2023-2024学年广东省惠州一中实验学校高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州一中实验学校高二（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A={至少1枚正面朝上}，事件B={至多2枚正面朝上}，事件C={没有硬币正面朝上}，则下列正确的是( )
A. C=A∩BB. C=A∪BC. C⊆AD. C⊆B
2.已知平面α、β的法向量分别为a=(1,2,−2)、b=(−2,1,m)，若α⊥β，则m等于( )
A. 1B. 2C. 0D. 3
3.若直线过(1,2),(4,2+ 3)，则此直线的斜率是( )
A. 33B. 1C. 3D. 不存在
4.在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=2MA，BN+CN=0，用向量a,b,c表示MN，则MN等于( )
A. 12a−23b+12c
B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12c
D. 23a+23b−12c
5.两条直线l1：ax+(1+a)y=3，l2：(a+1)x+(3−2a)y=2互相垂直，则a的值是( )
A. 0B. −1C. −1或3D. 0或−1
6.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，E为C1D1的中点，则点A到平面B1CE的距离为( )
A. 3B. 2 3C. 2D. 2 2
7.某同学口袋中共有5个大小相同、质地均匀的小球.其中3个编号为5，2个编号为10，现从中取出3个小球，编号之和恰为20的概率为( )
A. 115B. 415C. 815D. 35
8.将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则( )
A. A与B是对立事件B. A与B是互斥而非对立事件
C. B与C是互斥而非对立事件D. B与C是对立事件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两人下棋，下成和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法错误的是( )
A. 甲获胜的概率是16B. 甲不输的概率为12C. 乙输的概率是23D. 乙不输的概率为12
10.下列四个命题中真命题有( )
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C. 直线方向向量为(3, 3)，则此直线倾斜角为30°
D. 点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)
11.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则以下说法中正确的是( )
A. 线段ED1的长度为3
B. 异面直线D1E和B1C夹角的余弦值为0
C. 点B到直线D1E的距离为 63
D. 三棱锥B−D1EC的体积为12
12.已知直线l1：ax−y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，以下结论正确的是( )
A. 不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B. 当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(−1,0)
C. 不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称
D. 如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.经过两条直线3x+4y−5=0和3x−4y−13=0的交点，且斜率为2的直线方程是______ ．
14.已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是13，选中两人都是女生的概率是215，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
15.已知e1，e2为单位向量且夹角为2π3，设a=3e1+2e2，b=3e2，则a在b方向上的投影为________．
16.唐代诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马徬交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望峰火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(−13,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3，则“将军饮马”的最短路程为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1的斜率为2，直线l2过点A(3m,2m−1)，B(2,m−3)．
(1)若直线l2的倾斜角为45°，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
18.(本小题12分)
第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的60%分位数(精确到0.1)；
(3)在第四、第五两组志愿者中，采用等比例分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
19.(本小题12分)
小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个(小王自己不抢)，假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．
(1)若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；
(2)若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.证明：
(1)BE//平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
21.(本小题12分)
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
已知直线l1：x−2y+3=0，l2：2x+3y−8=0
(1)经过直线l1与l2的交点，且与坐标原点O距离为1的直线；
(2)一入射光线经过点M(2,5)，被直线l1反射，反射光线经过点N(−2,4)，求反射光线所在直线方程．
22.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，且VA−BCD= 36．
(1)求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；
(2)在棱AD上是否存在点E，使二面角E−BC−D的大小为45°？若存在，并求出AEDE的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：事件A={一正两反或两正一反或全是正面}，B={全是反面或两反一正或两正一反}，C={全是反面}，
所以C⊆B．
故选：D．
分别表示出事件A，B，C的含义，由此分析即可判断．
本题考查了事件的含义以及事件之间关系的判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为α⊥β，则有a⊥b，
那么a⋅b=1×(−2)+2×1−2m=0，
解得m=0．
故选：C．
根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得a⋅b=1×(−2)+2×1−2m=0，解可得答案．
本题考查平面垂直的判断，涉及平面向量的法向量，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意得，直线斜率k=2+ 3−24−1= 33．
故选：A．
因为直线上两点横坐标不同，肯定有斜率，代入到两点的斜率公式计算即可．
本题主要考查了直线的斜率公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：MN=MA+AB+BN=13OA+OB−OA+12BC=OB−23OA+12(OC−OB)=12OB−23OA+12OC=−23a+12b+12c，
故选：B．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为直线ax+(1+a)y=3与(a+1)x+(3−2a)y=2互相垂直，
所以A1A2+B1B2=0，
即：a(1+a)+(1+a)(3−2a)=0，
解得：a=−1或 a=3．
故选：C．
根据两线垂直A1A2+B1B2=0求解即可．
本题考查直线垂直条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
所以A(0,0,0)，B1(2,0,4)，C(2,4,0)，E(1,4,4)，
则B1E=(−1,4,0)，CE=(−1,0,4)，
设n=(x,y,z)是平面B1CE的一个法向量，则n⋅B1E=−x+4y=0n⋅CE=−x+4z=0，
令y=1，则n=(4,1,1)，又AC=(2,4,0)，
所以点A到平面B1CE的距离为|n⋅AC||n|=|4×2+1×4+1×0| 42+12+12=2 2．
故选：D．
建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离．
本题考查点到面的距离的计算，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设编号之和恰为20为事件A，
基本事件总数为C52=10，
编号之和恰为20的情况为2个编号为5的小球，一个编号为10的小球，
所以事件A包含的基本事件数为C32⋅C21=6，
∴P(A)=610=35．
故选：D．
利用古典概型的概率计算公式，求解即可．
本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，
事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，
在A中，A与B是对立事件，故A正确；
在B中，A与B是对立事件，故B错误；
在C中，B与C能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，B与C能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
本题考查对立事件、互斥事件的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，甲获胜的概率是1−12−13=16，A正确；
对于B，甲不输即甲获胜或和棋，其概率12+16=23，B错误；
对于C，乙输即甲获胜的概率为1−12−13=16，C错误；
对于D，乙不输即乙获胜或和棋，其概率P=12+13=56，D错误；
故选：BCD．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查概率的求法，注意对立事件概率计算公式的合理运用，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当直线的倾斜角为直角时，直线不存在斜率，故A正确；
对于B，倾斜角为120°的直线的斜率为− 3，倾斜角为60°的直线的斜率为 3，
虽然120°>60°，但是直线的斜率不大，故B错误；
对于C，由直线方向向量为(3, 3)知，直线的斜率为 33，则直线的倾斜角为30°，故C正确；
对于D，设点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(m,n)，
则n−2m−0=−1m2+1=n+22，解得m=1n=1，
所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)，故D正确．
故选：ACD．
根据倾斜角和斜率的关系判断A，举反例判断B，根据直线的方向向量确定直线的斜率进而求得倾斜角判断C，根据待定系数法求解点关于直线的对称点判断D．
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了直线的方向向量，以及点关于直线的对称点问题，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，
则根据题意可得：B(1,2,0)，E(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,2,1)，C(0,2,0)，
则ED1=(−1,−1,1)，所以线段ED1的长度为|ED1|= 3，故A选项错误；
又B1C=(−1,0,−1)，所以异面直线 D1E和B1C夹角余弦值为：
|cs|=|ED1⋅B1C||ED1||B1C|=1−1 3× 2=0，故B选项正确；
设直线D1E上存在点F满足D1F=λD1EBF⋅D1E=0，且D1E=(1,1,−1)，
则D1F=λD1E=λ(1,1,−1)=(λ,λ,−λ)，所以F(λ,λ,1−λ)，
则BF=(λ−1,λ−2,1−λ)，又BF⋅D1E=0，所以λ−1+λ−2+λ−1=0，
解得λ=43，则BF=(13,−23,−13)，所以点B到直线D1E的距离为：
|BF|= (13)2+(−23)2+(−13)2= 63，所以C选项正确；
因为VB−D1EC=VD1−BCE=13S△BCE⋅|DD1|=13×12×1×1×1=16，故D选项错误．
故选：BC．
根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断ABC，结合等体积法即可判断D．
本题考查异面直线所成角问题，点面距的求解，三棱锥的体积的求解，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∵直线l1：ax−y+1=0，l2：x+ay+1=0，
又∵a×1+(−1)×a=0，
∴无论a为何值，l1与l2都互相垂直，故A正确，
对于B，直线l1：ax−y+1=0，
当x=0时，y=1，
则直线l1恒过定点(0,1)，
直线l2：x+ay+1=0，
当y=0时，x=−1，
则直线l2恒过定点(−1,0)，故B正确，
对于C，设直线l1：ax−y+1=0上任意一点P(x,y)，
则点P关于直线x+y=0的对称性点为P′(−y,−x)，
将点P′(−y,−x)代入直线l2：x+ay+1=0，可得ax+y−1=0，与点P在直线l1上矛盾，
对于D，联立方程组ax−y+1=0x+ay+1=0，解得x=−a−1a2+1y=−a+1a2+1，
故M(−a−1a2+1,−a+1a2+1)，
则|MO|= (−a−1a2+1)2+(−a+1a2+1)2= 2a2+1≤ 2，
所以|MO|的最大值是 2，故D正确．
故选：ABD．
对于A，利用两条直线垂直的充要条件，即可求解，对于B，求出两条直线恒过的定点坐标，即可求解，对于C，利用点关于直线的对称点，即可求解，对于D，先求出两条直线的交点M的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查了直线与直线的位置关系，动直线恒过定点问题，直线与直线垂直的充要条件的应用，直线关于直线的对称性问题，属于中档题．
13.【答案】2x−y−7=0
【解析】解：联立3x+4y−5=03x−4y−13=0，解得x=3y=−1．
∴两条直线3x+4y−5=0和3x−4y−13=0的交点为(3,−1)，
∴经过两条直线3x+4y−5=0和3x−4y−13=0的交点，且斜率为2的直线方程是y+1=2(x−3)，
即2x−y−7=0．
故答案为：2x−y−7=0．
联立两直线方程，求解交点坐标，然后代入直线方程的点斜式得答案．
本题考查了直线方程的点斜式，考查了二元一次方程组的解法，是基础题．
14.【答案】815
【解析】解：记“选中两人都是男生”为事件A，“选中两人都是女生”为事件B，“选中两人中恰有一人是女生“为事件C，
易知A，B为互斥事件，AUB与C为对立事件，
∵P(AUB)=P(A)+P(B)=13+215=715，
所以P(C)=1−P(AUB)=1−715=815，
故答案为：815．
记“选中两人都是男生“为事件A，“选中两人都是女生“为事件B，“选中两人中恰有一人是女生“为事件C，根据A，B为互斥事件，AUB与C为对立事件，从而可求出答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件的概率加法公式，以及对立事件的概率关系，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查向量的投影，向量的数量积，向量的模，属于基础题．
直接利用向量投影的公式求解即可．
【解答】
解：根据题意得，a⋅b=9e1⋅e2+6e22
=9×1×1×(−12)+6×1×1=−92+6=32；
又∵|b|=3，
∴a在b方向上的投影为a⋅b|b|=323=12；
故答案为12．
16.【答案】 1453
【解析】解：如图所示：
设点B关于直线x+2y=3的对称点C(m,n)，
则nm+n⋅(−12)=1m−22+2×n2=3，解得m=0n=4，即C(0,4)，
则AC= (0+13)2+(4−0)2= 1453，即“将军饮马”的最短路程为 1453．
答案为： 1453．
先求出点B关于直线x+2y=3的对称点C的坐标，再由两点之间的距离公式算出A、C之间的距离，即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、点关于直线的对称点的求法等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为直线l2的倾斜角为45°，
所以直线l2的斜率为tan45°=1，
整理得2m−1−m+33m−2=1，解得m=2．
(2)因为l1⊥l2，直线l1的斜率为2，
所以直线l2的斜率为−12，利用kl1⋅kl2=−1，
所以2m−1−m+33m−2=−12，解得m=−25．
【解析】(1)直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出m的值；
(2)利用直线垂直的充要条件求出m的值．
本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系式，直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可知：10a+0.65=0.7，(2a+b+0.065)×10=1，
解得a=0.005，b=0.025；
(2)前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
第60%分位数等于65+0.6−−0.3×10=6259≈71.7；
(3)根据分层抽样，[75,85)和[85,95]的频率比为，
故在[75,85)和[85,95]中分别选取4人和1人，分别设为a1，a2，a3，a4和b1，
则在这5人中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点有：
a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a2a3，a2a4，a2b1，a3a4，a3b1，a4b1共10个，
即n(Ω)=10，记事件A=“两人来自不同组”，
则事件A包含的样本点有a1b1，a2b1，a3b1，a4b1共4个，即n(A)=4，
所以P(A)=n(A)n(Ω)=25．
【解析】(1)由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得a，b；
(2)根据百分位数的定义求解；
(3)分层抽样确定2个分组的人数，古典概型进行计算．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，
每次发红包的个数为1个(小王自己不抢)，假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同，
小王发2次红包，记“甲第i次抢得红包”为事件Ai(i=1,2)，
“甲第i次没有抢得红包”为事件Ai−．
则P(Ai)=13，P(Ai−)=23．
记“甲恰有1次抢得红包”为事件A，则A=A1A2−+A1−A2，
由事件的独立性和互斥性，
得P(A)=P(A1A2−+A1−A2)=P(A1A2−)+P(A1−A2)=P(A1)P(A2−)+P(A1−)P(A2)
=13×23+23×13=49．
(2)小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，
记“乙第i次抢得红包”为事件Bi(i=1,2,3)，“乙第i次没有抢得红包”为事件Bi−．
则P(Bi)=13，P(Bi−)=23．
由事件的独立性和互斥性，
得P1=P(B1B2B3−+B1−B2−B3)=(13)2×23+(23)2×13=29；
P2=P(B1B2−B3+B1−B2B3)=2×(13)2×23=427；
P3=P(B1B2B3)=(13)3=127．
∴P=P1+P2+P3=29+427+127=1127．
即乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率为1127．
【解析】(1)根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率；
(2)根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率．
本题考查事件的互斥性和独立性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因为AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，则BE=(0,1,1)，
所以AB=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，
又BE⋅AB=(0,1,1)⋅(1,0,0)=0，所以BE⊥AB，
又BE⊄平面PAD，所以BE//平面PAD．
(2)由(1)知平面PAD的法向量AB=(1,0,0)，PD=(0,2,−2)，DC=(2,0,0)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PD=0n⋅DC=0，即2y−2z=02x=0，令y=1，可得z=1，所以n=(0,1,1)，
又n⋅AB=(0,1,1)⋅(1,0,0)=0，
所以n⊥AB，所以平面PCD⊥平面PAD．
【解析】(1)由题意以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线BE的方向向量和平面PAD的法向量AB=(1,0,0)，由BE⋅AB=0，即可证明；
(2)求出平面PCD的一个法向量，由n⋅AB=0即可证明．
本题考查了平面与平面垂直，直线与平面平行，属于中档题．
21.【答案】解：(1)联立x−2y+3=02x+3y−8=0，解得x=1y=2，
所以直线l1与l2的交点为(1,2)，
当所求直线的斜率不存在时，所求直线方程为x=1，符合题意；
当所求直线的斜率存在时，设直线方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0，
因为坐标原点O到直线的距离为1，所以|−k+2| k2+1=1，解得k=34，
所以直线方程为3x−4y+5=0，
综上所述，所求直线方程为x=1或3x−4y+5=0．
(2)设点M(2,5)关于直线l1的对称点为M′(a,b)，
则b−5a−2=−2a+22−2⋅b+52+3=0，解得a=4b=1，即M′(4,1)，
因为N(−2,4)，
所以直线M′N的方程为y−4x+2=1−44+2，即x+2y−6=0，
即反射光线所在直线方程为x+2y−6=0．
【解析】(1)联立两直线的方程，解之即可得交点坐标；分所求直线的斜率是否存在两种情况，利用点到直线的距离公式，即可求直线方程；
(2)设点M(2,5)关于直线l1的对称点为M′(a,b)，根据中点坐标公式与两直线垂直的条件，求得a和b的值，再写出直线M′N的方程，即可得解．
本题考查直线方程的求法，直线中的对称问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】证明：(1)分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
因为O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，
所以△BCD是直角三角形，BD=2OD=2，CD=1，BC= (BD)2−(CD)2= 3，
因为CB、CD的中点为F、G，所以OF//CD，OG/​/BC，OF⊥OG，
因为AB=AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA⊂平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，AO是三棱锥A−BCD底面BCD的高，△AOB是直角三角形，
因为VA−BCD=13×AO×S△BCD=13×AO×12× 3×1= 36，解得AO=1，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，F(12,0,0)，G(0, 32,0)，A(0,0,1)，B(12,− 32,0)，C(12, 32,0)，D(−12, 32,0)，
所以CD=(−1,0,0)，BC=(0, 3,0)，AB=(12,− 32,−1)
设n1=(x1,y1,z1)是平面ABC的一个法向量，则n1⊥BC，n1⊥AB，
则n1⋅BC=0n1⋅AB=0，即 3y1=012x1− 32y1−z1=0，
令z1=1，则x1=2，所以n1=(2,0,1)，|n1|= 5，|CD|=1，
所以cs=n1⋅CD|n1||CD|=−2 55，
所以直线CD和平面ABC所成角的正弦值等于2 55；
解：(2)在棱AD上存在点E，使二面角E−BC−D的大小为45°．
设AE=λAD(0≤λ≤1)，
由(1)知，BC=(0, 3,0)，AB=(12,− 32,−1)，
AD=(−12, 32,−1)，AE=λAD=(−12λ, 32λ,−λ)，
BE=AE−AB=(−12λ, 32λ,−λ)−(12,− 32,−1)=(−λ+12, 3(λ+1)2,−λ+1)，
因为OA=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量，
设n2=(x2,y2,z2)是平面BCE的一个法向量，则n2⊥BC，n2⊥BE，
则n2⋅BC=0n2⋅BE=0，即−λ+12x2+ 3(λ+1)2y2+(−λ+1)z2=0 3y2=0，
取x2=2(λ−1)，z2=−λ−1，所以n2=(2λ−2,0,−λ−1)，
因为二面角E−BC−D的大小为45°
所以|cs|=|n2⋅OA|n2||OA||= 22，
即|λ+1 (2λ−2)2+(λ+1)2|= 22，
整理得，3λ2−10λ+3=0 解得，λ=13或λ=3(舍去)，
所以，AE=13AD，AE=13AD，
所以，在棱AD上存在点E，使二面角E−BC−D的大小为45°，AEDE=12．
【解析】(1)由线面垂直的判定定理可证得OA⊥平面BCD，由VA−BCD= 36取出AO，建立空间直角坐标系，求出直线CD的方向向量和平面ABC的法向量，由向量的夹角公式即可求得；
(2)设AE=λAD(0≤λ≤1)，求出平面BCD，BCE的法向量，由向量的夹角公式建立方程，求出λ的值即可．
本题考查直线与平面所成角，平面与平面所成角，属于中档题．