2023-2024学年安徽省安庆市第二中学高一上学期第二次月考（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市第二中学高一上学期第二次月考（12月）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】由，而，
所以，
故选：B
2．已知，下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】对于选项A，则，故A错误；
对于选项B，因为，所以，故B错误；
对于选项C，则，所以，故C正确；
对于选项D，当时，，故D错误.
故选：C
3．已知函数的部分函数值如下表所示：
那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（ ）
A．0.55B．0.57C．0.65D．0.7
【答案】B
【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
【详解】函数在R上单调递增，
由数表知：，
由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，
所以函数的一个零点的近似值为.
故选：B
4．已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出函数，，的图象，判断函数值相等时实数a、b、c的大小关系.
【详解】令，画出，，，图象可知：

当在①位置时，；
当在②位置时，；
当在③位置时，；
不可能成立.
故选：D
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式判断函数的符号，利用排除法选出答案.
【详解】由可知，当时，，故排除A；当时，，排除BD.
故选：C
6．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】由三角函数的定义可得：，
也即，由可得：
，解得：或（舍去），
因为角的终边过点，所以，则，
故选：.
7．已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设（），即，结合条件得到：，
再由的奇偶性和单调性得到：，即可求解.
【详解】由题意得，函数，
设（），则，
由，得，
又因为，
所以是上的奇函数，即，
又有，
因为是上的增函数，是上的增函数，
所以是上的增函数；
则，即，
整理得：，解得：或，
所以实数a的取值范围为，
故选：B.
8．已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得.
故选：A.
二、多选题
9．下列有关命题的说法正确的有（ ）
A．的增区间为
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若集合中只有两个子集，则
D．对于命题: 存在， 使得， 则: 任意， 均有
【答案】ABD
【分析】求出函数的增区间判断A；由充分条件、必要条件的定义判断B；由方程只有1个根求出k判断C；由存在量词命题的否定判断D作答.
【详解】对于A，函数中，由得，
又函数在上递增，而在上递增，因此在上递增，A正确；
对于B，当时，成立，而当时，或，
即“”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C，因集合中只有两个子集，则集合A含有1个元素，
即方程只有1个根，则或，解得，C不正确；
对于D，命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，则: 任意， 均有，D正确.
故选：ABD
10．下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．如果，是第一象限的角，且，则
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
【答案】AD
【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C，D作答.
【详解】对于A，是第一象限的角，即，则，
是第四象限的角，A正确；
对于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正确；
对于C，设扇形所在圆半径为r，则有，解得，扇形面积，C不正确；
对于D，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长，D正确.
故选：AD
11．已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．D．的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于函数对任意都有，
所以，所以是周期为的周期函数，
由于函数的图象关于对称，
所以的图象关于对称，所以是偶函数，A选项正确.
由，以替换，
得，所以关于对称，D选项正确.
所以，
，
所以，B选项正确.
由于对任意的，且，都有，
所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减，
由上述分析可知，，
所以，所以C选项错误.
故选：ABD
12．已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．最大值为8D．的最大值为6
【答案】BC
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，，
，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以A选项错误.
B选项，，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
D选项，，
整理得，，
当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
C选项，，
由D选项的分析可知：，所以C选项正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
三、填空题
13．已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数以及幂函数的单调性求得正确答案.
【详解】是幂函数，所以，
解得或，
当时，在区间上单调递减，不符合题意.
当时，在区间上单调递增，符合题意.
所以的值为.
故答案为：
14．计算 .
【答案】
【分析】利用对数的运算法则与换底公式计算即可得解.
【详解】
.
故答案为：.
15．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 .
【答案】
【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而求得的周长.
【详解】设扇形所在圆半径为，∴
如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,
，故，
所以最大的圆周长为.
故答案为：
16．给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若1n2是的一个“点”，则实数a的值为 ；若为“函数”，则实数a的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】（1）根据对数函数的概念可得，结合新定义函数可得，解之即可；
（2）根据新函数的定义可知当时，有，
当时，有，分别得和，结合指数函数的性质和基本不等式即可求解.
【详解】由题意知，当时，，
由新定义的函数知，，则，
有，即，
解得；
若函数为“函数”，则存在使得，
当时，，
，即，
得，即，得，
当且仅当即时等号成立.；
当时，，
，即，
得，
当且仅当即时等号成立.
所以a的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题
17．集合，，．
(1)求；
(2)若是的充分条件，且是的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将分式不等式转化为二次不等式求解，分别解得再进行交集运算即可；
（2）由条件得集合间的包含关系，由包含关系求参数范围.
【详解】（1）由，则，
由，则，
故；
（2）是的充分条件，则；
是的必要条件，即是的充分条件，则；
故,
由，，
则，解得,
故实数m的取值范围是.
18．已知关于的不等式对于恒成立．
(1)求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，，分别求出参数的取值范围，即可得解；
（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）当时，不等式恒成立，
当时，若不等式对于恒成立，
则，解得，
综上，的取值范围为．
（2），且，
，又，
①当，即时，则；
②当，即时，，不等式无解；
③当，即时，则，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为．
19．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】（1），解得或，
由于是第三象限角，所以，
所以
.
（2）由两边平方并化简得，
由于，所以，所以，
所以，
所以.
20．学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）．
(1)给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式；
(2)在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值．
【答案】(1)；
(2)最小值为250千元.
【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及求出k，再由销量的变化关系及函数模型选择函数的关系式，再代入计算作答.
（2）利用（1）的函数模型求出的表达式，再求出当时，的最小值作答.
【详解】（1）当时，由，得，即，（，），
因为，，则，而，即日销售量数据有增有减，
显然，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③，
将，代入模型③得：，解得，
所以模型③的函数解析式为.
（2）由（1）知，当时，， ，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，该产品日销售收入最小，最小值为250千元.
【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.
21．已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)或.
【分析】（1）利用奇偶性求，通过解方程组法可得；
（2）利用对数函数性质化简方程（去对数号），再换元设，转化为关于的方程只有一个大于0的根，然后分类讨论可得参数范围．
【详解】（1）因为，①
所以，
又因为函数为上的偶函数，为上的奇函数，
所以，②
由①②得，.
（2）若函数在上只有一个零点，
则在上只有一个根，
则在上只有一个根，
令，
则方程正根有且只有一个，
当，即或（舍）时，方程的根为，符合正根有且只有一个；
当且，即且，若正根有且只有一个，
则，解得：；
当时，方程的根为，符合正根有且只有一个；
综上所述：或.
22．已知函数.
(1)若函数在为增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，且对于，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据函数单调性定义得到对恒成立，再根据时，的取值范围为，即可得到答案.
（2）当时，的最小值为0，将题意转化为对任意恒成立，根据对数函数的定义得到，从而将题意转化为对任意恒成立，再根据指数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）设，且，则
因为函数在上为增函数，所以恒成立
又因为，所以，，
所以恒成立，即对恒成立.
当时，的取值范围为，
故，即实数取值范围为.
（2）因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为0，
所以由题意，可得对任意恒成立，
所以对任意恒成立.
①由有意义，得，即，.
又有意义，得，即，.
②由，
得，
即，
得对任意恒成立，
又，所以为减函数，
即：当，的最大值为，
所以，解得.
由①②得，实数的取值范围为.
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
－0.1065
0.2776
0.0897
－0.007