2023-2024学年重庆市第八中学高三上学期高考适应性月考（三）（11月）数学试题含答案

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1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 满分150分，考试用时 120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在复平面内， 对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的四则运算得到复数，然后得到对应的点的象限即可.
【详解】，
所以该复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，
故选：B
2. 已知 ， 则中的元素个数为（ ）
A. 3个B. 4个
C. 5个D. 6个
【答案】C
【解析】
【分析】通过列举,找到满足的的所有元素即可.
【详解】结合题意：满足的元素有：.
故选：C.
3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b，c，已知， 则csB=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理和二倍角公式计算即可.
【详解】结合题意：利用正弦定理得：,即,
解得：.
故选：D.
4. 设为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，且，则的面积为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先根据双曲线方程得到和焦点坐标，再根据结合三线合一得到，最后根据面积公式计算即可.
【详解】如图所示，
，
作中点，由可知
所以，且双曲线渐近线方程为，
因为双曲线渐近线具有对称性，取，
又因为，所以，所以，
所以，
故选：C
5. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量.
【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，
则，
设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，设其体积为，
则，则，
所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为.
故选：D.
6. 重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为 ，周二去味园的概率为 ，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的概率的2倍，则小唐同学周一、周二都去味园的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解.
【详解】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，则“小唐同学周一、周二都去味园”为事件AB，
由题意可知：，且，
由全概率公式可知：，
即，解得，
所以.
故选：A
7. 在平面直角坐标系中，已知圆，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，已知直线关于直线对称，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题目意思画出图像，结合图像和条件关于直线对称得到，再求出，最后根据二倍角公式求解即可.
【详解】如图所示，
，
设直线分别交轴于点，连接，
因为是圆的两条切线，所以≌，
所以，
又因为直线关于直线对称，所以，
所以，即，
所以为点到直线的距离，即，
又且，所以，
所以，
所以，
故选：B
8. 已知函数（且）， 若函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到，故函数与除了0外，没有其他交点，分和两种情况，结合特殊点的函数值和切线方程，得到答案.
【详解】当时，，
故除0外没有其他零点，
即函数与除了0外，没有其他交点，
若，画出与的图象，如下：
因为，故与在内有交点，不合要求，舍去；
若时，画出与的图象如下：
假设为在的切线方程，
，当时，，
故在的切线方程为，
令，解得，
结合函数图象，要想函数与除了0外，没有其他交点，
则
故选：A
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，分别是上的奇函数和偶函数，且当时，单调递增，单调递减，．则当时（ ）
A. 单调递增B. 单调递增
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质判断即可.
【详解】因为，分别是上的奇函数和偶函数，且当时，单调递增，单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调不确定，故A正确，B错误；
又，，所以当时，，
所以，，故C正确，D错误；
故选：AC
10. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为1rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为3rad/s，起点为射线与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出点的初始位置的坐标，设经过s后，Q与P重合，得到方程，求出，从而分为偶数和奇数两种情况，得到答案.
【详解】点的初始位置的坐标为，且钝角
设经过s后，Q与P重合，坐标均为，
则，解得，
当为偶数时，Q的坐标为，C正确；
当为奇数时，Q的坐标为，即，B正确；
AD均不对，
故选：BC
11. 已知等差数列 的首项为，公差为，前项和为，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 使得成立的最大自然数
C. D. 中最小项为
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合题意：利用等差数列及，判断出，并可以分析出，再利用数列的相关知识即可判断.
【详解】根据题意：即两式相加，
解得：，故A正确
由，可得到，所以，
，，
所以，故C正确；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B错误.
当，或时，；当时，；
由，,
所以中最小项为，故D正确.
故选：ACD.
12. 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点． 已知椭圆 其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，直线l与椭圆 C相切于点 P，过点 P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点 M，点，若| 的最大值为7，则（ ）
A. 椭圆C的离心率为
B. 若的内切圆半径为 则
C. 若 则
D. 若 垂足为，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，结合椭圆定义及三角形不等式即可求解；对B，应用等积法及向量数量积即可求解；
对C，应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解.
【详解】由，
当且仅当三点共线时取得等号，
解得，则椭圆方程为，则，A错误；
对B，的内切圆半径为 ，
则，
解得，根据对称性不妨设在第一象限，
由，解得，则，
则，即，B正确；
由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线，
则，
则，则，
则，
则，
则,
,解得或，C错误；
对D，如图，延长交于点，
则在中，，
则且为中点，
在中，，
则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，D正确.
故选：BD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 20次． 表示抽到的次品的件数，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得服从二项分布，结合二项分布的方差公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，服从二项分布，即，
则.
故答案为：
14. 已知向量，且，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】依题意可得，将上式两边平方，根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，所以，
即，所以，
所以.
故答案为：
15. 已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则____________________．
【答案】##
【解析】
【分析】联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，由及勾股定理得出等量关系计算即可.
【详解】易知设，
联立直线与抛物线方程得，，
所以的纵坐标，
又，
所以.
故答案为：
16. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列 称为“牛顿数列”．若函数 ，数列 为牛顿数列，设 已知，， 则____________，数列的前项和为，若不等式 对任意的恒成立，则的最大值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出函数的导函数，即可得到，再由求出，即可求出，从而求出，又，则，即可求出的通项公式与，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质求出，即可得解.
【详解】因为，则，则，
由，，所以，解得，所以，
所以，
由，所以，
所以，即数列是以为首项、为公比的等比数列，
所以，，
因为对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，
令，，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，且，，
所以，所以最大值为.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到，从而得到，求出数列的通项公式，最后参变分离转化为求.
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知函数，为的零点， 是图象的对称轴．
（1）求；
（2）若上单调，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的对称性计算可得；
（2）首先求出的范围，结合（1）即可得到的值，再求出.
【小问1详解】
依题意，，，，
所以，，，
所以，，，
因为，所以，.
【小问2详解】
因为在上单调，且为零点，
所以，
所以，又，解得，
所以，
所以，又，，
解得，，
因为，所以.
18. 已知公比不为1的等比数列的前n项和为，且成等差数列．
（1）求数列的公比；
（2）是否存在r，s， 且 使得成等差数列？若存在，求 出r，s，t的关系； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）;
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用成等差数列和是等比数列,建立方程，求出公比即可；
（2）先假设存在,通过对数列求和，验证为等差数列矛盾，从而说明不存在.
【小问1详解】
结合题意：成等差数列，所以，
由是等比数列，所以，
整理得，解得：（舍去），或.
【小问2详解】
假设存在r，s， 且 使得成等差数列
由（1）可知，所以，
因为成等差数列，所以
，
即，整理的：，在上式两边同时除，
得到：，观察可知左边为偶数，右边奇数，不成立.
故不存在互不相等的正整数r，s， 且 使得成等差数列.
19. 在入室盗窃类案件中，出现频率最高的痕迹物证之一就是足迹． 负重行走对足迹步伐特征影响的规律强，而且较为稳定． 正在行走的人在负重的同时，步长变短，步宽变大，步角变大． 因此， 以身高分别为170cm， 175cm， 180cm的人员各 20名作为实验对象，让他们采取双手胸前持重物的负重方式行走，得到实验对象在负重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg状态下相对稳定的步长数据平均值． 并在不同身高情况下，建立足迹步长s(单位：cm)关于负重x(单位：kg)的三个经验回归方程． 根据身高 170cm组数据建立线性回归方程①： ；根据身高 175cm组数据建立线性回归方程②： 根据身高 180cm 组数据建立线性回归方程③： ．
（1）根据身高 180cm组的统计数据，求，的值，并解释参数的含义；
（2）在一起盗窃案中，被盗窃物品重为9kg，在现场勘查过程中，测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值为4.464cm，推测该名嫌疑人的身高，并说明理由．
附： ．为回归方程， ，，，
【答案】19. ，，参数的含义详见解析
20. 嫌疑人身高为175cm，理由详见解析
【解析】
【分析】（1）根据回归直线相关公式计算可得；
（2）根据参数的几何意义计算即可判断.
【小问1详解】
由题意可知：，，，
所以，；
的含义表示，负重每增加足迹步长减少.
【小问2详解】
设被盗窃物品重为9kg时，身高170cm的步长误差为，高175cm的步长误差为，高180cm的步长误差为，
由题意可得，，，，
因为与测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值最接近，
所以犯罪嫌疑人身高为175cm.
20. 如图， 已知 ABCD 和 ADEF 均为直角梯形，AD//BC，AD//EF， AB=BC=3，二面角 E-AD-C的平面角为

（1）求证：
（2）若点 M 为 DC的中点，点 G 在线段 BM上，且直线AD 与平面AFG 所成的角为 求点 G 到平面E DC的距离．
【答案】（1）见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）由二面角的平面角为，及，再由余弦定理求出EC，即可；
（2）建立空间直角坐标系，设，则，
由直线AD与平面AFG所成角为，求出，即可求解.
【小问1详解】
证明：由题意知，，
得二面角的平面角为，
过点F作DE的平行线交AD于点H，则，
故，
过B作DC的平行线交AD于点T，则，
得，故，
在中，由余弦定理得，，
故.
【小问2详解】
解：连接EM，由(1)知，，又因平面DEC，
故，，则有，
而，故，
以点M为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示：

则，
设，则，
，
设平面AFG的法向量为，
则有，
令，则，
又因为直线AD与平面AFG所成角为，
则，
则，
故，
则，得，
因为平面EDC平面ADCB，过G作于点N，
则，
故点G到平面EDC距离为.
21. 已知函数是的导数， 证明：
（1）在上有唯一的极大值点；
（2）在上有且仅有两个零点．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出导函数，构造，判定的单调性结合零点存在性定理可证；
（2）分区间讨论函数的零点情况，将两个零点确定在区间，结合（1）的结论及零点存在性定理计算即可.
【小问1详解】
易知，
令，
易知在上单调递减，
时，，则此时单调递增，
故在上单调递减，
又，
所以，使得，
即在上单调递增，在上单调递减，此时有极大值；
【小问2详解】
当，
且第一次时，，而单调递增，
因此可知时，恒成立，此时函数无零点，
当时，显然，此时有一个零点，
当时，
由（1）可知，使得在上单调递增，
在上单调递减，有极大值，
因为，
则使得，即在上单调递增，在上单调递减，
易知，
由可知，
而，所以，使得，
综上所述，在上有且仅有两个零点.
【点睛】难点点睛：本题第二问难点在于分区间讨论零点的情况，由三角函数的有界性，可知时，恒成立，从而把零点确定在区间上，结合（1）的结论判定函数的单调性，利用零点存在性定理及端点的函数值证明即可.
22. 已知双曲线C： 的左右焦点分别为 点 若双曲线 C的实轴长为 且
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）点 P(2， 1)， A，B 为双曲线 C上两点， 点 Q 在直线 上， 轴，Q为AM 的中点，若P，B，M三点共线，问直线AB 是否过定点，如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由．
【答案】22. ;
23. 直线AB过定点，定点为.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件利用待定系数法解出，即可得出双曲线方程;
（2）设出直线AB，利用P，B，M三点共线，借助韦达定理，找到的关系，进而求得定点.
【小问1详解】
设，
结合题意可得：，解得：，
所以双曲线 C 的方程：.
【小问2详解】
由题意可知该直线的斜率存在,
设直线的方程为：，并且设，.
联立,消元得：，
所以①②
结合题意轴，点 Q 在直线 上可得：，
因为Q为AM 的中点，易知，
因为P，B，M三点共线，所以共线，即
化简整理得：，
将①②代入上式：.
整理得：，所以或.
即或.
当时，直线的方程为：,此时经过定点；
当时，直线的方程为：，此时经过定点与重合(舍去).
故直线AB 过定点.
身高 180cm不同负重情况下的步长数据平均值
负重x/kg
0
5
10
15
20
足迹步长s/cm
74.35
73.50
71.80
68.60
65.75