2023-2024学年北京市第一五六中学高二上学期期中测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第一五六中学高二上学期期中测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（ ）
A．(-1，-2，3)B．(-1，-2，-3)C．(-1，2，-3)D．(1，2，3)
【答案】D
【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可.
【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面xOy对称，则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，
所以点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为(1，2，3).
故选：D
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线方程，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角的大小.
【详解】由直线方程为，即斜率为，
若倾斜角为，则，故.
故选：B
3．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】因为所求直线与直线平行，可设所求直线方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，解得.
因此，所求直线方程为.
故选：C.
【点睛】结论点睛：已知直线的一般方程为.
（1）与直线平行的直线的方程可设为；
（2）与直线垂直的直线的方程可设为.
4．设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义即可得解.
【详解】因为椭圆，
所以，则，
因为，，
所以.
故选：B.
5．已知圆，直线，则直线被圆所截的弦长为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】设直线与圆交于两点，从点向直线作垂线，垂足为，连结，由点到直线的距离公式，可求出，再结合，可求出答案.
【详解】设直线与圆交于两点，从点向直线作垂线，垂足为，连结，
则，.
故选：C.
6．圆心在直线上且与轴相切于点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设所求圆的圆心坐标为，求出圆心坐标和半径，继而求出圆的方程.
【详解】解：根据题意：所求圆的圆心在直线上，
则设所求圆的圆心坐标为，
又由所求圆与轴相切于点，则圆心在直线上，则，
所求圆的半径，
故所求圆的方程为，
所以A正确，B，C，D错误.
故选：A
7．圆：与圆：的位置关系为（ ）
A．相交B．外切C．内切D．相离
【答案】A
【分析】根据圆心距与两圆半径之间的关系判断圆的位置系即可.
【详解】圆：为，即圆心为，半径为，
圆：为，即圆心，半径为，
因为圆心距，
所以，故两圆相交，
故选：A
8．“”是方程“表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据椭圆的性质，结合充要条件的定义即可求解.
【详解】若，则表示焦点在轴上的椭圆，
若表示焦点在轴上的椭圆，则，
所以“”是方程“表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，
故选：C
9．已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，点在圆上，利用圆的几何性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】由题意可得，即，即点在圆上，
，所以，原点在圆内，如下图所示：
圆的圆心为，半径为，
由三角不等式可得，即，
所以，B选项合乎要求.
故选：B.
【点睛】结论点睛：若点在圆内，为圆上一点，则.
10．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A．2B．4C．5D．8
【答案】B
【分析】根据直线的一般式方程以及截距式方程的概念求解.
【详解】当时，曲线方程为；
当时，曲线方程为；
当时，曲线方程为；
当时，曲线方程为；
作图如下，
所以围成图形是一个菱形，面积为.
故选：B.
11．如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，其中，所以，，因为，所以，所以，由可得，所以，则
，当时，取得最大值，所以.
故选：C
12．已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆的圆心为原点且与直线相切即得圆的方程，又，是它的切线，可知，一定在以为直径为圆心的圆上，即为两圆的公共弦，即可求出直线的方程，进而找到定点
【详解】依题意知，圆的半径且圆心为
∴圆的方程为
∵，是圆的两条切线
∴，，即，在以为直径的圆上
若设点的坐标为，，则线段的中点坐标为
∴以为直径的圆的方程为，，化简得，
∵为两圆的公共弦
∴直线的方程为，，即
∴直线恒过定点
故选：A
【点睛】本题考查了圆的切点弦过定点问题，首先根据已知条件求出两圆方程，由两圆过相同的两点，即有公共直线求出切点弦的直线方程，进而确定定点
二、填空题
13．若，，且，则 .
【答案】
【分析】根据向量共线的坐标关系即可求解.
【详解】由可得，所以
解得，故，
故答案为：
14．椭圆的离心率是 ．
【答案】
【分析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率.
【详解】在椭圆中，，，，
因此，椭圆的离心率是.
故答案为：.
15．若两条直线与互相垂直，则a的值为 .
【答案】4
【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解.
【详解】由题可知，.
故答案为：4.
三、双空题
16．如图，在正方体中，为中点，则与平面所成角的大小为 ；CD与AE所成角的余弦值为 .
【答案】 45°
【分析】由CD⊥，得是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的大小；由CD∥AB，得∠BAE是CD与AE所成角（或所成角的补角），由此能求出CD与AE所成角的余弦值．
【详解】在正方体中，E为中点，
∵CD⊥，
∴是与平面所成角，
∵CD＝，CD⊥，
∴＝45°，
∴平面与平面所成角的大小为45°；
∵CD∥AB，∴∠BAE是CD与AE所成角（或所成角的补角），
∵AB⊥，
在中
不妨设AB＝2，则，
∴CD与AE所成角的余弦值为．
故答案为：45°；．
四、填空题
17．已知圆，，．若圆上存在点使，则正数的值可以是 ．（写出一个满足条件的值即可）
【答案】（答案不唯一）.
【分析】设，根据题意得到，再根据的几何意义得到，从而得到答案.
【详解】圆，圆心，半径，
设，则，，
因为，所以，
即，
因为表示圆上点到原点的距离，
，
所以，即.
正数的值可以是（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
18．曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线过坐标原点；
②曲线关于轴对称；
③曲线与轴有3个交点；
④若点在曲线上，则的最小值为.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【分析】先设动点坐标为，根据题意构建关系，令，得知图象过原点，即判断①正确③错误；关系式中用代替，等式不变，即判断②正确；利用关系解出，再计算求解函数最值，即判断④正确.
【详解】设动点的坐标为，则．
①当时，，
∴曲线过坐标原点，故①正确；
②将中的用代替，该等式不变，
∴曲线关于轴对称，故②正确；
③令，则，故曲线与轴只有个交点，故③错误；
④∵，
∴，由解得，
∴若点在曲线上，则，当时等号成立，故④正确．
综上所述，所有正确的结论为①②④.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于求出动点的轨迹方程，才能利用方程研究性质，即突破难点.
五、解答题
19．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，Q为中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）合理建立以A为原点的空间直角坐标系，证明，即可证明；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（Ⅰ）证明：因为平面，
所以，又，
建立以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴的空间直角坐标系（如图）．
因为．
所以，
又Q为中点，所以．
所以，，
所以，
所以．
（Ⅱ）解：设平面的法向量为，
则因为，，
所以，
令，得，则．
∵，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
20．已知圆经过点，且______.
(1)求圆的方程；
(2)求以点为中点的弦所在直线的方程.
从以下两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答上面的问题.
①圆经过；②圆心在直线上；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别对条件①②讨论，结合题意设出圆的方程，待定系数法求解即可；
（2）先求出弦的中点与圆心所在直线的斜率，进而求出弦所在的直线的斜率，再求直线方程即可.
【详解】（1）选①：
设圆的方程为，
由题意得 解得
所以圆的方程为，即．
选②：
设圆的方程为，
由题意得 解得
所以圆的方程为．
（2）由（1）知圆心的坐标为，将点代入圆的方程，可得，则点在圆内，
因为弦的中点为，
弦的斜率，
则弦所在的直线方程为，即．
21．在平面直角坐标系中，已知点，过动点向轴作垂线，垂足为，.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线的倾斜角为，求直线的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由过动点向轴作垂线，垂足为，可得，继而由可得，列式化简即可得到动点的轨迹方程；
（2）由直线的倾斜角为，可得直线的斜率，结合，可得直线的斜率，结合点坐标，利用点斜式可得直线的方程.
【详解】（1）因为过动点向轴作垂线，垂足为，
所以，
又，所以，，
又，即，
所以可得,,化简可得，
因为与两点不重合所以
则动点的轨迹方程.
（2）因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率，
又，所以直线的斜率,
又点，所以直线的方程为,
即.
22．如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，.
(1)求证：BF∥平面CDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)存在点；
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；
（2）证得，，两两垂直，从而建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；
（3）设，求得平面的法向量为，若平面平面，则，从而解得的值，找到Q点的位置.
【详解】（1）取的中点，连结，，
因为，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，且,
又因为,且，所以,,
所以四边形是平行四边形，所以,
因为平面,平面，
所以平面；
（2）因为平面平面，平面平面，，
所以平面，平面，则，故，，两两垂直，所以以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
由，，得，
令，得.
所以.
如图可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
（3）结论：线段上存在点，使得平面平面.
证明如下：
设，
所以.
设平面的法向量为，又因为，
所以，，即，
若平面平面，则，即，
解得.所以线段上存在点，使得平面平面，
且此时.
23．已知椭圆的长轴是短轴的2倍，且右焦点为，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线与x轴分别交于点M，N，判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值4，理由见解析.
【分析】（1）根据题干条件得到，结合，求出，，得到椭圆方程；
（2）设出点坐标，根据等边三角形得到，再由，求出，从而得到等边三角形的边长；
（3）设出，，则，利用两点式表达出直线的方程，求出，，结合求出是定值4.
【详解】（1）长轴是短轴的2倍，且右焦点为,
所以，
因为，
所以，解得：，
故，
椭圆的标准方程为：；
（2）若点B在第一象限且为等边三角形，
设，，
则，
又，故，
该等边三角形的边长为；
（3）是定值4，理由如下：
因为P为椭圆E上异于B，C的任意一点，
所以直线的斜率存在，
设，，则，，，
则，
则直线，
令得：，则，
直线，
令得：，则，
所以
因为，
所以，
故，
故是定值，为4.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线与直线结合问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，结合题目信息，进行求解，本题中设出的未知数较多，需要结合椭圆方程用到消元思想，进行求解定值问题..