2023-2024学年北京市第一七一中学高二上学期期中调研数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第一七一中学高二上学期期中调研数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．圆的圆心为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.
【详解】由，得，
所以圆心为，
故选：A
2．若直线：与：垂直，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．-1
【答案】A
【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即可求得答案.
【详解】由于直线：与：垂直，
故，
故选：A
3．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
【详解】由椭圆，得，则．
因为点P到椭圆一焦点的距离为6，
所以由椭圆定义得点P到另一焦点到距离为.
故选：B．
4．已知空间向量，且，则实数（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】由，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，空间向量，
因为，可得，即，可得 ，解得.
故选：A.
5．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1B．C．或1D．2或1
【答案】D
【分析】对a分类讨论，由截距相等列方程解出的值.
【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
6．直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】曲线是一个半圆，画出草图，结合图像分类讨论即可.
【详解】，
，
曲线是一个半圆，如图所示：
当直线与曲线相切时，
可得 ，解得 ，
由图可知
，
此时满足直线与曲线有且仅有一个公共点，
当直线在两点之间运动时，
直线与曲线有且仅有一个公共点，
，
，
综上所述，或．
故选：D
7．已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由空间向量的线性运算可得，结合数量积的运算性质和定义求.
【详解】因为E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，
所以，，因为
，
，
，
所以．
故选：D.
8．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪D．(－∞，－1)∪
【答案】D
【分析】先得出直线的点斜式方程，求得直线在x轴上的截距，建立不等式可得选项．
【详解】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3<1－<3，解得k>或k<－1.
故选：D．
【点睛】本题考查直线的横截距的定义和应用，属于基础题．
9．直线：与：（其中，，），在同一坐标系中的图象是图中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先将直线方程化为斜截式，再结合各选项一一判断.
【详解】直线：，即，且与轴交于点，
直线：，即，且与轴交于点，
对于A：直线中，，直线中，，且，
则，所以的倾斜角大于的倾斜角，不符合题意，故A错误；
对于B：直线中，，直线中，，且，
则，所以的倾斜角大于的倾斜角，符合题意，故B正确；
对于C：直线中，，直线中，，矛盾，故C错误；
对于D：直线中，，直线中，，矛盾，故D错误；
故选：B
10．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A．线段的三等分点，且靠近点B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点D．线段的四等分点，且靠近点
【答案】B
【分析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
二、填空题
11．直线的倾斜角为
【答案】/
【分析】根据直线的方程可得出直线的倾斜角.
【详解】直线垂直于轴，故直线的倾斜角为.
故答案为：.
12．直线和直线的位置关系是 ．
【答案】相交（不垂直）
【分析】求得两直线斜率，根据两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系.
【详解】由题意得直线的斜率为，
直线的斜率为，
由于且，即两直线相交且不垂直，
故答案为：相交（不垂直）
13．已知为空间两两垂直的单位向量，且 则数量积=
【答案】
【分析】利用向量的数量积坐标运算即可得出．
【详解】解：因为为空间两两垂直的单位向量，且
则以为一组正交基底，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的数量积的坐标表示，熟练掌握向量的数量积的坐标运算是解题的关键，属于基础题．
14．若直线与圆相离，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于半径可求解.
【详解】设圆心到直线的距离为,则,
圆的半径,
因为 直线与圆相离,所以,
即,所以,解得或
故答案为：m＞2或m＜-2
15．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.
【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，
，解得b＝.
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.
三、解答题
16．如图，在三棱柱中，平面， 分别是的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题设易证，，两两垂直，构建以为原点，为x、y、z轴正方向空间坐标系，根据已知确定点坐标，进而求直线方向向量与平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值；
（2）应用等体积法，由求到平面的距离.
【详解】（1）由平面，则在三棱柱中平面，
由面，故，，又，
∴，，两两垂直，故可构建以为原点，为x、y、z轴正方向空间坐标系，
∴，则，，，
若是面的一个法向量，则，令，有，
∴，故直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由，由（1）易知：，到面的距离为，
若到平面的距离为，又，，则，
∴，可得.
∴点到平面的距离为.
17．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.
【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；
（2）由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．
18．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（II）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
（i）用所给编号列出所有可能的结果;
（ii）设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.
【答案】（Ⅰ）3,1,2;（Ⅱ）（ⅰ）见试题解析;（ⅱ）
【详解】试题分析：（I）由题意可得抽取比例，即可求出相应的人数；（II）（i）列举可得从名运动员中随机抽取名的所有结果，共种； （ii）事件所包含的上述基本事件的个数为个，由概率的公式即可求解概率．
试题解析：（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;
（II）（i）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为,
,,,,,,,,,,,,,,共15种
（ii）编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为,, ,, ,,,,,共9种,
所以事件A发生的概率
【解析】古典概型及其概率的计算．
19．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）由已知中平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得，，结合线面垂直的判定定理可得平面BDE；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角的余弦值；
（3）由已知中M是线段BD上一个动点，设.根据平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置.
【详解】（1）因为平面ABCD，所以.因为ABCD是正方形，所以，
，从而平面BDE.
（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示.
因为BE与平面ABCD所成角为600，即，所以.
由，可知，.
则，，，，，
所以，.
设平面BEF的法向量为，则，即.
令，则.
因为平面BDE，所以为平面BDE的法向量，.
所以.
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
（3）点M是线段BD上一个动点，设.则.
因为平面BEF，所以，即，解得.
此时，点M坐标为，
即当时，平面BEF.
四、未知
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，其中右焦点坐标为，该椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆上一点，过点的直线l与椭圆交于异于点P的A，B两点，若的面积是，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意利用焦点坐标以及离心率求出，即可得椭圆方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，从而求得弦长的表达式，再求出点P到直线l的距离，即可得的面积表达式，列式即可求得参数的值，即可得所求.
【详解】（1）由题意知椭圆的右焦点坐标为，椭圆的离心率为，
故设椭圆焦距为2c，则，
故椭圆的标准方程为；
（2）因为点为椭圆上一点，故；
当直线l的斜率为0时，，
此时，不合题意；
故直线l的斜率不为0，且其斜率一定存在，否则中将有一点与P重合，不合题意；
故设直线l的方程为，联立，
得，
由于直线l过椭圆的焦点，则必有，
设，则，
故，
而点到直线l的距离为，
，
即，解得（负值舍去），即得，
故直线l的方程为，即或.
【点睛】关键点睛：解答直线和椭圆的位置关系中的三角形面积问题，关键在于要利用弦长公式结合点到直线的距离求得三角形面积的表达式，解答时要注意计算比较复杂，计算量大，需要十分细心.
五、解答题
21．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则
(1)①点，，求的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【答案】(1)①7；
②；
(2)2；
(3)2，，，，.
【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；
（2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值；
（3）将的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的，即可得到的最小值.
【详解】（1）①；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即.
（2）设直线上任意一点坐标为，则，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
综上所述，的最小值为2.
（3）
如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
（i）例如：，此时；
（ii）例如：，此时；
当四个点不在同一个平面时，
（iii）例如：，此时；
（iiii）例如：，此时；
（iiiii）例如：，此时；
（iiiiii）例如：，此时；
综上所述，的最大值为2，例如：，，，.