2023-2024学年广东省揭阳市普宁市勤建学校高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市普宁市勤建学校高一（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x∈Z|−1≤x≤2}，B={x|x2<2}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1}B. {0}C. {−1,0}D. {−1,0,1,2}
2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. y=1，y=x0B. y=x−1，y=x2−1x+1
C. y=x，y=3x3D. y=|x|，y=( x)2
3.幂函数y=f(x)的图象经过点(2, 2)，则f(x)( )
A. 是偶函数，在(0,+∞)上单调递增B. 是偶函数，在(0,+∞)上单调递减
C. 是奇函数，在(0,+∞)上单调递减D. 是非奇非偶函数，在(0,+∞)上单调递增
4.设命题甲：|x−2|<3，命题乙：0A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若a=30.3，b=lg30.3，c=lg133.则a，b，c的大小关系为( )
A. b6.若幂函数f(x)=(m2−m−1)xm在(0,+∞)上为增函数，则实数m=( )
A. 2B. −1C. 3D. −1或 2
7.已知函数f(x)=x3+2x+2,x<1x2−ax,x≥1，若f(f(0))=−2，实数a=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.函数f(x)=x+|x|x的图象是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中是假命题的是( )
A. ∀x∈R，x3≥0B. ∃x0∈R，x03=3
C. ∀x∈Q，x3≥1D. ∃x0∈N，x03=3
10.若4x−4y<5−x−5−y，则下列关系正确的是( )
A. xx−3C. x< yD. (13)y<3−x
11.已知函数f(x)=x2+2ax+5,x<1−ax,x≥1在区间(−∞,+∞)上是减函数，则整数a的取值可以为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
12.下列命题正确的是( )
A. 函数f(x)=lga(2x−1)−1的图象过定点(1,0)
B. 命题“∃x0∈(0,+∞)，ex0=x0+1“的否定是“∀x∈(0,+∞)，ex≠x+1“
C. 若lga12>1，则a的取值范围是(12,1)
D. 若奇函数f(x)在(0,+∞)上有最小值M，则f(x)在(−∞,0)上有最大值−M
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= x+3x的定义域是______ ．
14.函数y=lg12(2x2−x−1)的单调递减区间为______ ．
15.已知a≥−2，b>0，若1a+4+4b=1，则a+b的最小值等于______．
16.已知lga(a2+1)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求值：(127)−13−3(−18)2+lg25−lg220；
(2)若4x=9y=6，求1x+1y的值．
18.(本小题12分)
设函数f(x)=ex−e−x+a，g(x)=ex+e−x．
(1)判断函数g(x)的奇偶性；
(2)若f(x)为奇函数，求a．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x−1，(x>1)．
(1)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)若f(−a+2)>f(2a+1)，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知定义在R上的奇函数f(x)，当x<0时f(x)=x2+2x+1．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)请画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的单调区间．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(2−x)+ln(2+x)．
(1)写出函数f(x)的定义域并判断其奇偶性；
(2)若f(2m+1)>ln3，求实数m的取值范围．
(3)若存在x使得不等式f(x)≥m−1成立，求实数m的最大值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=1−42ax+a(a>0,a≠1)为奇函数．
(1)求a的值；
(2)若方程(2x+1)⋅f(x)+k=0在[−1,1]上有解，求实数k的取值范围；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)>m⋅2x−2恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={x∈Z|−1≤x≤2}={−1,0,1,2}，B={x|x2<2}={x|− 2∴A∩B={−1,0,1,2}∩{x|− 2故选：A．
用列举法表示A，求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A.y=1，x∈R；y=x0，x∈R，且x≠0，定义域不同，不表示同一函数；
B.y=x−1，x∈R；y=x2−1x+1，x≠−1，定义域不同，不表示同一函数；
C.y=x，y=3x3=x，定义域与对应法则都相同，表示同一函数；
D.y=|x|，x∈R；y=( x)2，x≥0，定义域不同，不表示同一函数．
综上可知：只有C正确．
故选：C．
利用函数的三要素即可判断出．
本题考查了函数的三要素，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的单调性和奇偶性，属于基础题．
由题意，利用幂函数过点(2, 2)，求得a的值，可得函数的解析式，再根据幂函数的性质，得出结论．
【解答】
解：设幂函数y=f(x)=xa，由于它的的图象经过点(2, 2)，
故有2a= 2，a=12，∴f(x)= x，可得定义域为[0,+∞)，
显然，f(x)是非奇非偶函数，在(0,+∞)上单调递增，
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，已知命题甲：|x−2|<3，得：−1所以B⫋A，甲是乙的必要而不充分条件，
故选：B．
先解出不等式，再根据充分条件、必要条件的定义可解．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵13>0.3，
∴lg30.3<−1，∴b<−1，
∵c=−1，a>0，
∴b故选：A．
利用指数与对数的运算性质、指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数与对数的运算性质、指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：幂函数f(x)=(m2−m−1)xm在(0,+∞)上为增函数，
所以m2−m−1=1，并且m>0，
解得m=2．
故选：A．
直接利用幂函数的定义与性质求解即可．
本题考查幂函数的单调性以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查．
7.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=x3+2x+2,x<1x2−ax,x≥1，
则f(0)=0+0+2=2，
故f(f(0))=f(2)=4−2a=−2，解得a=3．
故选：B．
将x的值依次代入函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：当x>0时，f(x)=x+1故图象为直线f(x)=x+1(x>0的部分)
当x<0时，f(x)=x−1故图象为直线f(x)=x−1(x<0的部分)
当x=0时f(x)无意义既无图象
综上：f(x)=x+1,x>0x−1,x<0的图象为直线y=x+1(x>0的部分，y=x−1(x<0的部分)即两条射线
故答案选C
对x进行讨论将函数f(x)=x+|x|x转化为所熟知的基本初等函数既可作图．
本题主要考查了做分段函数的图象．解题的关键是要将题中的函数利用所学知识转化为所熟知的基本初等函数然后再利用图象的变换即可正确做出图象但要注意定义域的限制！
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，存在量词命题与全称量词命题真假的判断，属于中档题．
举反例可判断AC；根据方程的根可判断BD．
【解答】
解：当x=−1时，x3<0，所以∀x∈R，x3≥0不正确，所以A是假命题；
当x0=33时，x03=3，所以∃x0∈R，x03=3，正确；所以B是真命题；
当x=0时，x3=0<1，所以∀x∈Q，x3≥1不正确，所以C是假命题；
当且仅当x0=33时，x03=3，又33∉N，所以∃x0∈N，x03=3不正确，所以D是假命题．
故选ACD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
结合题意考虑构造函数f(x)=4x−5−x，结合f(x)的单调性即可比较大小．
本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值大小，解题的关键是由已知不等式构造函数．
【解答】
解：由4x−4y<5−x−5−y，得4x−5−x<4y−5−y，
令f(x)=4x−5−x，因为y=4x与y=−5−x在R上单调递增，
则f(x)在R上单调递增，
由f(x)对于选项B:因为g(x)=x−3在−∞,0,0,+∞上单调递减，
则当0对于选项C:x和y与0的大小关系不确定，故选项C错误．
对于选项D:因为g(x)=13x在R上单调递减，且x则13y<13x=3−x，则选项D正确．
故选：AD．
11.【答案】AB
【解析】解：函数f(x)=x2+2ax+5,x<1−ax,x≥1在区间(−∞,+∞)上是减函数，
所以−a≥1a<01+2a+5≥−a，解得−2≤a≤−1，
∴整数a的取值为−2或−1．
故选：AB．
利用函数单调性求解即可．
本题考查函数的单调性，需要熟练应用常用函数的性质和图象，属于基础题目．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查对数函数图象过定点问题，存在量词命题的否定，对数函数的单调性，奇函数的性质，属于基础题．
根据对数函数图象过定点问题，存在量词命题的否定，对数函数的单调性，奇函数的性质即可分别求解．
【解答】解：对A选项，∵f(x)=lga(2x−1)−1的图象过定点(1,−1)，∴A选项错误；
对B选项，∵命题“∃x0∈(0,+∞)，ex0=x0+1“的否定是“∀x∈(0,+∞)，ex≠x+1“，∴B选项正确；
对C选项，∵lga12>1，∴012或a>1a<12，∴a∈(12,1)，∴C选项正确；
对D选项，∵f(x)为奇函数，又f(x)在(0,+∞)上有最小值M，
∴f(x)在(−∞,0)上有最大值−M，∴D选项正确．
故选BCD．
13.【答案】{x|x≥−3且x≠0}
【解析】解：要使函数有意义，则x+3≥0x≠0，得x≥−3x≠0，
即x≥−3且x≠0，即函数的定义域为{x|x≥−3且x≠0}．
故答案为：{x|x≥−3且x≠0}．
根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．
本题主要考查函数定义域的求解，根据条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】(1,+∞)
【解析】解：∵2x2−x−1>0，∴x>1或x<−12；
又函数y=lg12(2x2−x−1)的底数为12，∴y=lg12u为减函数，其中u=2x2−x−1，
在(−∞,−12)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
由复合函数“同增异减”的性质得函数y=lg12(2x2−x−1)的单调递减区间为(1,+∞)．
故答案为：(1,+∞)．
可利用复合函数“同增异减”的性质求得f(x)=lg12(2x2−3x+1)的单调递减区间．
本题考查对数函数的单调区间，难点在于对复合函数“同增异减”的性质的理解与应用，注意函数的定义域，属于中档题．
15.【答案】5
【解析】解：因为a≥−2，则a+4>0，
所以a+b=a+4+b−4=(a+4+b)(1a+4+4b)−4
=1+4+ba+4+4(a+4)b−4≥1+2 ba+4⋅4(a+4)b=1+4=5，
当且仅当ba+4=4(a+4)b，即a=−1，b=6时取得最小值为5，
故答案为：5．
利用“1”的代换以及基本不等式化简即可求解．
本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
16.【答案】(0,1)
【解析】解：当02a，可得a2−2a+1=(a−1)2>0恒成立．
当a>1时，y=lgax在(0,+∞)上递增，a2+1<2a，a2−2a+1=(a−1)2<0无解．
综上所述，a的取值范围是(0,1)．
故答案为：(0,1)．
对a进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得a的取值范围．
本题主要考查对数函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=(13)3×(−13)−14+lg25−lg25−lg24=3−14−2=34；
(2)4x=9y=6，则x=lg46，y=lg96，
∴1 x=lg64，1y=lg69，
∴1x+1y=lg64+lg69=lg636=2．
【解析】(1)根据指数幂和对数的运算性质即可求出；
(2)利用换底公式和指数式与对数式的转化即可求出．
本题考查了对数的运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为g(x)=ex+e−x定义域为R，
且g(−x)=e−x+ex=ex+e−x=g(x)，
所以g(x)=ex+e−x为偶函数．
(2)因为f(x)=ex−e−x+a为奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，即e−x−ex+a=−ex+e−x−a，
所以2a=0，解得a=0．
【解析】(1)根据奇偶性的定义判断即可；
(2)根据奇函数的定义f(−x)=−f(x)，即可求出a的值．
本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)在(1,+∞)上为减函数，证明如下：
任取x1，x2∈(1,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=4x1−1−4x2−1=4(x2−x1)(x1−1)(x2−1)，
∵10，x1−1>0，x2−1>0，
∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(1,+∞)上为减函数；
(2)由(1)得，若f(−a+2)>f(2a+1)，
则−a+2>12a+1>1−a+2<2a+1，即a<1a>0a>13，解得13故实数a的取值范围(13,1)．
【解析】(1)根据函数的单调性的定义证明即可；
(2)根据函数的单调性以及函数的定义域得到关于a的不等式组，解出即可．
本题考查了函数的单调性的证明，考查转化思想，是基础题．
20.【答案】解：(1)∵数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0；
设x>0，则−x<0，又当x<0时f(x)=x2+2x+1，
∴f(−x)=x2−2x+1，即f(x)=−x2+2x−1．
∴f(x)=x2+2x+1,x<00,x=0−x2+2x−1,x>0；
(2)函数图象如图，
(3)由图可知，函数的递增区间是(−1,0)，(0,1)；
递减区间是(−∞,−1)，(1,+∞)．
【解析】(1)由已知可得f(0)，结合函数奇偶性与x<0时的解析式可得x>0的解析式，则答案可求；
(2)直接作出分段函数的大致图象；
(3)由图象可得函数的单调区间．
本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用函数图象求解函数单调性，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得2−x>02+x>0，解得−2因为f(−x)=ln[2−(−x)]+ln[2+(−x)]=ln(2+x)+ln(2−x)=f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
(2)由f(x)=ln(2−x)+ln(2+x)，
可得f(2m+1)=ln(2−2m−1)+ln(2+2m+1)=ln(3+2m)(1−2m)，
由f(2m+1)>ln3，可得−2<2m+1<2(3+2m)(1−2m)>3，
解之得−1(2)若存在x使得不等式f(x)≥m−1成立，所以f(x)max≥m−1，
而f(x)=ln(2−x)(2+x)=ln(4−x2)，x∈(−2,2)，
因为函数y=4−x2在(−2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
所以由复合函数的单调性可知，函数f(x)在(−2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
所以f(x)max=f(0)=ln4，所以m−1≤ln4，即m≤ln4+1，
所以实数m的最大值为ln4+1．
【解析】(1)由对数的性质可得函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义判断即可；
(2)由对数函数的单调可得关于m的不等式组，求解即可；
(3)由题意，f(x)max≥m−1，求出f(x)的最大值即可得解．
本题主要考查函数定义域的求法，函数奇偶性的判断，不等式的解法，不等式成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)为奇函数，
所以f(0)=0，
所以1−42a0+a=0，
所以a=2，
所以f(x)=1−42x+1+2=1−22x+1，
f(−x)=1−22−x+1=1−2⋅2x1+2x，
所以f(x)+f(−x)=1−22x+1+1−2⋅2x1+2x=2−2+2⋅2x1+2x=2−2(1+2x)1+2x=0，
所以f(x)=−f(−x)，
所以f(x)是奇函数，
所以a=2．
(2)由(1)可知，f(x)=1−42x+1+2=1−22x+1，
因为方程(2x+1)⋅f(x)+k=0在[−1,1]上有解，
所以方程(2x+1)⋅(1−22x+1)+k=0在[−1,1]上有解，
所以2x+1−2=k在[−1,1]上有解，
所以2x−1=k在[−1,1]上有解，
令h(x)=2x−1，x∈[−1,1]，
函数h(x)在[−1,1]上单调递增，
所以h(x)min=−12，h(x)max=1，
所以h(x)的值域为[−12,1]，
所以−12≤k≤1，
所以k的取值范围为[−12,1]．
(3)因为当x∈(0,1)时，f(x)>m⋅2x−2恒成立，
所以当x∈(0,1)时，1−22x+1>m⋅2x−2恒成立，
所以当x∈(0,1)时，1−22x+1>m⋅2x−2恒成立，
所以当x∈(0,1)时，3⋅2x+12x(2x+1)>m恒成立，
令h(x)=3⋅2x+12x(2x+1)，x∈(0,1)，
令t=2x，t∈(1,2)，
y=3t+1t(t+1)=3t+1+1t(t+1)在(1,2)上单调递减，
所以当x=2时，y=32+1+12×3=76，
所以m≤76，
所以m的取值范围为(−∞,76].
【解析】(1)由奇函数的定义可得f(0)=0，解得a，再由奇函数的定义检验，即可得出答案．
(2)由(1)可知，f(x)=1−22x+1，问题转化为方程(2x+1)⋅(1−22x+1)+k=0在[−1,1]上有解，即2x−1=k在[−1,1]上有解，即可得出答案．
(3)根据题意可得当x∈(0,1)时，1−22x+1>m⋅2x−2恒成立，即当x∈(0,1)时，3⋅2x+12x(2x+1)>m恒成立，只需m≤(3⋅2x+12x(2x+1))min，即可得出答案．
本题考查函数的奇偶性，恒成立问题，解题中需要理清思路，属于中档题．