第23讲 导数解答题之max，min函数问题（原卷及解析版）

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（1）若直线与曲线相切，求实数的值；
（2）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
【解析】解：（1）依题意，，则曲线在点，处的切线方程为，
又，代入整理得，此直线与重合，得，消去得：
①，令，则，当时单调递增，当时，单调递减，（1）．由①知，，解得；
（2）①当时，，所以，无零点；
②当时，（1）（1），从而（1），故为的一个零点；
③当时，，则的零点即为的零点．
又，
所以①当时，，此时在上单调递增，（1），此时无零点；
②当时，令，解得：，易知在上单调递减，在上单调递增，又（1），
在上无零点，另外，由（1）可知（1）恒成立，
即对恒成立，则，
所以，故存在，
进而存在，使得，即，此时在上存在唯一零点；
综上可得：当时，有1个零点；当时，有2个零点．
2．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）记，表示，中的最小值，设，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）的定义域为，
，
令，得．
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，，
综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；
当时，的单减区间为，无增区间；
当时，的单减区间为和，单增区间为．
（2）的唯一一个零点是，
，，
由（1）可得：
当时，，
此时至多有两个零点，不符合题意；
（ⅱ）当时，在定义域上单减递减，
此时至多有两个零点，不符合题意；
（ⅲ）当时，
若（2），即，此时至多有两个零点，不符合题意；
若（2），即，此时，
即，
此时恰好有三个零点，符合题意；
若（2），即，此时，，
记，
所以，
所以（a）在上单调递增，所以，
此时恰好有四个零点，符合题意，
综上，．
3．已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，记函数，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）令，
当时，．
，令，得．
当，，单调递增；
当，，，单调递减；
当，，，单调递增．
（2）当时，，令，得，．
①当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；
②当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；
③当，即时，若（1），至多有两个零点，不合题意；
若（1），得，，恰好有三个零点；
若（1），得，（2），．
记（a），则（a），（a），
此时有四个零点．
综上所述，满足条件的实数的取值集合为，．
4．已知函数．
（1）求证：；
（2）用，表示，中的最大值，记，，讨论函数零点的个数．
【解析】证明：（1）：设，定义域为，
则，
当时，；当时，，
故在内是递减函数，在内递增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，所以（1），
所以．
解：（2）函数的定义域为，，
当时，；当时，，
所以在内是递减函数，在内是递增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，即（1），
若，则，
当时，；当时，；当时，，
所以，于是只有一个零点．
当时，则，
当时，，此时；
当时，，，此时．
所以没有零点．
当时，根据（1）知：，而，所以，
又因为（1），所以在上有一个零点，
从而一定存在，，使得（c）（c），即，即，
当时，，
所以，从而，
于是有两个零点和1．当时，有两个零点．
综上：当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点．
5．已知函数，．
（1）当，且时，证明：；
（2）定义，设函数，，试讨论零点的个数．
【解析】（1）证明：当时，，
要证，需证，即，
即证：当时，；当时，．
令，则，
在上单调递增，在上单调递增，
当时，（1），此时；
当时，（1），此时．
故，且时，．
（2）解：当时，，，在上无零点；
当时，（1）（1），则（1），是的唯一零点；
当时，，在上无零点，
在上的零点个数等价于在上的零点个数．
，
①若时，，在上单调递增，（1），此时无零点；
②若即时，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减，
，
令（a），则（a），（a）在上单调递增，
（a）（1），即，即，
两边取指数，有，即，
，
又，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，且．
综上所述：
当时，仅有一个零点；
当时，有两个零点．