴QE⊥AP，
∴QE=3，
∵∠APQ=60°，∠APB=30°，
∴∠QPF=90°，
∴QF=4，
∴EF=QF−QE=1，
故答案为：1；
(2)证明：∵∠BAP=∠BAE−∠EAP=60°−∠EAP，
∠EAQ=∠QAP−∠EAP=60°−∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
AB=AE∠BAP=∠EAQAP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ(SAS)，
∴∠AEQ=∠ABP=90°，
∴∠BEF=180°−∠AEQ−∠AEB=180°−90°−60°=30°，
∵∠EBF=90°−60°=30°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF；
(3)解：如图②，过点F作FD⊥BE于点D，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB= 3，
由(2)得∠EBF=30°，
在Rt△BDF中，BD=12BE= 32，
∴BF=BDcs∠DBF=1，
∴EF=1，
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=2，
∴QF=QE+EF=2+1=3，
故答案为：3．
(1)根据A、E、P在同一直线上判断出点E是AP的中点，由直角三角形的性质求出AP，然后根据等边三角形的性质求出QE.再根据直角三角形的性质求出QF，然后根据EF=QF−QE，代入数据进行计算即可；
(2)先求出∠BAP=∠EAQ，然后利用“边角边”证明△ABP和△AEQ全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEQ=∠ABP=90°，然后求出∠BEF=∠EBF=30°，再根据等角对等边的性质即可得证；
(3)根据等腰三角形三线合一的求出BD，再解直角三角形求出BF的长度，即可得到EF的长，再根据全等三角形对应边相等可得QE=BP，然后代入数据进行计算即可．
本题是三角形综合题，考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，以及解直角三角形，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用解直角三角形的知识是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当点M落在边BC上时，如图：

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴AP=PQ=t，
∵将线段PQ绕点Q逆时针方向旋转90°得到线段QM，
∴QM=PQ=t，∠PQM=90°，
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴∠QPM=45°，PM= 2PQ= 2t，
∴∠MPB=∠QPB−∠QPM=45°，
∵∠B=45°，
∴△BPM是等腰直角三角形，
∴PB= 2PM= 2× 2t=2t，
∵AB=6cm，
∴AP+PB=6，即t+2t=6，
解得t=2，
∴当点M落在边BC上时，t的值为2；
(2)①当0≤t≤2时，M在△ABC内部，如图：

此时△PQM与△ABC重合部分即为△PQM，
∴S=12PQ⋅QM=12t2；
②当2
此时△PQM与△ABC重合部分为四边形PQEF，
由(1)知△APQ是等腰直角三角形，△PQM是等腰直角三角形，
∴AP=PQ=QM=t，∠QPM=45°，
∴∠FPB=45°，PB=AB−AP=6−t，PM= 2PQ= 2t，
∵∠B=45°，
∴△PBF是等腰直角三角形，
∴PF=PB 2=6−t 2，
∴FM=PM−PF= 2t−6−t 2=3 22t−3 2，
∵∠EFM=∠BFP=90°，∠M=45°，
∴△EFM是等腰直角三角形，
∴EF=FM=3 22t−3 2，
∴S△EFM=12EF⋅FM=12×(3 22t−3 2)2=94t2−9t+9；
∴S=S△PQM−S△EFM=12t2−(94t2−9t+9)=−74t2+9t−9；
③当3
此时△PQM与△ABC重合部分为△PQG，
同②可知，PG=6−t 2，
∵∠QPG=45°，∠QGP=90°，
∴QG=PG=6−t 2，
∴S=12PG⋅QG=12×(6−t 2)2=14t2−3t+9；
综上所述，S=12t2(0≤t≤2)−74t2+9t−9(2(3)①当0≤t≤2时，S=12t2，
∴当t=2时，S最大为2；
②当2∴当t=187时，S最大为187；
③当3∵对称轴为直线t=6，
∴3而t=3时，S=94，
∴当3∵2<94<187，
∴在动点P的整个运动过程中，S的最大值为187．
【解析】(1)可证△APQ是等腰直角三角形，AP=PQ=t，根据将线段PQ绕点Q逆时针方向旋转90°得到线段QM，知△PQM是等腰直角三角形，可得∠QPM=45°，PM= 2PQ= 2t，即可得△BPM是等腰直角三角形，PB= 2PM= 2× 2t=2t，由AB=6cm，有t+2t=6，故t=2；
(2)分三种情况：①当0≤t≤2时，M在△ABC内部，△PQM与△ABC重合部分即为△PQM，可得S=12PQ⋅QM=12t2；②当2(3)①当0≤t≤2时，S=12t2，S最大为2；②当2本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的判定与性质，旋转变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26.【答案】解：(1)由题意得：
a−b−3=−19a+3b−3=3，解得：a=1b=−1，
则抛物线的表达式为：y=x2−x−3；
(2)由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=x，

设点E(x,x)，则点D(x,x2−x−3)，
则DE=x−x2+x+3=−x2+2x+3=−(x−1)2+4≤4，
即线段DE的最大值为4；
(3)当−1设抛物线在点D处取得最大值，则x2−x−3+134=3，
解得：x=1+2 32(负值已舍去)，
即m=1+2 32；
(4)当点C在点A的左侧时，
点C的横坐标为n，且点C在直线AB上，则点C(n,n)，
∵四边形ACDE是正方形，AB与x轴正半轴的夹角为45°，则CD//x轴，AM/​/y轴，

根据正方形的性质可得：xA=12(xC+xN)，
即−1=12(n+xN)，则xN=−2−n，
故点N的纵坐标和点C的纵坐标相同，则点N(−2−n,n)，
同理点M(−1,2n+1)，
C在A点左边，当只有点N在图形P的内部时(注：应该不包括边界)，
则点M的横坐标在C、N的横坐标之间，而点N在抛物线之上，点M在抛物线之下，
则n<−1<−2−nn>(−2−n)2−(−2−n)−32n+1≤1+1−3，
解得：−3当点C在点A的右侧时，
同理可得：12≤n<1；
综上，n的取值范围为：−3【解析】(1)待定系数法即可求解；
(2)设点E(x,x)，则点D(x,x2−x−3)，则DE=x−x2+x+3=−x2+2x+3=−(x−1)2+4≤4，即可求解；
(3)当−1(4)当点C在点A的左侧时，求出点N(−2−n,n)，点M(−1,2n+1)，C在A点左边，当只有点N在图形P的内部时(注：应该不包括边界)，则点M的横坐标在C、N的横坐标之间，而点N在抛物线之上，点M在抛物线之下，即可求解；当点C在点A的右侧时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、正方形的性质、解不等式等，分类求解是解题的关键．x
−3
−2
−1
0
1
y
−5
0
3
4
3
柑橘总质量(n/千克)
损坏柑橘质量(m/千克)
柑橘损坏的频率(mn)
50
5.50
0.110
100
10.50
0.105
150
15.15
0.101
200
19.42
0.097
250
24.35
0.097
300
30.93
a
350
35.32
0.101
400
39.24
b
450
44.57
0.099
500
51.54
c