2023年北京市中央民族大学附中高考数学零模试卷（含答案解析）

2023年北京市中央民族大学附中高考数学零模试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知i为虚数单位，复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  直线与圆的位置关系是(    )

A. 相交且过圆心 B. 相切 C. 相离 D. 相交但不过圆心

5.  双曲线的一个焦点到渐近线的距离为(    )

A. 1 B. 2 C.  D.

6.  药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据，经研究表明，大部分注射药物的血药浓度单位：随时间单位：的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速率常数单位：，某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  等差数列的前n项和为，，则(    )

A. 32 B. 42 C. 52 D. 62

8.  若非零向量，满足，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，，则“，”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10.  已知集合A满足：①，②，，，必有，③集合A中所有元素之和为100，则集合A中元素个数最多为(    )

A. 11 B. 10 C. 9 D. 8

11.  的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则的面积为__________.

12.  已知抛物线C：，C的焦点为F，点M在C上，且，则点M的横坐标是______.

13.  在展开式中，含的项的系数是______.

14.  如图所示，有棱长为2的正方体，P为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是______.

15.  已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论：
①的最小值为0；
②的最大值为3；
③若在上单调递减，则a的取值范围为；
④若存在，对于任意的，，则a的可能值共有4个；
则全部正确命题的序号为______ .

16.  函数的部分图象如图所示．
求的值；
求在区间的最大值与最小值及对应的x的值．
 

17.  如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，，M为BC的中点．
求证：；
求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．

18.  在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成五组，并整理得到如图频率分布直方图：

已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小只需写出结论

19.  已知椭圆C：的左、右顶点分别，，上顶点为B，的面积为3，C的短轴长为
求C的方程；
斜率不为0的直线l交C于P，Q两点异于点，D为PQ的中点，且，证明：直线l恒过定点．

20.  已知函数

当时，讨论的单调性；

若有两个零点，求a的取值范围．

21.  已知有限数列，从数列中选取第项、第项、……、第项…，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．
设数列满足，，
判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列：3，5，7，9，11；数列：2，4，8，
数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6；
数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用补集定义求出，利用交集定义能求出

【解答】

解：集合，，
则或，

故选

2.【答案】D 

【解析】解：因为，
所以
故选：
利用复数的四则运算求解即可．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是正切函数，在其定义域上不具有单调性，不符合题意；
对于B，，是奇函数，当在其定义域上是减函数，不符合题意，
对于C，，既是奇函数，又是其定义域内增函数，符合题意；
对于D，，不是奇函数，不符合题意；
故选：
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆的位置关系是相交但不过圆心．
故选：
圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，由此能求出直线与圆的位置关系．
本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：根据题意，由双曲线，
可得焦点坐标为，渐近线的方程为；
结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，
故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为，
故选：
根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．
本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由题意得，，
即，
则，
解得
故选：
依据题意列出关于 t的方程即可求得该患者的麻醉时间．
本题考查了将指数化为对数后再解对数方程，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：等差数列，，
，，，
，
故选：
利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的前n项和公式求解即可．
本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，是基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：根据题意，设与的夹角为，，则，
若，则，
即，
又由，则，
故选：
根据题意，设与的夹角为，，由向量垂直的判断方法可得，求出的值，结合的范围，分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
 

9.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用正弦函数的性质，结合充要条件的定义即可判断．

【解答】

解：①当，时，则，，
，充分性成立;
②当时，则，或，，
或，，必要性不成立.
故选

10.【答案】B 

【解析】解：对于条件①，②，，，必有，
若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如，集合中有11个元素，
又，，
则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合A中元素个数最多不能超过10个，
故若要集合A满足：①，②，，，必有，③集合A中所有元素之和为100，最多有10个元素，
例如
故选：
根据集合A满足的条件①②可知要使得集合A中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为2，故先考虑集合中元素是由公差为2的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案．
本题主要考查元素与集合的关系，集合中元素个数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．

【解答】

解：由余弦定理有，
，，，
，
，

故答案为

12.【答案】5 

【解析】解：由抛物线C：的方程可得准线方程，
设M的横坐标为，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，则，可得，
故答案为：
由抛物线的方程可得准线方程，由抛物线的性质可得到曲线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，由题意可得M的横坐标．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
 

13.【答案】20 

【解析】解：的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
故在展开式中，含的项的系数为
故答案为：
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设点P到平面ABC的距离为h，
则，所以，
如图在上取点E，使得，过点E作平面平面ABCD，F，G，H分别在，，上，
故点P在四边形EFGH的边上，
则当点P在点H的位置时，最小，为，
当点P在点F的位置时，最大，为，
所以的取值范围是
故答案为：
根据三棱锥的体积求出点P到平面ABC的距离h，由此确定点P的轨迹，结合图形即可得出答案．
本题考查了锥体体积的有关计算，属于中档题．
 

15.【答案】①②④ 

【解析】解：当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，，
若，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
若，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以，
若，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
当时，，
若，函数在上单调递减，在单调上递增，所以，
若，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以，
若，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
综上可得于是，即的最小值为0，最大值为3，故①②正确；
当时，函数在上也单调递减，故③错误；
当或时，函数的图象关于直线对称，
当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，
则当时，对于任意的，成立，此时，故④正确．
故答案为：①②④．
把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断①②；由在上单调性确定a值判断③；由函数图象具有对称性求出a值判断④作答．
本题考查函数的最值，函数的单调性，函数的对称性等知识，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：因为



；
的最小正周期  


 
；
当即时，函数取最小值；
即时，函数取最大值
在区间的最大值为1，最小值为 

【解析】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．
化简函数，求出的解析式，结合图象求出T，进而得到；
利用正弦函数的图象与性质，求出时函数的取值范围．
 

17.【答案】解：证明：连接AM交BD于点O，，
，
，
又底面ABCD，平面ABCD，
，
又，平面PBD，平面PBD，
平面PBD，
又平面PBD，
；
依题意，，，，
在中，由余弦定理可得，，
，
，
设平面PAM与平面PDC所成的锐二面角为，则，
故平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值为 

【解析】先利用向量法证明，再结合，可证得平面PBD，由此得证；
求出及的面积，利用射影法即可得解．
本题考查线面垂直的判定定理及性质定理，考查利用射影法求二面角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意知：甲班每天学习时间达到5小时及以上的学生频率为
故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为人．
甲班每天学习时间不超过4小时的人数为人，乙班每天学习时间不超过4小时的人数为人，
故两个班每天学习时间不超过4小时的共6人，由题意甲班抽到的学生人数X服从超几何分布：且
X的分布列为：

故
从直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故 

【解析】根据直方图计算出甲班学习时间在5小时及5小时以上的频率，再乘以600即可；
按照超几何分布的性质求解即可；
根据直方图的集中与分散程度直接比较，即可．
本题考查频率分布直方图、超几何分布以及期望与方差的计算等知识点．同时考查学生分析和解决实际问题的能力．属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意得，解得，，故C的方程为
证明：由题意设直线/的方程为，，，
联立，得，
所以，即，
，
因为，所以，所以，
即，
则，
整理得，
所以，
即，
整理得，解得或，
当时，直线l的方程为，恒过点，舍去；
当时，直线/的方程为，恒过点，符合题意，
即直线l恒过定点 

【解析】根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；
由题意设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，结合可得，再代入韦达定理化简求解即可．
本题考查了椭圆的几何性质和标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，的定义域为，且
当时，，令，解得
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
在上单调递减，在上单调递增；
①当时，恒成立，在上单调递增，至多有一个零点，不合题意；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
的极小值也是最小值为，
又当时，，当时，
要使有两个零点，只要即可，
则，可得
综上，若有两个零点，则a的取值范围是 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是拔高题．
当时，，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；
当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；当时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a的取值范围．
 

21.【答案】解：数列不是的完全数列；数列是的完全数列．
理由如下：
数列：3，5，7，9，11中，因为，所以数列不是的完全数列；
数列：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列是的完全数列．
假设数列长度为，不妨设，各项为…
考虑数列的长度为2，3，…7的所有子列，一共有个．
记数列的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为
所以，
所以其中必有两个子列的所有项之和相同．
所以假设不成立．
再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意．
所以子列的最大长度为
数列的子列长度，且为完全数列，且各项为…
所以，由题意得，这5项中任意项之和不小于
即对于任意的，有，
即
对于任意的，
设，则数列的前j项和
下面证明：
因为
，
，

所以，当且仅当时，等号成立．
所以求的最大值为 

【解析】直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．
根据定义的应用求出子列的长度．
利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．
本题考查的知识要点：数列的信息题的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．