高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数学案，共9页。


在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x及y＝4x的图像，并根据导数定义，求它们的导数．
问题：(1)从图像上看，它们的导数分别表示什么？
(2)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
[提示] (1)直线的斜率．(2)斜率k的大小．
知识点1 导数的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，称其为函数y＝f(x)的导函数．记作f′(x)(或y′，y′x)，即f′(x)＝y′＝y′x＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)．导函数通常也简称为导数．
1．f′(x0)与f′(x)相同吗？
[提示] 不同．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值．
1．函数y＝eq \f(4,x2)在x＝2处的导数为__________．
－1 [法一：∵Δy＝eq \f(4,Δx＋22)－eq \f(4,22)＝eq \f(4,Δx＋22)－1＝－eq \f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(Δx＋4,Δx＋22)，
∴y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,))x＝2＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝－eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δx＋4,Δx＋22)＝－1．
法二：∵Δy＝eq \f(4,x＋Δx2)－eq \f(4,x2)＝－eq \f(4Δx2x＋Δx,x2x＋Δx2)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)，
∴y′＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝－eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)＝－eq \f(8,x3)．
∴y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(, ))x＝2＝－eq \f(8,23)＝－1．]
知识点2 导数公式表
①C′＝0．
②(xα)′＝αxα－1．
③(ax)′＝axln a．
④(lgax)′＝eq \f(1,xln a)．
⑤(sin x)′＝cs x．
⑥(cs x)′＝－sin x．
2．函数y＝ex及y＝ln x的导数分别是多少？
[提示] (ex)′＝ex，(ln x)′＝eq \f(1,x)．
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．( )
(2)若y＝eq \r(2)，则y′＝eq \f(1,2)×2＝1．( )
(3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cs x．( )
(4)若y＝eq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
类型1 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝eq \f(1,x4)；(3)y＝eq \r(5,x3)；(4)y＝3x；(5)y＝lg5x．
[思路点拨] 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x11．
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x4)))eq \s\up12(′)＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq \f(4,x5)．
(3)y′＝(eq \r(5,x3))′＝(xeq \s\up12(eq \f(3,5)))′＝eq \f(3,5)xeq \s\up12(－eq \f(2,5))．
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3．
(5)y′＝(lg5x)′＝eq \f(1,xln 5)．
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与lgax”，“sin x与cs x”的导数区别．
[跟进训练]
1．若f(x)＝x3，g(x)＝lg3x， 则f′(x)－g′(x)＝__________．
3x2－eq \f(1,xln 3) [∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝eq \f(1,xln 3)，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－eq \f(1,xln 3)．]
类型2 利用公式求函数在某点处的导数
【例2】 质点的运动方程是s＝sin t．
(1)求质点在t＝eq \f(π,3)时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
[思路点拨] (1)先求s′(t)，再求s′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))．
(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．
[解] (1)v(t)＝s′(t)＝cs t，∴veq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)．
即质点在t＝eq \f(π,3)时的速度为eq \f(1,2)．
(2)∵v(t)＝cs t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cs t)′＝－sin t．
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
[跟进训练]
2．(1)求函数f(x)＝eq \f(1,\r(3,x))在(1，1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cs x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))处的导数．
[解] (1)∵f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(′)＝(xeq \s\up12(－eq \f(1,3)))′＝－eq \f(1,3)xeq \s\up12(－eq \f(4,3))＝－eq \f(1,3\r(3,x4))，
∴f′(1)＝－eq \f(1,3\r(3,1))＝－eq \f(1,3)．
(2)∵f′(x)＝－sin x，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－sin eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)．
类型3 利用导数公式求切线方程
1．如何求y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程？
[提示] 先计算f′(x)，再求f′(x0)，最后利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)求解便可．
2．若已知函数y＝f(x)的切线方程y＝kx＋b，如何求切点坐标(x0，y0)?
[提示] 利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′x0＝k，,y0＝fx0，,y0＝kx0＋b，))求解．
【例3】 (对接教材P77例5)已知曲线y＝f(x)＝eq \r(x)，y＝g(x)＝eq \f(1,x)，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形的面积．
[思路点拨] 先求交点→再分别求切线方程→计算三角形的面积．
[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,y＝\f(1,x)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))即两曲线的交点坐标为(1，1)．
又f′(x)＝eq \f(1,2\r(x))，g′(x)＝－eq \f(1,x2)．
∴f′(1)＝eq \f(1,2)，g′(1)＝－1．
∴两切线方程分别为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)；
y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2．
其与x轴的交点坐标分别为(－1，0)，(2，0)，
故两切线与x轴所围成的三角形面积为
eq \f(1,2)×1×|2－(－1)|＝eq \f(3,2)．
求曲线方程或切线方程时，应注意的事项
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
[跟进训练]
3．过原点作曲线y＝f(x)＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．
(1，e) y＝ex [设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为f′(x0)＝eeq \s\up12(x0)，
则eeq \s\up12(x0)＝eq \f(y0－0,x0－0)，
又y0＝eeq \s\up12(x0)，
得x0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e，
切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex．]
1．已知f(x)＝xα(α∈Q)，若f′(1)＝eq \f(1,4)，则α等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4)
D [∵f(x)＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1，
∴f′(1)＝α＝eq \f(1,4)．]
2．给出下列结论：
①若y＝eq \f(1,x3)，则y′＝－eq \f(3,x4)；
②若y＝eq \r(3,x)，则y′＝eq \f(1,3)eq \r(3,x)；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
B [对于①，y′＝(x－3)′＝eq \f(－3,x4)，正确；
对于②，y′＝eq \f(1,3)xeq \s\up12(eq \f(1,3)－1)＝eq \f(1,3)xeq \s\up12(－eq \f(2,3))，不正确；
对于③，f′(x)＝3，
故f′(1)＝3，正确．]
3．曲线y＝f(x)＝eq \f(1,x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))处的切线的斜率为( )
A．2 B．－4 C．3 D．eq \f(1,4)
B [因为f(x)＝eq \f(1,x)，
所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4，故选B．]
4．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝_____．
1 [因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(1,x)且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，
即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)．故x＝1．]
5．曲线y＝f(x)＝ex在点(2，e2)处的切线方程为________．
y＝e2(x－1) [∵f′(x)＝ex，
∴f′(x＝2)＝e2，
∴在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2(x－1)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间有何区别与联系？
[提示] 区别：(1)f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；
(2)f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f′(x)．
联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．
2．记忆基本初等函数的导数公式时需要注意哪些问题？
[提示] (1)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用y＝xα的导数公式解决．
(2)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化．
(3)有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2eq \f(x,2)的导数，因为y＝1－2sin2eq \f(x,2)＝cs x，所以y′＝(cs x)′＝－sin x．
导数的发展与成熟
一、发展
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分．牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数．牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限．
二、成熟
1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)＝lim(y/x)．
1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y＝f(x)在变量X的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量．19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε­δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达．导数的定义也就获得了今天常见的形式．
微积分学理论基础，大体可以分为两个部分．一个是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限理论，指一种意识形态上的过程，比如无限接近．
就数学历史来看，两种理论都有一定的道理．其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所使用的．
光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一．微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法．
三、连续不可导的曲线
例如，魏尔斯特拉斯函数就是一类处处连续而处处不可导的实值函数．魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画．魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的．魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯．历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例．魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻．许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率．魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法．
认识了导数的由来之后，那么利用导数理论解决数学问题还是我们学习的重中之重．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解导函数的概念．(难点)
2．能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数．(难点)
3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
1．通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养．
2．通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养．