2023-2024学年广东省佛山市顺德区第一中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区第一中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用点到直线的距离即可.
【详解】直线，即，
直线与轴平行，
点到直线的距离：.
故选：B.
【点睛】本题考查点到特殊直线的距离，属于基础题.
2．圆的周长等于( )
A．πB．2πC．4πD．2π
【答案】D
【详解】分析：将圆的一般式方程化成标准方程，得，由此可得圆的半径，再由圆的周长公式即可求出该圆的周长.
详解：圆的一般方程为，
将圆化成标准方程得.
由此可得圆的圆心为，半径，
因此该圆的周长为.
故选D.
点睛：本题考查将圆的一般方程转化成标准方程，从而得到圆心和半径，属于基础题.
3．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．4
【答案】B
【分析】将椭圆方程化为标准形式，再由条件列方程求的值.
【详解】椭圆化为标准方程为，故，
因为焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，
所以，
故选：B.
4．若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可.
【详解】设焦点为，则，解得．

故选：D
5．过点P（2，3），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是（ ）
A．3x－2y＋12＝0B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0D．2x－3y＋13＝0
【答案】B
【分析】设直线的截距式方程，根据题中的条件求解方程中的参数即可得出答案.
【详解】设直线方程为，根据题意可得，，
解得
于是所求直线的方程为，即，选项B正确
故选：B.
6．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据黄金双曲线的定义，结合双曲线离心率公式列方程求参数a即可.
【详解】由题意，则，
所以.
故选：B
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若点满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－，]B．[－，]C．[－，]D．[－，]
【答案】D
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，利用向量数量积建立不等式求解.
【详解】因为椭圆的焦点，，
所以，，
因为，
所以，解得，
故选：D
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得，即可求出，再由，即可得到，由余弦定理求出，即可得到，再根据，即可得到、的关系，即可得解；
【详解】解：由，即，又，且，
解得或（舍去），
由且为的中点，知，
∴，
∴，∴，又，
∴，∴渐近线方程为.
故选：A
二、多选题
9．对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
10．直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．直线过定点
B．时，直线平分圆
C．时，为等腰直角三角形
D．时，弦最短
【答案】AD
【分析】对A，根据定点的定义判断即可；
对B，判断当时，直线是否经过圆的圆心即可；
对C，当时，可根据直线过圆心判断；
对D，根据直线过定点，在圆内，故当弦最短时，与直线垂直判断即可
【详解】对A，因为当时，恒成立，故直线过定点，故A正确；
对B，当时，，圆的圆心为不满足，故此时直线不过圆的圆心，故直线不平分圆，故B正确；
对C，当时，经过圆的圆心，故无，故C错误；
对D，因为直线过定点，，故在圆内，故当弦最短时，与直线垂直.因为时，直线的斜率为，直线的斜率为1，故与直线垂直成立，故D正确；
故选：AD
11．设椭圆：的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，过点的直线与椭圆交于A、B两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的范围是B．存在点，使
C．弦长的最小值为3D．面积的最大值为
【答案】AC
【分析】对于选项A，利用两点间距离公式表示出后可得答案.
对于选项B，问题等价于以为直径的圆与椭圆C是否有交点.
对于选项C，将直线AB方程与椭圆C方程联立，通过弦长公式得答案.
对于选项D，分析面积表达式可得答案.
【详解】由题，设椭圆半焦距为c，则.
则，.
对于选项A，设为椭圆上任意一点.则.注意到，
则.得，
又注意到，则.
当P为椭圆左顶点，即时，最小为
当P为椭圆右顶点，即时，最大为，故A正确.
对于选项B，若存在点，使，则P在以为直径的圆上.
则点P存在等价于上述圆与椭圆有交点，又圆的方程为.
则点P存在等价于有解，消去得.
则方程组无解，故相应的P不存在，B错误.
对于选项C，设直线AB方程为，将其与椭圆方程联立得，消去x
有，设，又
则.故
.
当时，即AB垂直于x时，最小为3，故C正确.
对于选项D，设点.则，
故当P为椭圆上下顶点时，面积最大为.故D错误.
故选：AC
【点睛】结论点睛，本题考查椭圆中的常见结论，本题涉及的相关结论有（只考虑焦点在x轴上的情况.）:
（1）椭圆上的点到焦点的距离最短为（点为离焦点较近的左右顶点），最长为（点为离焦点较远的左右顶点）.
（2）若，椭圆上不存在点P，使;，这样的点P有两个;,这样的点有四个.
（3）过椭圆焦点的弦中，垂直于x轴的最短.
12．已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，上顶点为，且的面积为.双曲线与椭圆的焦点相同，且的离心率为，为与的一个公共点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】先由的面积为，得椭圆离心率，再在中用椭圆、双曲线定义分别表示离心率，由余弦定理建立等量关系，最后消元求解双曲线离心率.
【详解】的面积为，，解得，则，
为与的一个公共点，不妨设M在第一象限，
在中，设，
则由椭圆定义得，，即①，
由双曲线定义得，，即②，
又，则由余弦定理得，，
由①②得，，，代入上式化简得，，解得.
故，，，，AC正确，BD错误.
故选：AC.
【点睛】椭圆与双曲线的离心率是重要的几何性质，在焦点三角形中求解离心率问题，要注意定义的应用，即椭圆中，双曲线中.
三、填空题
13．抛物线的准线方程是，则实数 .
【答案】/
【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.
【详解】抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
14．已知圆C：，若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，求m的值为 ．
【答案】
【分析】由已知得出，再根据圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半列出关于r的等式，求出r即可得到m的值.
【详解】将圆C的方程化为标准方程为,
所以圆C的圆心为，半径为，
因为圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，
所以，
所以，即，解得．
故答案为：
15．若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
16．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断最小时最小，再设，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得最小值，即得结果.
【详解】解：如图，，
要使最小，则最大，即需最小.
设，则，
∴当，即时，，，
此时或，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于理解新定义，将的最小值问题转化为线段最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.
四、解答题
17．如图，已知三角形的三个顶点为，，，求：

(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上的高AD所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两点式求BC所在直线的方程；
（2）由垂直关系得斜率，点斜式求AD所在直线的方程.
【详解】（1）因为，，
所以直线BC的方程为，
化简得；
（2）因为，,
所以，
根据点斜式，得到直线AD的方程为，即.
18．已知圆C过点 ，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设直线与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设圆的方程，由题意列出方程组，解方程组求得答案；
（2）假设存在符合条件的实数a，可判断圆心 必在直线l上，结合直线l垂直平分弦AB，求得a,再利用直线交圆C于A，B两点，结合判别式求得a的范围，即可得出结论.
【详解】（1）设圆C的方程为，
则有，解得，
所以圆C的方程为，
化为标准方程，得．
（2）假设存在符合条件的实数a，由于直线l垂直平分弦AB，
故圆心 必在直线l上，所以直线l的斜率，
又，所以．
将与圆C的方程联立，
整理得，由于直线交圆C于A，B两点，
故，解得，与矛盾，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．
19．已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】（1）由题可知的值即可求出双曲线的标准方程；
（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.
【详解】（1）设双曲线方程为，
由条件知，，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）由双曲线的定义可知，．
∵，
∴，即
∴，
∴的面积．
20．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．

(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
(2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？
【答案】(1)
(2)的横坐标范围为即可逃脱.
【分析】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案.
（2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案.
【详解】（1）分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，，
设成功点，可得，即，
化简得，因为点M需在矩形场地内，
所以，故所求轨迹方程为．

（2）当线段FP与（1）中圆相切时，则，
所以，所以，
若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是．
21．已知中心在原点的椭圆的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点的坐标为，点，是椭圆上的两点点，，不共线，且，证明直线斜率存在时过定点，并求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；.
【分析】（1）根据抛物线的定义，得出椭圆焦点坐标，利用椭圆长轴长及椭圆中的关系即可求解；
（2）由题可设直线AB的方程，与椭圆方程联立利用韦达定理法，根据∠OHA=∠OHB得出，进而得出及直线AB恒过定点，再结合三角形的面积公式及基本不等式即可求解.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
∴E的焦点为，
又，
∴，又，
∴．
∴椭圆E的方程为．
（2）设直线AB的方程为（），，，
由得，，
，即，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
满足题意
直线恒过点，
，
令，则，
，又，
面积的取值范围是．
22．已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1） 由题意可得，解方程即可求出，即可得出的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，表示出的方程，两式相减可求出的横坐标为，所以为垂直平分线上一点，即可求出答案.
【详解】（1）解：因为过且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，
所以，①
因为的右焦点为，所以，②
联立①②可得，，
所以的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，易知，，，
所以.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立与，
得，
设，，
则，，恒成立，
由题可知，，
则的方程为，①
的方程为，②
②－①得，
因为，所以
，
所以
，
所以，所以的横坐标为，
又，，所以为垂直平分线上一点，所以.
综上，.