2024届北京市海淀区中央民族大学附中高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届北京市海淀区中央民族大学附中高三上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】D
【分析】根据复数的虚部的定义即可得解.
【详解】复数的虚部是.
故选：D.
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程.
【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，
故选：D.
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用特殊值判断AB，由不等式的性质及指数函数的单调性判断C，由特殊值及对数的意义判断D.
【详解】当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
由，因为为增函数，所以，故C正确；
当时，无意义，故不成立，故D错误.
故选：C
4．已知为第二象限的角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平方关系求出，再利用诱导公式即可得解.
【详解】因为为第二象限的角，且，
所以，
所以.
故选：A.
5．如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的意义及直线的斜率公式求解即可.
【详解】由题意，，且，
所以.
故选：C.
6．已知等比数列的首项和公比相等，那么数列中与一定相等的项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出公比，利用等比数列的性质进行求解.
【详解】设公比为，则，
由等比数列的性质可知.
故选：D
7．已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l，在平面α内一定存在一条直线m，使得直线l与直线m
A．平行B．相交C．异面D．垂直
【答案】D
【详解】试题分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
解：当直线a与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故A错．
当直线a与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故B错．
当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．
不管直线a与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线l垂直，
因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确．
故选D．
【解析】空间中直线与直线之间的位置关系．
8．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为
A．2B．C．D．
【答案】A
【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
9．“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ）
A．“存在a，，使得且”
B．“存在a，，使得且”
C．“存在，使得”
D．“存在，使得”
【答案】B
【分析】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项.
【详解】若函数在区间是增函数，
即任意，使得且，
则若函数在区间不是增函数，
即存在，使得且.
故选：B
10．已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果.
【详解】设的中点为，因为，，所以，，
，
因为，所以.

故选：A
二、填空题
11．已知集合，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，解之即可得解.
【详解】因为集合，，
所以，解得.
故答案为：.
12．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数解析式进行求值.
【详解】依题意，，
所以
.
故答案为：
13．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数λ＝ ．

【答案】2
【分析】由图可知，再由与共线，结合共线向量定理可得结果.
【详解】由题中所给图可得，
因为向量与共线，所以存在唯一实数，使，
即，
因为不共线，所以，解得，
故答案为：2
14．若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】当时，化简得到，满足在区间上单调递增，即可得到答案.
【详解】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增，
当时，
可得，
此时函数满足在区间上单调递增，
当时，，所以常数的一个取值可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．已知直线与相交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，，记点的横坐标构成数列，给出下列四个结论：
①点； ②数列单调递增；
③数列为等比数列； ④．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】根据题意求坐标，判断①；设，，，根据规律可得为首相为，公比为的等比数列，判断③，进而求得，，可判断②；根据，计算判断④.
【详解】根据题意求出，，，，，，
，所以①正确；
根据以上设，则有，，
即，构造成，，，
所以为首相为，公比为的等比数列，所以③正确；
又根据等比数列通项公式有：，，
，所以为单调递减数列，所以②错误；
因为，，
所以
，所以④正确.
故答案为：①③④
【点睛】根据点的坐标确定点，的坐标表示，求出为首相为，公比为的等比数列，进而计算出，从而进行运算逐一判断各个结论.
三、解答题
16．如图，棱雉的底面是正方形，平面，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面夹角的正弦值．
【详解】（1）由于四边形是正方形，所以，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以，
而，所以两两相互垂直，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面夹角为，则.
17．某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)当时，求不等式的解集．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）利用五点作图法完善表格即可，根据表中数据求出即可求出函数解析式；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】（1）由表可知，
所以，所以，
又，所以，
所以，
表格如下：
（2），即，
所以，解得，，
又因，所以，
即不等式的解集为．
18．在中，角所对的边分别为，现有下列四个条件：①；②；③；④．
(1)条件①和条件②可以同时成立吗？请说明理由；
(2)请从上述四个条件中选择三个条件作为已知，使得存在且唯一，并求的面积．
【答案】(1)不可以，理由见详解.
(2)若选①③④时，存在且唯一，此时面积为；
若选②③④时，存在且唯一，此时面积为.
【分析】（1）由余弦定理化简①，由余弦函数的性质化简②，再由与矛盾，从而得出结论；（2）结合（1）中的条件进行分析，再由余弦定理得出，利用三角形面积公式得出面积.
【详解】（1）对于①：因为，
所以，
.
对于②：，
由可得，
因为，所以，与矛盾
故①②两个条件不可以同时成立.
（2）因为①②两个条件不可以同时成立，所以只能选①③④或②③④
选①③④时，因为，，
所以由可得，
解得（舍）
故
所以若选①③④时，存在且唯一，此时面积为.
选②③④时，因为，，
所以由可得
故，
所以若选②③④时，存在且唯一，此时面积为.
19．已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极小值；
（3）求函数的零点个数．
【答案】（1）；（2）；（3）个．
【解析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值；
（3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.
【详解】（1）因为，所以．
所以，．
所以曲线在点处的切线为；
（2）因为，令，得或．
列表如下：
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，当时，函数有极小值；
（3）因为，，
所以由（2）得，当时，，又．
由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为．
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．已知椭圆，、为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程和离心率．
(2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上．
【答案】(1)；.
(2)点在定直线上
【分析】（1）由椭圆的定义求出，即可求出椭圆的方程和离心率；
（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为：，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．根据可得间的关系式．设，再由可得间的关系式，将韦达定理代入化简即可得出点在定直线上，再检验直线的斜率不存在是否满足.
【详解】（1）由椭圆的定义知，，故，
所以椭圆的方程为，故，
所以椭圆的离心率为.
（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为：，
则联立可得：，
则，解得：，
设，，则，，
由可得：，即，
设，由可得：，
即，即，
则，
因为点在直线上，所以，
所以点在定直线上，
若直线的斜率不存在，过的直线与椭圆交于、两点，
，，所以，
则，
所以，解得：，满足点在定直线上.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.
21．已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)求证：；
(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据数列：，，，时具有性质，对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证；
（2）令，，可得属于，证明，倒序相加即可得到结论；
（3）根据数集，具有性质，可得，，由此可知，即，从而得到，，构成等查数列．
【详解】（1）由于和都不属于集合，所以不具有性质；
由于、、、、、、、、、都属于集合，2，4，，所以具有性质．
（2）令，，则 “与两数中至少有一个属于”，
不属于，属于
令，那么是集合中某项，不行，是0，可以．
如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．
所以令可以得到，
同理，令、，，2，可以得到，
倒序相加即可得到．
（3），，，具有性质，，，，
，则，
所以与中至少有一个属于，
由，有，故，，故．
，，故，3，，．
由具有性质知，，3，，．
又，
，，，，，即，2，，．（1）
由知，，，，均不属于，
由具有性质，，，，均属于，
，
，，，，，即．（2）
由（1）（2）可知，，，
即，3，，．
故，，构成等差数列．
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
0
0
0
0
0
0
a
0

极大值
极小值