2023届北京市中央民族大学附属中学高三零模数学试题含解析

2023届北京市中央民族大学附属中学高三零模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用补集定义求出，利用交集定义能求出．

【详解】解：集合，，

则或，

．

故选：D

2．已知为虚数单位，复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

3．下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据解析式分别判断每个选项的奇偶性和单调性即可.

【详解】对A，令，则定义域为，且，所以为奇函数，因为和都是增函数，所以为增函数，故A正确；

对B，在每个单调区间内单调递增，但不在定义域内递增，故B错误；

对C，在定义域内单调递减，故C错误；

对D，不是奇函数，故D错误.

故选：A.

4．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交且过圆心 B．相切

C．相离 D．相交但不过圆心

【答案】D

【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.

【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．

故选:D

5．双曲线为，则它的焦点到渐近线的距离为(    )

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】求出双曲线的焦点和渐近线，利用点到直线距离的距离公式即可求解.

【详解】设焦点在x轴上的双曲线标准方程为：，

则焦点到渐近线的距离为：.

故本题答案为b＝2.

故选：A.

6．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依据题意列出关于t的方程即可求得该患者的麻醉时间.

【详解】由题意得，，即，

则，解得.

故选：B

7．等差数列前项和为， ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将化成和的形式，得到二者关系，求得，利用求得结果.

【详解】

，即

故选：C.

【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：

（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；

（2）化简求得数列的某一项；

（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.

8．若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.

【详解】因为，

所以，即，

即，又，

结合已知条件可知，

故.

故选：C.

9．已知．则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.

【详解】，，

则或，

由得，

由得，

显然，，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.

10．已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（    ）

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】B

【分析】根据集合满足的条件①②可知要使得集合中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为，故先考虑集合中元素是由公差为的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案.

【详解】对于条件①，②，必有，

若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，

又则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，

故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素，

例如.

故选：B.

二、填空题

11．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

【答案】

【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

【详解】由余弦定理得，

所以，

即

解得（舍去）

所以，

【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

12．已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则点的横坐标是______．

【答案】5

【分析】利用焦半径公式即可求解.

【详解】抛物线：的焦点，准线方程为，设点的横坐标为，则有，所以．

故答案为：5

13．在展开式中，含的项的系数是__________．

【答案】20

【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.

【详解】的展开式中的系数为，

的展开式中的系数为，

故在展开式中，含的项的系数为20．

故答案为：20

14．如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据三棱锥的体积求出点到平面的距离，由此确定点的轨迹，结合图形即可得出答案.

【详解】设点到平面的距离为，

则，所以，

如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，

故点在四边形的边上，

则当点在点的位置时，最小，为，

当点在点的位置时，最大，为，

所以的取值范围是.

故答案为：.

15．已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论：

①的最小值为0；

②的最大值为3；

③若在上单调递减，则的取值范围为；

④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个；

则全部正确命题的序号为__________.

【答案】①②④

【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断AB；由在上单调性确定a值判断C；由函数图象具有对称性求出a值判断D作答.

【详解】当时，，函数在上递减，在上递增，；

当时，，

若，函数在上递减，在上递增，，

若，函数在上递减，在上递增，当时，，

若，函数在上递减，在上递增，；

当时，，

若，函数在上递减，在上递增，，

若，函数在上递减，在上递增，当时，，

若，函数在上递减，在上递增，；

当时，，函数在上递减，在上递增，；

当时，，

函数在上递减，在上递增，，

因此，于是，即的最小值为0，最大值为3，①②正确；

显然当时，函数在上也递减，③错误；

当或时，函数的图象关于直线对称，

当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，

当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，

当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，

则当时，对于任意的，成立，此时，④正确，

所以正确命题的序号为①②④.

故答案为：①②④

【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑

三、解答题

16．函数的部分图象如图所示.

（1）求的值；

（2）求在区间的最大值与最小值及对应的x的值.

【答案】（1）；（2），此时；，此时；

【分析】（1）首先利用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆应用将函数化为，根据三角函数的图像可得，利用周期公式即可求解.

 （2）由（1）可得函数，利用正弦函数的性质即可求解.

【详解】（1）由，

则

，

由三角函数的图像可知，

所以，解得.

（2）由（1）可得，

因为，所以，

当即时，函数；

当即时，函数.

【点睛】本题考查了三角恒等变换、根据三角函数图像求解析式、三角函数的性质，属于基础题.

17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.

（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．

【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.

以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，

如图，建立空间直角坐标系.

则，，，.

可得，.

所以，

所以

（2）由（1）得到，，

因此可得，.

设平面的一个法向量为，则由

得

令，解得.

同理，可求平面PDC的一个法向量.

所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：

.

即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.

18．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成， ， ，，五组，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)已知该校高三年级共有名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数；

(2)已知这两个班级各有名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望；

(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小.（只需写出结论）

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

(3)

【分析】（1）根据甲班频率分布直方图求出学生每天学习时间达到5小时以上的频率，由此估计全校的情况作答.

（2）求出甲、乙两个班级学生每天学习时间不足4小时的人数，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

（3）利用频率分布直方图求出甲乙两班学生学习时间的平均数、方差作答.

【详解】（1）由甲班的统计数据知：甲班学生每天学习时间在5小时以上的频率为，

由此估计高三年级学生每天学习时间达到5小时以上的频率为，人数为人，

所以估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数480.

（2）依题意，甲班自主学习时长不足4小时的人数为：人，

乙班自主学习时长不足4小时的人数为：人，

的可能值为：，

，，，

所以的分布列为：

的数学期望为.

（3）甲班学生每天学习时间的平均数为，

甲班学生每天学习时间的方差为，

乙班学生每天学习时间的平均数为，

甲班学生每天学习时间的方差为，

所以.

19．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.

(1)求的方程；

(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；

（2）由题意设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，结合可得，再代入韦达定理化简求解即可

【详解】（1）由题意得，解得，，故的方程为.

（2）证明：由题意设直线的方程为，，，

联立，得，    

所以，即，

，，

因为，所以，所以，    

即，则，

整理得，    

所以，即

整理得，解得或，    

当时，直线的方程为，恒过点，舍去；

当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，

即直线恒过定点.

20．已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；

（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.

【详解】（1）当时，，，

令，解得，令，解得，

所以的减区间为，增区间为；

（2）若有两个零点，即有两个解，

从方程可知，不成立，即有两个解，

令，则有，

令，解得，令，解得或，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

而时，，当时，，

所以当有两个解时，有，

所以满足条件的的取值范围是：.

【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.

21．已知有限数列{an}，从数列{an} 中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1＜i2＜…＜im），顺次排列构成数列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an} 的长度为m的子列．规定：数列{an} 的任意一项都是{an} 的长度为1的子列．若数列{an} 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an} 为完全数列．设数列{an}满足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．

（Ⅰ）判断下面数列{an} 的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16．

（Ⅱ）数列{an} 的子列{ak}长度为m，且{bk}为完全数列，证明：m的最大值为6；

（Ⅲ）数列{an} 的子列{ak}长度m＝5，且{bk}为完全数列，求的最大值．

【答案】（Ⅰ）数列（1）不是{an}的完全数列；数列（2）是{an}的完全数列；理由见解析（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．

【解析】（Ⅰ）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．

（Ⅱ）根据定义的应用求出子列的长度．假设长度为m≥7，不妨设m＝7，得出矛盾，再说明长度为6时满足条件.

（Ⅲ）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．

【详解】（Ⅰ）数列 （1）不是{an}的完全数列；数列 （2）是{an}的完全数列．

理由如下：

数列 （1）：3，5，7，9，11中，因为3+9＝5+7＝12，所以数列（1）不是{an}的完全数列；

数列 （2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列（2）是{an}的完全数列．

（Ⅱ）假设数列{bk}长度为m≥7，不妨设m＝7，各项为b1＜b2＜b3＜…＜b7．

考虑数列{bk}的长度为2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120个．

记数列{bk}的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为A．

所以a＝b1+b2，A＝b1+b2+25+24+23+22+21＝b1+b2+115．

所以其中必有两个子列的所有项之和相同．

所以假设不成立．

再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意．

所以子列{bk}的最大长度为6．

（Ⅲ）数列{an} 的子列{bk}长度m＝5，且{bk}为完全数列，且各项为b1＜b2＜b3＜…＜b5．

所以，由题意得，这5项中任意i（1≤i≤5）项之和不小于2i﹣1．

即对于任意的1≤i≤5，有，

即．

对于任意的1≤i≤5，，

设（i＝1，2，3，4，5），则数列{ci}的前j项和Dj≥0（j＝1，2，3，4，5）．

下面证明：．

因为（）﹣（）

，

，

0．

所以，当且仅当（i＝1，2，3，4，5）时，等号成立．

所以求的最大值为．

【点睛】本题考查数列的新定义，考查反证法的应用，考查关系式的恒等变换的应用，属于难题.