2024届安徽省安庆市田家炳中学（安庆市第十中学）高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届安徽省安庆市田家炳中学（安庆市第十中学）高三上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则（ ）
A．1B．2C．－1D．－2
【答案】A
【分析】先利用复数的除法化简复数z，进而得到共轭复数求解.
【详解】解：，
则，所以，
故选：A
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算即可.
【详解】解：设向量与的夹角为θ，
∵，
不妨设，则，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题.
4．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断出为直角三角形，再结合求出，最后根据投影向量的计算方法计算即可得正确的选项.
【详解】
因为，故为的中点，而为外心，
故为直角三角形，且，
取的中点为，连接，则，
因为，故，故，
而为锐角，故，故，所以，
而向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
5．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得到函数不单调才能符合要求，ABC错误，D中不单调，且可举出实例.
【详解】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调，
ABC选项，在R上单调递减，在R上单调递增，
在上单调递增，ABC错误；
D选项，在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，与函数，，两者的值域相同，为同值函数，D正确.
故选：D
6．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用的关系式可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再由是递增数列可得恒成立，即可得.
【详解】当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减得，
所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
可得，所以；
因为数列是递增数列，所以对于任意的恒成立，
即，即恒成立，
因为时，取得最小值3，故，
即的取值范围是.
故选：C.
7．在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量共线定理知，点在线段上，设，则，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为（），
所以，又，
所以点在线段上，所以.
设（），所以
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：B.
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意.
【详解】由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，，，且，
可得，，所以.
故选：D.
二、多选题
9．若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
10．设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则既是等差数列又是等比数列
B．若（A，B为常数），则是等差数列
C．若，则是等比数列
D．若是等比数列，则也成等比数列
【答案】BC
【分析】对于A：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC：根据与之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D：根据等比数列的和项性质分析判断.
【详解】对于选项A: 因为，即，可知数列是等差数列，
当时，数列不是等比数列，故A错误；
对于选项B：因为，
当时，；
当时，；
可知时，符合上式，
综上所述：，
可得，所以数列是等差数列，故B正确；
对于选项C: 因为，
当时，；
当时，；
可知时，符合上式，
综上所述：，
可得，所以数列是等比数列，故C正确；
对于选项D: 当数列是等比数列时，取，则，
此时显然，，不是等比数列，故D错误；
故选：BC.
11．递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当时最小D．时n的最小值为8
【答案】ABD
【分析】由等差数列通项公式基本量的计算即可判断AB；由等差数列前n项和二次函数特性即可判断C；由等差数列前n项和的不等式法即可判断D.
【详解】A、B：由题意可设等差数列的公差为d，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确.
C：，
由得，当或4时最小，故C错误.
D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确.
故选：ABD.
12．已知函数，，则（ ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【分析】A选项，二次求导，得到的单调性，得到答案；B选项，二次求导，得到在上单调递增，从而判断出无极值点；C选项，根据A选项得到的的单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，求出其最大值得到答案；D选项，结合AB选项求出的函数单调性及同构，构造函数，进行求解.
【详解】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；
对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；
对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；
对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】构造函数，研究其单调性，极值，最值，从而证明出结论，或者求出参数的取值范围，经常考察，也是难点之一，要能结合函数特征，合理构造函数进行求解.
三、填空题
13．已知扇形的圆心角是60°，所在圆的半径为，则扇形的面积是 ．
【答案】
【解析】利用扇形面积公式，求得扇形的面积.
【详解】对应的弧度是，所以扇形的面积为.
故答案为：
14．已知在中，，，，，P在CD上，，则 .
【答案】4
【分析】先根据三点共线，求出，再将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】因为，三点共线，
所以，解得，
因为，所以，
则，
，
所以
.
故答案为：.
15．已知数列满足，则 ．
【答案】
【分析】根据条件得到，且，再求出即可．
【详解】由数列满足①，
可得，且②，
①-②可得且，所以，
当时，满足通项公式，
所以，
故答案为：．
16．对，恒成立，则a的最小值为 .
【答案】/
【分析】对不等式变形，同构函数，利用单调性转化后分离参数，求函数最值得解.
【详解】，，
令，则，
由有意义知，，所以，
∵，∴单调递增，
∴，
令，则，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故时，，
故当即时，，
所以，即.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得或，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，所以，
所以，即；
（2）解：因为，
所以或，
所以.
18．已知向量，，设函数.
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合向量数量积的坐标运算求出，即可得出最小正周期；
（2）时，可得，根据函数的图象和性质即可求出结果.
【详解】（1）由向量，，
可得
，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
当时，可得，
所以当时，即，函数的最小值为.
19．如图所示，在平面四边形中，，设.
(1)若，求的长；
(2)当为何值时，△的面积取得最大值，并求出该最大值.
【答案】(1)
(2)，面积最大值为
【分析】(1)利用余弦定理和正弦定理即可；(2) 利用余弦定理和正弦定理并将面积表示为三角函数求最大值.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
所以
在,由正弦定理得，
所以
（2）由第(1)问知，在中，
所以，所以,
在,由正弦定理得，
所以
因为
所以
因为所以所以当即时，
此时△的面积取得最大值为.
20．已知等差数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得，，从而求得，进而求得通项公式；
（2）利用分组求和方法，结合公式法即可求解.
【详解】（1）由，得，，
则，解得，
所以，数列的通项公式.
（2）由（1）知，
所以，
21．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的通项公式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)由题意可得，结合即可得到是公差等差数列；
(2)由（1）得，进而得到，结合和即可得出结果.
【详解】解析：（1）将代入，得，
整理得．
当时，得，所以数列是以为首项，为公差等差数列．
所以．
（2）由（1）得，代入，可得．
当时，；
当时，
所以．
22．已知函数．
(1)若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
(2)设，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性可得相应不等式恒成立，分离参数，结合基本不等式即可求得答案；
（2）集合（1）可得，变形可得，令，则可得，累加即可证明结论.
【详解】（1）由已知得，
则．
因为在上单调递增，所以恒成立，
即，
由于，当且仅当时取等号，
所以，当时，，
仅在时取等号，适合题意，
故.
（2）由（1）可知当时，，即，
即，可得．
令，则，即，
所以，
即．
【点睛】难点点睛：第二问利用导数证明不等式，难点在于要结合不等式的结构特征，结合（1）的结论，推出，再变形可得，从而令，则可得，进而采用累加法证明.