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重庆市第八中学2023-2024学年高三上学期适应性月考卷（四）数学试题
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这是一份重庆市第八中学2023-2024学年高三上学期适应性月考卷（四）数学试题，共10页。试卷主要包含了已知函数，则不等式的解集是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则A的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
2．若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，为边上的中线，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图1所示，则以下结论错误的是（ ）
图1
A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
5．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的图象关于点对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图2，已知圆锥的轴截面为正三角形，底面圆O的直径为2．E为线段的中点，C是圆O上异于A，B的一点，D为弦的中点，则（ ）
图2
A．平面B．平面平面
C．线段长度的取值范围为D．三棱锥体积的最大值是
10．设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数及其导函数的部分图像如图3所示，则（ ）
图3
A．在上有极小值B．在上有极大值
C．在时取极小值D．在时取极小值
12．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n次，每次发射信号“1”的概率均为p．记发射信号“1”的次数为X，记X为奇数的概率为，X为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A．当，时，
B．时，有
C．当，时，当且仅当时概率最大
D．时，随着n的增大而增大
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为________．
14．已知数列满足，，若，则数列的前2023项之和为________．
15．知函数在上存在递增区间，则实数a的取值范围为________．
16．已知，分别是椭圆的左、右焦点，P点是直线上一动点，当P点的纵坐标为时，最大，则椭圆C的离心率为________．
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知正项等比数列的前n项和为，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前25项和．
18．（本小题满分12分）
在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图4甲是由梯形，组成的一个平面图形，其中，，，，．如图乙，将其沿，折起使得与重合，连接，直线与平面所成角为60°．
图4
（1）证明：；
（2）求图乙中二面角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知函数满足．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求a．
21．（本小题满分12分）
混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪强度y不易测定，工程中希望建立一种能由x推算y的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为，，…，．
以成对数据的抗压强度x为横坐标，抗剪强度y为纵坐标作出散点图，如图5所示．
图5
（1）从上表中任选2个成对数据，求该样本量为2的样本相关系数r．结合r值分析，由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系？
（2）根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：①，②．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为，，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为，，经验回归方程①的决定系数，求经验回归方程②的决定系数．
附：相关系数，决定系数，．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，抛物线，圆，F为抛物线E的焦点，过F作圆M的切线，切线长为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知A，B，C是抛物线E上的三点，A不与坐标原点重合，直线，与圆M相交所得的弦长均为3，直线与直线垂直，求A的坐标．
参考答案
1-8 BBAD DCAC 9-12 ABC AD BC BCD
13-16 1010
17．解：（1）设正项等比数列的公比q，则，
由得，则（舍负），又，得，解得，所以．
（2）由（1）得，
则
．
18．解：（1）因为，
所以。
所以，
所以，
所以．因为在中，，
所以，
所以．
（2）在中，，
，
因为，杀，C为锐角，
故，故，令，
则在时为单调递增，所以．
19．（1）证明：由图1甲，，可得图乙中，
又，，所以平面
则直线与平面所成角为，
所以在中，，，
故有，．
在甲中作，则，，
故，，，则有，即．
（2）解：在乙中作于O，由（1）知，平面，平面，故，又因为，故平面，且由（1）知，则可以O为坐标原点，，的方向分别为x，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，平面法向量可以记为，
设平面的法向量为，则有
可取，记二面角的平面角为，则，
故．
20．解：（1）因为，
令，则，
令，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由题意在区间上恒成立，即恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，只需
因为，令，，
有，
所以函数在上单调递减，所以，即，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数a的取值范围为．
21．解：（1）不妨设选择的成对数据分别为，，则
．又由表格数据得，当时，，则．因为任意两个样本点都在一条直线上，则样本量为2的样本相关系数绝对值都是1（在样本相关系数存在的情况下），显然据此推断两个变量完全线性相关是不合理的．
样本相关系数可以反映变量之间相关的正负性及线性相关的程度，但由于样本数据的随机性，样本相关系数往往不能确切地反映变量之间的相关关系．一般来说，样本量越大，根据样本相关系数推新变量之间相关的正负性及线性相关的程度越可靠，而样本量越小，则越不可靠．
（2）（ⅰ）（直线经过数据的中心）．
（ⅱ）∵，∴，
则，
越大，越接近于1，则模型的拟合效果越好，因此经验回归方程②的拟合效果更好，为最优模型．
22．解：易知，，故．
故切线长，解得，
故抛物线．
（2）已知A，B，C为抛物线上三点，设，，．
则直线：，
圆心M到直线的距离，直线与圆M相交所得的弦长为，
故，即，即．
化简得，同理，．
即b，c是方程的两根，故，
故直线的斜率，
，且A点不与坐标原点重合，故直线的斜率，
直线与直线垂直，故，即，
解得，即A点坐标为或．
x
141
152
168
182
195
204
223
254
277
y
23.1
24.2
27.2
27.8
28.7
31.4
32.5
34.8
36.2
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则A的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
2．若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，为边上的中线，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图1所示，则以下结论错误的是（ ）
图1
A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
5．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的图象关于点对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图2，已知圆锥的轴截面为正三角形，底面圆O的直径为2．E为线段的中点，C是圆O上异于A，B的一点，D为弦的中点，则（ ）
图2
A．平面B．平面平面
C．线段长度的取值范围为D．三棱锥体积的最大值是
10．设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数及其导函数的部分图像如图3所示，则（ ）
图3
A．在上有极小值B．在上有极大值
C．在时取极小值D．在时取极小值
12．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n次，每次发射信号“1”的概率均为p．记发射信号“1”的次数为X，记X为奇数的概率为，X为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A．当，时，
B．时，有
C．当，时，当且仅当时概率最大
D．时，随着n的增大而增大
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为________．
14．已知数列满足，，若，则数列的前2023项之和为________．
15．知函数在上存在递增区间，则实数a的取值范围为________．
16．已知，分别是椭圆的左、右焦点，P点是直线上一动点，当P点的纵坐标为时，最大，则椭圆C的离心率为________．
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知正项等比数列的前n项和为，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前25项和．
18．（本小题满分12分）
在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图4甲是由梯形，组成的一个平面图形，其中，，，，．如图乙，将其沿，折起使得与重合，连接，直线与平面所成角为60°．
图4
（1）证明：；
（2）求图乙中二面角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知函数满足．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求a．
21．（本小题满分12分）
混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪强度y不易测定，工程中希望建立一种能由x推算y的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为，，…，．
以成对数据的抗压强度x为横坐标，抗剪强度y为纵坐标作出散点图，如图5所示．
图5
（1）从上表中任选2个成对数据，求该样本量为2的样本相关系数r．结合r值分析，由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系？
（2）根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：①，②．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为，，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为，，经验回归方程①的决定系数，求经验回归方程②的决定系数．
附：相关系数，决定系数，．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，抛物线，圆，F为抛物线E的焦点，过F作圆M的切线，切线长为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知A，B，C是抛物线E上的三点，A不与坐标原点重合，直线，与圆M相交所得的弦长均为3，直线与直线垂直，求A的坐标．
参考答案
1-8 BBAD DCAC 9-12 ABC AD BC BCD
13-16 1010
17．解：（1）设正项等比数列的公比q，则，
由得，则（舍负），又，得，解得，所以．
（2）由（1）得，
则
．
18．解：（1）因为，
所以。
所以，
所以，
所以．因为在中，，
所以，
所以．
（2）在中，，
，
因为，杀，C为锐角，
故，故，令，
则在时为单调递增，所以．
19．（1）证明：由图1甲，，可得图乙中，
又，，所以平面
则直线与平面所成角为，
所以在中，，，
故有，．
在甲中作，则，，
故，，，则有，即．
（2）解：在乙中作于O，由（1）知，平面，平面，故，又因为，故平面，且由（1）知，则可以O为坐标原点，，的方向分别为x，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，平面法向量可以记为，
设平面的法向量为，则有
可取，记二面角的平面角为，则，
故．
20．解：（1）因为，
令，则，
令，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由题意在区间上恒成立，即恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，只需
因为，令，，
有，
所以函数在上单调递减，所以，即，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数a的取值范围为．
21．解：（1）不妨设选择的成对数据分别为，，则
．又由表格数据得，当时，，则．因为任意两个样本点都在一条直线上，则样本量为2的样本相关系数绝对值都是1（在样本相关系数存在的情况下），显然据此推断两个变量完全线性相关是不合理的．
样本相关系数可以反映变量之间相关的正负性及线性相关的程度，但由于样本数据的随机性，样本相关系数往往不能确切地反映变量之间的相关关系．一般来说，样本量越大，根据样本相关系数推新变量之间相关的正负性及线性相关的程度越可靠，而样本量越小，则越不可靠．
（2）（ⅰ）（直线经过数据的中心）．
（ⅱ）∵，∴，
则，
越大，越接近于1，则模型的拟合效果越好，因此经验回归方程②的拟合效果更好，为最优模型．
22．解：易知，，故．
故切线长，解得，
故抛物线．
（2）已知A，B，C为抛物线上三点，设，，．
则直线：，
圆心M到直线的距离，直线与圆M相交所得的弦长为，
故，即，即．
化简得，同理，．
即b，c是方程的两根，故，
故直线的斜率，
，且A点不与坐标原点重合，故直线的斜率，
直线与直线垂直，故，即，
解得，即A点坐标为或．
x
141
152
168
182
195
204
223
254
277
y
23.1
24.2
27.2
27.8
28.7
31.4
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