2024届内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学高三上学期第二次月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2．设，，且，则锐角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的坐标表示列方程即可求解.
【详解】由，，且，
则，解得，
为锐角，.
故选：D.
3．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，
由于，所以，
所以.
故选：C
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象经过两次变换，则下列变换方法正确的是（ ）
A．先将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度
B．先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度
C．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
【答案】D
【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象；
或者先将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.
故选：D.
5．在内，使成立的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出函数和在内的图象，根据图象直接观察得到答案.
【详解】作出函数和在内的图象，
，
函数的图象在函数的图象上方的区间就是的解集，
即为.
故选：C.
6．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．8B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理即可得解.
【详解】在中，，
因为，所以，
则由正弦定理得.
故选：B．
8．已知向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为不共线，，，，
易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；
又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；
而，所以A，B，D三点共线，故C正确.
故选：C.
9．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算，先求出复数z,再求即可.
【详解】解：由，
得，
所以.
故选：C.
10．数列，，，，的一个通项公式是an=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据所给数列的特点，先写出数列，，，，的通项公式，再写出数列，，，，的通项公式，最后写出数列，，，，的通项公式.
【详解】因为数列，，，，的通项公式为，
则数列，，，，的通项公式为，
而数列，，，，的每一项都是上面数列对应项的，
所以数列，，，，的通项公式为.
故选：C.
11．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，则（ ）
A．28B．30C．32D．35
【答案】D
【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项的值,进而代入即可求解.
【详解】设公差为且，由，得，
故，
故选：D
12．在中，点在边上，.记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知得出，结合平面向量的减法可得出关于、的关系式.
【详解】如下图所示：
由题意可得，即，
故.
故选：B.
二、填空题
13．已知向量，，若，则实数＝ ．
【答案】/
【分析】利用向量的线性运算求得，再利用向量共线的坐标表示即可得解.
【详解】因为向量，，
所以，，
又，
所以，解得，
故答案为：.
14．单调增区间为 ．
【答案】
【分析】由题意利用正弦函数的单调性求解.
【详解】函数的单调增区间为，
当，即时，
函数单调递增.
故答案为：.
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
16．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算求解即可.
【详解】已知向量，的夹角的余弦值为，且，，
则，
.
故答案为：.
三、解答题
17．已知函数的最小正周期为，图象过点.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)求函数的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用周期公式可得，将点代入解析式即可求得，再利用整体代入法即可得解.
【详解】（1）因为的最小正周期为，
由已知得，解得，则，
将点代入，得，可知，
由得，所以，则，
于是；
令，解得，
于是函数图象的对称中心为.
（2）令
解得，
于是函数的单调递减区间为.
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
19．在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
20．已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出；
（2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值.
【详解】（1）已知，，
，
，
；
（2）设向量与的夹角的夹角为，
则，
向量与的夹角的余弦值为.
21．设函数的图象与直线相切于点．
(1)求a，b的值；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为
【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）求出导函数解不等式可得答案.
【详解】（1），
由题意知，解得；
（2）由（1）知，
所以，解得或，，解得．
的单调递增区间为和，单调递减区间为．
【点睛】关键点睛：根据函数导函数的正负性判断函数的单调性是解题的关键.
22．已知等差数列的前三项依次为前n项和为，且.
（1）求a及k的值；
（2）设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
【答案】（1）a＝2，k＝10；（2）证明见解析，Tn＝.
【分析】（1）设该等差数列为{an}，根据等差数列的前三项依次为由a＋3a＝8，求得a，再利用等差数列前n项和的公式，由Sk＝110求解；
（2）由（1）得到Sn＝＝n(n＋1)，进而得到bn＝，再利用等差数列的定义证明.
【详解】（1）设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
（2）证明：由（1）得Sn＝＝n(n＋1)，
则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝1＋1＝2，
所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.