广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．如图,在空间四边形OABC中,,,,点M满足,点N为BC的中点,则( )
A.B.C.D.
3．给出以下命题：
①直线l的方向向量为,直线m的方向向量为,则l与m垂直;
②直线l的方向向量为,平面的法向量为,则;
③平面的法向量分别为,则;
④平面经过三个点,,向量是平面的法向量,则.
其中正确命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
4．已知在多项选择题的四个选项A,B,C,D中,有至少两项且至多三项符合题目要求.规定：全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.若某题的正确答案是CD,某考生随机选了至少一个选项且至多三个选项,则该考生能得分的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知,,,则向量在上的投影向量的坐标是( )
A.B.C.D.
6．已知圆C的半径为2,圆心在直线上.点,.若圆C上存在点P,使得,则圆心C的横坐标a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．已知F为椭圆的右焦点,P为C上一点,Q为圆上一点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为,,点A在C的过第二、四象限的渐近线l上,且,若,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线和直线,下列说法正确的是( )
A.当时,
B.当时,
C.直线过定点,直线过定点
D.当,平行时,两直线的距离为
10．已知100个零件中恰有3个次品,现从中不放回地依次随机抽取两个零件,记事件“第一次抽到的零件为正品”,事件“第二次抽到的零件为正品”,事件“抽到的两个零件中有正品”,事件“抽到的两个零件都是次品”,则( )
A.B.
C.D.
11．如图,在正四棱柱中,,点P为线段上一动点,则下列说法正确的是( )
A.直线平面
B.三棱锥的体积为
C.三棱锥外接球的表面积为
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．已知圆,一条光线从点射出经x轴反射,下列结论正确的是( )
A.圆C关于x轴对称的圆的方程为
B.若反射光线平分圆C的周长,则入射光线所在直线为
C.若反射光线与圆C相切于A,与x轴相交于点B,则
D.若反射光线与圆C交于M,N两点,则面积的最大值为
三、填空题
13．已知点,直线l过点,且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为________________.
14．设圆,直线l经过原点且将圆C分成两部分,则直线l的方程为______________.
15．若曲线是双曲线,则其焦距为_____________.
四、双空题
16．平行六面体中,,,,则______________;若动点P在直线上运动,则的最小值为_____________.
五、解答题
17．直角的斜边AC中点为,AB边所在直线的方程为,AC所在直线的方程为.
(1)求点C的坐标;
(2)求BC边所在直线的方程.
18．如图,在多面体ABCDEF中,,,四边形BCEF是矩形,,,点P在线段BF上且.
(1)求证：;
(2)求直线DE与平面ACP所成角的正弦值.
19．某校为丰富教职工业余文化活动,在教师节活动中举办了“三神杯”比赛,现甲乙两组进入到决赛阶段,决赛采用三局两胜制决出冠军,每一局比赛中甲组获胜的概率为,且甲组最终获得冠军的概率为（每局比赛没有平局）.
(1)求p;
(2)已知冠军奖品为28个篮球,在甲组第一局获胜后,比赛被迫取消,奖品分配方案是：如果比赛继续进行下去,按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球,请问按此方案,甲组、乙组分别可获得多少个篮球?
20．如图,某野生保护区监测中心设置在点O处,正西、正东、正北处有3个监测点A,B,C,且,一名野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号,3个监测点均收到求救信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)若C点信号失灵,现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描,为保证有救援希望,扫描半径r至少是多少千米？
21．如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为4的菱形,,AC与BD交于点O,平面ABCD,,.
(1)求证：平面平面ABCD;
(2)若,点Q为AE的中点,求二面角的余弦值.
22．已知抛物线的焦点为F.过焦点F的直线与抛物线交于A,B,的最小值为12.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点F的另一直线与曲线相交于C,D两点,,,且与的面积的和为,求直线l的斜率.
参考答案
1．答案：C
解析：将直线化为斜截式方程为,斜率.
设直线的倾斜角为,则.
又,所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：在空间四边形OABC中,,点N为BC的中点,
则
.
故选：B.
3．答案：B
解析：①因为,所以直线l与m垂直,正确;
②因为,所以直线平面,或直线l在平面内,错误;
③若,则,所以,此方程组无解,所以平面不平行于平面,错误;
④由,,得,,因为是平面的法向量,
所以,解得,即,正确.
故选：B.
4．答案：C
解析：考生做多项选择题的试验的不同结果有：A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,共14个,
该考生能得分的事件M含有的结果有：C,D,CD,共3个,
所以该考生能得分的概率.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为,,,
所以,
所以,,
,
所以向量在上的投影向量是,
所以向量在上的投影向量的坐标是,
故选：D.
6．答案：D
解析：依题意设圆心,则圆,
设,则,,
由,则,即,
依题意即圆C与圆有交点,则,解得,
即圆心C的横坐标a的取值范围为.
故选：D.
7．答案：D
解析：如图,由题可知,圆M的圆心坐标为,半径为1,
设椭圆C的左焦点为E,即,
则,
故要求的最小值,即求的最小值,
所以的最小值等于,
即的最小值为,
故选：D.
8．答案：B
解析：,B在双曲线C的左半支上;
,即,A为的中点;
由双曲线方程知：直线,又,,,
;
坐标原点O为中点,且,
又,即,,,
又,,解得：,
双曲线的离心率.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对于A,当时,那么直线为,
直线为,此时两直线的斜率分别为和,
所以有,所以,故A选项正确;
对于,当时,那么直线为,直线为,此时两直线重合,故B选项错误;
对于,由直线,整理可得：,故直线过定点,
直线,整理可得：
,故直线过定点,故C选项正确;
对于D,当,平行时,两直线的斜率相等,
即,解得：或,
当时,两直线重合,舍去;
当时,直线为为
,此时两直线的距离,故D选项正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：由题意,,,A正确;
因为,,故,B错误;
因为,,即A,B为对立事件,故,C正确;
,则,D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于A,由长方体的性质得,,
因为平面,平面,所以平面,
同理,平面,平面,所以平面,
又,且平面,平面,
所以平面平面,
又平面,从而直线平面,故A正确;
对于B,由A知,平面平面,P点在平面上,
所以,故B错误;
对于C,三棱锥外接球的半径,
所以三棱锥外接球的表面积为,故C正确;
对于D,以D为坐标原点,分别以DA,DC,所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,则,
设,则,即,,
可得面的一个法向量,设直线与平面所成角为,
则,
故,有最大值为,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：ABD
解析：对于A,圆C关于x轴的对称圆的方程为,所以A正确,
对于B,因为反射光线平分圆C的周长,所以反射光线经过圆心,所以入射光线所在的直线过点,
因为入射光线过点,所以入射光线所在的直线的斜率为,
所以入射光线所在直线方程为,所以B正确,
对于C,由题意可知反射光线所在的直线过点,则,
因为,所以,所以C错误,
对于D,设,,
则圆心C到直线的距离为,
所以,
所以当即时,面积取得最大值,所以D正确,
故选：ABD.
13．答案：
解析：易知,所以点P到直线l的距离为.
故答案为：.
14．答案：,或
解析：由可知：该圆的圆心坐标为,半径为,
因为,所以该圆过原点,
设直线l与圆C相交另一点为A点,
因为直线l经过原点且将圆C分成两部分,
所以弦AO所以圆心角为,因为圆C的半径为,
所以
因此圆心C到直线AO的距离为,
当直线l不存在斜率时,方程为,显然到直线的距离为1,符合题意;
当直线l存在斜率时,设为k,方程为,
因为圆心C到直线AO的距离为,
所以,即方程为,
综上所述：直线l的方程为,或,
故答案为：,或.
15．答案：
解析：表示双曲线,则,
,,因此,,
,
故答案为：.
16．答案：;
解析：根据题意可得,
所以
,
即可得;
设,则,
;
所以
,
由二次函数性质可知当时,取到最小值为.
故答案为：;.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）AB边所在直线的方程为,AC所在直线的方程为
联立,解得：,
点A的坐标为,
AC中点为,
设点,
,解得,
即点C的坐标为.
（2）直角的斜边为AC,
,
AB边所在直线的方程为,斜率为,
BC边所在的直线方程斜率为,
BC边所在的直线过点,
BC边所在的直线方程为,即.
18．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：（1）,,,AB、面PAB,
面PAB,
又面PAB, ,
又, ,
在直角梯形ADEF中,由,可得,
,,,
, ,
又,,AD、面ADEF,
面ADEF,
又面ADEF, ;
（2）如图,以AB,AD,AF所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,, ,
而,
设面ACP的一个法向量为,
所以,令可得,
面ACP的法向量,,
设直线DE与平面ACP所成角为,
则,
所以直线DE与平面ACP所成角的正弦值为.
19．答案：(1)
(2)甲组应获得21个篮球,乙获得7个篮球比较合理.
解析：（1）令事件：甲组在第局获胜,,2,3.甲组胜的概率为：,
所以,解得.
（2）由题意知,在甲组第一局获胜的情况下,甲组输掉比赛事件为：甲组接下来的比赛中连输两场,
所以在甲第一局获胜的前提下,最终输掉比赛的概率,即甲获胜的概率为,
故甲组、乙组应按照的比例来分配比赛奖品,
即甲组应获得21个篮球,乙组获得7个篮球比较合理.
20．答案：(1)
(2).
解析：（1）设观察员可能出现的位置为点,
由题意,得,
故点P的轨迹为双曲线的左支,
设双曲线方程为,又,,
所以,
故点P的轨迹方程为;
（2）设轨迹上一点为,则,
又,所以,
所以|,
当且仅当时,取得最小值,
故扫描半径r至少是.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：如图,取BC中点G,连接FG,OG,
因为O,G分别为AC,BC中点,
所以,
因为,,
所以,
所以四边形EFGO为平行四边形,则,
因为平面ABCD,所以平面ABCD.
又平面FBC,所以平面平面ABCD.
（2）因为平面ABCD,AC,平面ABCD,所以,
因为四边形ABCD为菱形,所以,
所以AC,BD,OE两两垂直,
所以以O为坐标原点,以AC所在直线为x轴,BD所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
因为四边形ABCD是边长为4的菱形,,
所以是正三角形,则,
因为,所以,

所以,,,,
所以,
设平面QBC的法向量为,
则,令,则,
取平面ABC的法向量.
设二面角的平面角为,由图可知为锐角,
所以,
所以二面角的余弦值为.
22．答案：(1)
(2)2或-2
解析：（1）依题意抛物线的焦点为,
则时,直线l与x轴垂直,
不妨取,则,
因为,所以,
所以抛物线的方程为.
（2）因为抛物线的方程为,所以,
则直线l的方程为,设,,
联立消去x得,
由韦达定理,得,,
所以.
因为点C,D在曲线上,且,
所以根据抛物线的对称性知.
因为,所以点E到直线AB的距离,
所以,
因为,所以,
所以,解得,
所以直线l的斜率为2或-2.