2023-2024学年广东省广州市第六中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市第六中学高二上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简，根据其为纯虚数可得且，即可求得答案.
【详解】由题意得
,
∵为纯虚数
∴且，∴，
另解：设（），则，
即，，
∴，
故选：D.
2．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由可得直线与直线平行，即充分条件成立；由直线与直线平行，求得的值为，即必要条件成立；
【详解】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故选：A.
3．数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个，或2个，或3个选项，则他能得分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得分的涂法种数，求得所求概率.
【详解】解：随机地填涂了1个或2个或3个选项，共有种涂法，
能得分的涂法为（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7种，
故他能得分的概率为．
故选：A.
4．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.
【详解】，则，
设直线的倾斜角为，故，
所以当时，直线的倾斜角；
当时，直线的倾斜角；
综上所述：直线的倾斜角
故选：B
5．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，所以，
因为，
所以
,
因为，所以，所以为.
故选：B
6．如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，再根据扇形面积公式可得，结合条件即得.
【详解】设扇形的圆心角为，则，
在中，，
又，
∴，又，
∴.
故选：B.
7．设是同一个半径为的球的球面上四点，是以为底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先计算外接圆的半径，再利用图形得到点的位置，即可求三棱锥体积的最大值.
【详解】设，则，得，
中，，得,
再根据正弦定理可知，得，
如图，点是外接圆的圆心，点是四面体外接球的球心，当点和在一条直线上时，此时三棱锥的体积最大，
，，
此时
故选：D
8．已知，则（ ）
A．B．C．a