2023-2024学年重庆市第一中学高三上学期12月月考数学试题

这是一份2023-2024学年重庆市第一中学高三上学期12月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知p：双曲线C的方程为，q：双曲线C的渐近线方程为，则（ ）
A. p是q的充要条件B. p是q的充分不必要条件
C. p是q的必要不充分条件D. p是q的既不充分也不必要条件
3. ，，若，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设，，，则有（ ）
A. B.
C D.
5. 已知在四面体中，底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为，D为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A. 216种B. 384种C. 408种D. 432种
7. 已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A. 2023B. 2024C. D. 1012
8. 已知，，，，，则的最大值为（ ）
A. B. 4C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知左、右焦点分别为，的椭圆的长轴长为4，过的直线交椭圆于P，Q两点，则（ ）
A. 离心率
B. 若线段垂直于x轴，则
C. 的周长为8
D. 内切圆半径为1
10. 与二项式定理类似，有莱布尼兹公式：，其中（，2，…，n）为u的k阶导数，，，则（ ）
A. B.
C. D. ，则
11. 全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏高手．下列说法正确的有（ ）
A. 全球游戏高手占比不超过10%
B. 某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1%
C. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8%
D. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%
12. 已知定义在上的函数满足，，且实数对任意都成立（，），则（ ）
A. B. 有极小值，无极大值
C. 既有极小值，也有极大值D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13 已知数列满足，且，则______．
14. 已知的两共轭虚根为，，且，则______．
15. 已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
16. 正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为______．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师进行了调查．
附：，其中．
（1）完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；
（2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．
18. 如图，在直三棱柱中，，，E，F为上分别靠近C和的四等分点，若多面体的体积为40．
（1）求到平面的距离；
（2）求二面角的大小．
19. 已知数列满足，，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前n项的和．
20. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列．
（1）若，求角C；
（2）若的面积为S，求的取值范围．
21. 已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于．
（1）若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明；
（2）若三点共线，
①证明：为定值；
②求直线与夹角余弦值的最小值．
22. 已知
（1）当时，求过点的切线方程；
（2）若对，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
[参考不等式：]
2023年重庆一中高2024届12月月考
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】AC
【12题答案】
【答案】ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】3
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关
（2）
【18题答案】
【答案】（1）2； （2）.
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【20题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【21题答案】
【答案】（1）相切，证明见解析
（2）①； ②
【22题答案】
【答案】（1）；
（2）.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
喜欢看演唱会
不喜欢看演唱会
合计
文科老师
30
理科老师
40
合计
50