吉林省长春市榆树市2024—-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

这是一份吉林省长春市榆树市2024—-2025学年九年级上学期10月期中数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞－1B．x≥－1C．x≠－1D．x≤－1
2．下列线段中，能成比例的是（ ）
A．3cm、6cm、8cm、9cmB．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cmD．3cm、6cm、9cm、18cm
3．如图，已知直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且．若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则EF的长为（ ）
A．3B．6C．4D．5
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
6．若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值（ ）
A．±2B．2C．－2D．不能确定
7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG．以下结论正确的是（ ）
①AC⊥BE；
②△BCG∽△GAD；
③点F是线段CD的黄金分割点；
④．
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．写出一个最简二次根式______．
10．若关于x的一元二次方程的一个根为－1，则另一个根为______．
11．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是3，则四边形DBCE的面积是______．
（第11题）
12．已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝2，则AG的长为______．
13．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中x的值为______．
（第13题）
14．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB边交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是______．
（第14题）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（5分）计算：．
16．（6分）解方程：．
17．（6分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；
（2）在图③中，以O为位似中心，画一个，使它与△ABC的位似比为2：1．
18．（7分）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求m的值；
（2）用配方法解这个方程．
20．（8分）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度AH，立两根高3米的标杆BC和DE，并且建筑AH、标杆BC和DE在同一竖直平面内，两杆之间的距离BD＝19米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，从F点观测A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G点观测A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，计算该建筑物的高度AH的长．
21．（8分）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1：；
例2：，，；
利用以上结论解答以下问题：
（1）______；______；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）；
（3）利用上面结论，求的值．
22．（9分）专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
23．（10分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么______秒后，PQ的长度等于cm？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于？
（3）几秒后△PBQ与△ABC相似？
24．（12分）华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．找出图中所有的相似三角形，并说明理由．
（1）动手实践：张老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮助同学们回忆基本尺规作图：“过直线外一点作已知直线的垂线”，据此可以作AB边上的高，于是发动同学们在练习本上进行作图．现在请你利用尺规作图作AB边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）独立思考：请写图中所有的相似三角形：______；
（3）习题反思：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，可以写出下列三个结论：
①，②，③．
（Ⅰ）请你按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明；
（Ⅱ）小亮研究“小明的发现”时，又惊喜地发现：竟然可以利用“它”来证明“勾股定理”，请你按照小亮的思路完成这个证明．
榆树市2024—2025学年度第一学期期中质量监测九年级数学
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．B；2．D；3．A；4．D；5．B；6．B；7．A；8．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．；10．2；11．9；12．；13．1m；
14．（0，3）或或（4，0）．
三、解答题：（本大题共10小题，共78分）
15．解：原式．（5分）
16．解：，，
∴，，
∴，．（6分）
17．解：（1）如图②，△DFE为所作；（3分）
（2）如图③，为所作．（6分）
18．（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，（1分）
∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，（2分）
∴∠C＝∠DBE，（3分）
∴△ABC∽△DEB；（4分）
（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴，（5分）
∴，（6分）
∴BD＝3．（7分）
19．解：（1）根据一元二次方程的定义可得，（2分）
解得m＝1；（3分）
（2）当m＝1时，方程为，
两边同除以2得：，
配方，得：，
即：，
直接开平方，得：，
解得，．（7分）
20．解：由题意，得：AH⊥HG，CB⊥HG，∴BC∥HA，∴△AHF∽△CBF，（1分）
∴，（2分）
同理，△EDG∽△AHG，，（3分）
又∵BC＝DE＝3米，∴，（4分）
∵BF＝5米，BD＝19米，DG＝6米，∴HF＝HB＋BF＝HB＋5．
∴HG＝HB＋BD＋DG＝HB＋19＋6＝HB＋25．
，（6分）
解得：HB＝95，
，（7分）
解得：AH＝60．
答：该建筑物的高度AH为60米．（8分）
21．解：（1）；．（2分）
（2）由题可知：．（4分）
（3）利用第2小问结论得，
原式；
；
；
；
．（8分）
22．解：（1）（20＋2x）；（40－x）；（2分）
（2）根据题意，得：（20＋2x）（40－x）＝1200，解得：，，
∵要扩大销售量，∴x＝20，（5分）
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）不能，理由如下：
（20＋2x）（40－x）＝2000，整理，得：，
∵，∴此方程无实数根，
故不可能做到平均每天盈利2000元．（9分）
23．解：（1）3；（3分）
（2）设经过x秒以后，△PBQ面积为（0＜x≤3.5），
此时AP＝xcm，BP＝（5－x）cm，BQ＝2xcm，
由，得，整理得：，
解得：x＝1或x＝4（舍）；（6分）
答：1秒后△PBQ的面积等于；
（3）当△PBQ∽△ABC时，，∴，解得，；
当△QBP∽△ABC时，，∴，解得，，
综上，s或s后△PBQ与△ABC相似．（10分）
24．（1）解：图形如图所示：（3分）
（2）△ADC∽△CDB；△ADC∽△ACB；△CDB∽△ACB；（6分）
（3）（Ⅰ）证明：∵△ACD∽△CBD，∴，
∴．（9分）
（Ⅱ）证明：∵，，
∴．
∴．（12分）
备注：1．采用本参考答案以外的解法，只要正确均按步骤给分．
2．以上答案如有问题请自行更正！