2022-2023学年广东省深圳市光明区高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市光明区高二（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知空间向量＝（λ，2，1），＝（2，λ，λ+1），∥，则实数λ＝（ ）
A．0B．±2C．﹣2D．2
2．（5分）已知两条直线l1：3x+y﹣5＝0和l2：x﹣ay＝0相互垂直，则a＝（ ）
A．B．C．﹣3D．3
3．（5分）双曲线C：的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
4．（5分）已知圆C1：x2+y2＝3与圆C2：（x+2）2+（y+2）2＝6，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．相交B．外切C．外离D．内含
5．（5分）已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），若动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．＝1，x≠±2B．+＝1，x≠±
C．﹣y2＝1，x≠±2D．y2﹣＝1，x≠±2
6．（5分）设点M为抛物线y2＝4x上的动点，点M在y轴上的投影为点N，点 A（2，）（ ）
A．3B．4C．D．
7．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AB＝2，AC＝AD＝3，（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若抛物线x2＝2py（p＞0）上存在不同的两点关于直线y＝﹣x+1对称（ ）
A．（0，3）B．（0，）C．（，+∞）D．（，+∞）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝10，|PF1|﹣|PF2|＝6，点F1到双曲线C一条渐近线的距离为d，则下列选项正确的有（ ）
A．双曲线C的实轴长为3
B．双曲线C的离心率为
C．|PF2|的最小值为2
D．d＝4
（多选）10．（5分）已知点P（x0，y0）和圆O：x2+y2＝4，则下列选项正确的有（ ）
A．若点P在圆O内，则直线x0x+y0y＝4与圆O相交
B．若点P在圆O上，则直线x0x+y0y＝4与圆O相切
C．若点P在圆O外，则直线x0x+y0y＝4与圆O相离
D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则|PA|＝
（多选）11．（5分）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为6π，离心率为，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有 （ ）
A．椭圆C的标准方程可以为＝1
B．△F1PF2的周长为10
C．|PF1|•|PF2|≤9
D．cs∠F1PF2≥﹣
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，N为DD1的中点，，λ∈[0，1]，下面说法正确的有（ ）
A．若，D∈α，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
B．若λ＝1，平面α截正方体所得的截面面积的最大值为3
C．若AM+MN的和最小，则
D．直线DC与平面α所成角的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角α＝ ．
14．（5分）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点O＝3+2+ ．
15．（5分）过点P（﹣2，3）作圆E：x2+y2﹣4x+2y＝0的两条切线，切点分别为M，N则直线MN的方程为 ．
16．（5分）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+t与椭圆C：+＝1（a＞b＞0），B两点，P为AB的中点0．若﹣＜kk0＜﹣，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC1，D1C1的中点，连接 CD1，EM，MN，EN，EF．
（1）证明：D1C∥平面EMN；
（2）证明：E，F，N，M四点共面．
18．（12分）已知O为坐标原点，F为抛物线：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C过点M（6，﹣6）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB
19．（12分）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y﹣3＝0（m∈R），B两点．
（1）证明：直线l过定点；
（2）已知点P（﹣1，﹣2），当最小时，求实数m的值．
20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，CD＝2．
（1）求AD的长度；
（2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．
21．（12分）已知过点P（0，﹣1）的直线l与圆E：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0交于A，B两点，M为AB的中点
（1）当|AB|＝2时，求直线l的方程；
（2）证明：•+•定值．
22．（12分）已知P是圆E：（x+）2+y2＝24上的动点，F（，0）为定点，线段PF的垂直平分线交线段PE于点Q
（1）求曲线C的方程；
（2）过点M（4，2）的直线l交曲线C于A，B两点，且|AM|•|BN|＝|AN|•|BM|，证明：点N在某定直线上
2022-2023学年广东省深圳市光明区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知空间向量＝（λ，2，1），＝（2，λ，λ+1），∥，则实数λ＝（ ）
A．0B．±2C．﹣2D．2
【分析】根据已知条件，结合空间向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：由题意可知，λ≠0，
空间向量＝（λ，2，＝（3，λ，∥，
则，解得λ＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量共线的性质，属于基础题．
2．（5分）已知两条直线l1：3x+y﹣5＝0和l2：x﹣ay＝0相互垂直，则a＝（ ）
A．B．C．﹣3D．3
【分析】根据题意，求出两直线的斜率，由直线垂直的判断方法可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l1：3x+y﹣7＝0，其斜率k1＝﹣3，直线l2：x﹣ay＝0，其斜率k3＝，
若两条直线l1：2x+y﹣5＝0和l8：x﹣ay＝0相互垂直，则有（﹣3）×，解可得a＝3，
故选：D．
【点评】本题考查直线的垂直，涉及直线的斜率，属于基础题．
3．（5分）双曲线C：的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】由双曲线方程求得a与b，再由隐含条件求得c，则答案可求．
【解答】解：由双曲线C：，得，，
可得e＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
4．（5分）已知圆C1：x2+y2＝3与圆C2：（x+2）2+（y+2）2＝6，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．相交B．外切C．外离D．内含
【分析】根据已知条件，先求出两圆的圆心、半径，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
【解答】解：圆C1：x2+y7＝3，圆心为C1（2，0）1＝，
圆C2：（x+2）7+（y+2）2＝2，圆心为C2（﹣2，﹣3）2＝，
则，
∵r2﹣r1＜|C5C2|＜r1+r6，
∴圆C1与圆C2的位置关系为相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
5．（5分）已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），若动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．＝1，x≠±2B．+＝1，x≠±
C．﹣y2＝1，x≠±2D．y2﹣＝1，x≠±2
【分析】设P点的坐标，由题意可得P点轨迹方程，注意不满足条件的点去掉．
【解答】解：设P（x，y）•＝，整理可得：7＝1，x≠±2，
即P的轨迹方程为：﹣y2＝7，x≠±2，
故选：C．
【点评】本题考查直接法求点的轨迹方程，属于基础题．
6．（5分）设点M为抛物线y2＝4x上的动点，点M在y轴上的投影为点N，点 A（2，）（ ）
A．3B．4C．D．
【分析】过M作y轴的垂线，垂足为N，延长MN交抛物线准线于点B，则|MA|+|MN|＝|AM|+|MB|﹣1＝|AM|+|MF|﹣1≥|AF|﹣1，然后结合两点的距离公式求解即可．
【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝4x，
∴抛物线的准线方程为x＝﹣4，焦点坐标为F（1，
过M作y轴的垂线，垂足为N，
则|MA|+|MN|＝|AM|+|MB|﹣1＝|AM|+|MF|﹣2≥|AF|﹣1＝，
当且仅当A、M、F三点共线时取等号，
即|MA|+|MN|的最小值为4，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
7．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AB＝2，AC＝AD＝3，（ ）
A．B．C．D．
【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，AB，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为z轴，如图，
∵AB＝2，AC＝AD＝3，，
∴A（0，0，2），0，0），4，0），0，5），0，），F（0，1，
∴＝（4，0，），，1，2），
设异面直线AE与BF所成角为θ，
则异面直线AE与BF所成角的余弦值为：
csθ＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查异面直线夹角定义、向量法、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）若抛物线x2＝2py（p＞0）上存在不同的两点关于直线y＝﹣x+1对称（ ）
A．（0，3）B．（0，）C．（，+∞）D．（，+∞）
【分析】先结合题意设直线AB的方程，然后联立直线与抛物线方程求解即可．
【解答】解：设抛物线x2＝2py（p＞8）上存在不同的两点A、B关于直线y＝﹣，
设AB所在的直线方程为y＝3x+b，
联立，
消y可得x2﹣4px﹣4pb＝0，
则Δ＝16p2+4pb＞0，①
设A（x1，y6），B（x2，y2），
则x5+x2＝4p，y6+y2＝2（x4+x2）+2b＝5p+2b，
又AB的中点在直线 y＝﹣x+1上，
则，
即b＝﹣5p+1，②
将②代入①可得6p2﹣p＜0，
即，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝10，|PF1|﹣|PF2|＝6，点F1到双曲线C一条渐近线的距离为d，则下列选项正确的有（ ）
A．双曲线C的实轴长为3
B．双曲线C的离心率为
C．|PF2|的最小值为2
D．d＝4
【分析】由已知求得a与c的值，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由题意可得，2c＝|F1F8|＝10，则c＝51|﹣|PF2|＝6，则a＝3，
∴双曲线C的实轴长为3，故A错误；
双曲线C的离心率为，故B正确；
由已知可得，点P在双曲线的右支上8|的最小值为c﹣a＝2，故C正确；
点F1到双曲线C一条渐近线的距离d＝b＝．
故选：BCD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义的应用，是基础题．
（多选）10．（5分）已知点P（x0，y0）和圆O：x2+y2＝4，则下列选项正确的有（ ）
A．若点P在圆O内，则直线x0x+y0y＝4与圆O相交
B．若点P在圆O上，则直线x0x+y0y＝4与圆O相切
C．若点P在圆O外，则直线x0x+y0y＝4与圆O相离
D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则|PA|＝
【分析】根据圆与直线的位置关系，结合题意，即可判断和选择正确选项．
【解答】解：对于A，点P在圆O内，则+，
又点O到直线x0x+y3y＝4的距离d＝＞r，
∴直线x0x+y0y＝5与圆O相离，故A错误；
对于B，∵点P在圆O上，∴+，
∵点P的坐标满足x0x+y2y＝4，∴x0x+y2y＝4过点P，
又点O（0，4）到直线x2+y2＝5的距离d＝＝6＝r，
∴x0x+y0y＝8与圆O相切，
综上所述，若点P在圆O上0x+y0y＝7，故B正确；
对于C，点P在圆O外，则+，
又点O到直线x0x+y2y＝4的距离d＝＜r，
∴直线x0x+y0y＝4与圆O相交，故C错误；
若直线AP与圆O相切，|PA|＝|．
故选：BD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，属基础题．
（多选）11．（5分）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为6π，离心率为，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有 （ ）
A．椭圆C的标准方程可以为＝1
B．△F1PF2的周长为10
C．|PF1|•|PF2|≤9
D．cs∠F1PF2≥﹣
【分析】由已知可得a，b，c的值，依据每个选项的条件计算可判断每个选项的正确性．
【解答】解：由题意可得S＝abπ＝6π，∴ab＝6＝，又a2＝b7+c2，解得a＝3，b＝2，
∴当焦点在x轴上时，椭圆C的标准方程为，故A正确；
△F8PF2的周长为2a+6c＝6+2，故B错误；
∵|PF1|+|PF2|＝5a＝6，∴|PF1|•|PF4|≤（）2＝9，故C正确；
cs∠F2PF2＝＝＝﹣1≥，
当且仅当，|PF1|＝|PF5|＝3时取等号，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，N为DD1的中点，，λ∈[0，1]，下面说法正确的有（ ）
A．若，D∈α，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
B．若λ＝1，平面α截正方体所得的截面面积的最大值为3
C．若AM+MN的和最小，则
D．直线DC与平面α所成角的最大值为
【分析】对于选项A，D，利用空间向量的坐标运算求解判断即可；对于选项 B，画出图形，利用直线和平面垂直，结合面积求解即可；对于选项C，利用展开图，计算距离的最小值，判断即可．
【解答】解：以点D为坐标原点，DA，DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
对于选项A，设平面α交棱A1D4于点E，设E（b，0，A（2，6，
当时，点，
因为AM⊥平面α，D∈平面α，
所以AM⊥DE，即，
得b＝1，所以E（4，0，
所以点E为棱A1D4的中点，
设平面α交棱A1B1于F，同理可知点F为棱A7B1的中点，即F（2，2，
故，而，
所以，
所以EF∥DB且EF≠DB，
由空间两点间距离公式得，，
由B（3，2，0），4，2），则．
所以DE＝BF，
所以四边形BDEF是等腰梯形，故选项A正确；
在正方体中，CC7⊥平面ABCD，
因为BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，
因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面ACC3，
因为AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC6，
同理可证AC1⊥A1D，
因为BD∩A4D＝D，所以AC1⊥平面A1BD，
所以△A2BD是其中一个截面图形，
易知△A1BD是边长为的等边三角形，
设E，F，Q，N，G，H，分别为A5D1，A1B3，BB1，BC，CD1的中点，
易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，
且平面EFQNGH∥平面A5BD，
所以AC1⊥平面EFQNGH，
所以六边形EFQNGH也是其中一个截面图形，
易知，六边形EFQNGH是最大截面，
所以平面α截正方体所得的截面面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C，将矩形ACC1A1与正方形CC5D1D延展到一个平面内，如下图所示，
若AM+MN的和最小，则A、M，
因为CC1∥DD6，所以，
因为DN＝1，所以，
所以，故，故选项C错误；
对于选项D，A（2，8，B（2，2，设点M（3，2，
因为AM⊥平面α，
则为平面α的一个法向量，且，
设直线DC与平面α所成角为θ，
因为0≤a≤2，当a＝7时，最大值为，
故直线DC与平面α所成角的最大值为，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了空间中的截面形状和截面面积的计算以及线面角的最值等立体几何综合问题，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角α＝ 135° ．
【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率，可得直线的倾斜角．
【解答】解：直线l的方程为x+y＝2，即y＝﹣x+2，
直线的斜率为﹣5＝tanα，α∈（0，
则直线的倾斜角为135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查直线的方程，考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
14．（5分）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点O＝3+2+ ﹣4 ．
【分析】根据空间向量共面定理求解．
【解答】解：∵A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，+2+，
∴1＝7+2+λ，λ＝﹣4，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查空间向量共面定理的运用，属于基础题．
15．（5分）过点P（﹣2，3）作圆E：x2+y2﹣4x+2y＝0的两条切线，切点分别为M，N则直线MN的方程为 4x﹣4y﹣7＝0 ．
【分析】将圆的一般方程整理成标准方程，设M，N的坐标，可得在M，N处的切线方程，再由P点在切线上，可得MN的直线方程．
【解答】解：圆E的标准方程为（x﹣2）2+（y+7）2＝5，
设切点M（x8，y1），N（x2，y6），
则切点所在的切线方程为：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1+1）（y+7）＝5，（x2﹣8）（x﹣2）+（y2+2）（y+1）＝5，
因为点P在切线上，
所以（x3﹣2）（﹣2﹣5）+（y1+1）（7+1）＝5，即﹣5（x1﹣2）+4（y1+1）＝7，﹣4（x2﹣2）+4（y2+5）＝5，
所以M，N在直线﹣4（x﹣8）+4（y+1）＝6上，
即MN的直线方程为4x﹣4y﹣7＝0，
故答案为：4x﹣8y﹣7＝0．
【点评】本题考查圆的切线方程的求法及两个切点所在直线方程的求法，属于基础题．
16．（5分）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+t与椭圆C：+＝1（a＞b＞0），B两点，P为AB的中点0．若﹣＜kk0＜﹣，则椭圆的离心率的取值范围为 （，） ．
【分析】设出点A，B，P的坐标，根据坐标求出k•k′的关系式，把A，B两点坐标代入椭圆方程，利用点差法以及已知不等式关系化简即可求解．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x6，y2），P（x0，y7），
则k＝，x0＝，y6＝，
所以k0＝＝，所以kk0＝，
将A，B两点坐标代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：+＝0，
所以kk2＝＝﹣＜﹣，
即＞＞，所以2＜，即＜e2＜，
所以＜e＜，
所以椭圆的离心率的取值范围为（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了椭圆的性质，涉及到点差法的应用，考查了学生的运算转化能力，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC1，D1C1的中点，连接 CD1，EM，MN，EN，EF．
（1）证明：D1C∥平面EMN；
（2）证明：E，F，N，M四点共面．
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，分析可得＝﹣2，即可得D1C∥ME，易得结论；
（2）根据题意，求出、、的坐标，由此分析可得＝﹣3+2，即可得向量、、共面，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设长方体ABCD﹣A1B1C2D1中，AD＝2a，DD2＝2c，如图建立空间直角坐标系：
则D（0，7，0），0，3），2b，B（2a，3），
D1（0，6，2c），A1（8a，0，2c），C5（0，2b，B3（2a，2b，
则M（8a，b，0），2b，E（5a，0，F（0，b
（1）证明：＝（0，﹣2c），，﹣b，
则有＝﹣21C∥ME，
则有D4C∥平面EMN；
（2）证明：＝（﹣2a，b，＝（0，b，＝（﹣a，b，
则有＝﹣2，则向量、、，
必有E，F，N，M四点共面．
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面平行的判断，属于基础题．
18．（12分）已知O为坐标原点，F为抛物线：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C过点M（6，﹣6）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB
【分析】（1）把点M（6，﹣6）代入抛物线方程即可得出p．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为my＝x﹣t，（t≠0），代入抛物线方程可得关于y的一元二次方程，根据OA⊥OB，可得•＝0，利用根与系数的关系代入即可得出t，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线C过点M（6，﹣6），
∴（﹣3）2＝2p×3，解得p＝3，
∴抛物线C的标准方程为y2＝2x．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x7，y2），
设直线l的方程为my＝x﹣t，（t≠0），
联立，化为y2﹣3my﹣6t＝0，
∴y3+y2＝6m，y8y2＝﹣6t，
∵OA⊥OB，
∴•＝x6x2+y1y2＝+y1y2＝﹣6t（+1）＝7，
解得t＝6，
∴直线l的方程为my＝x﹣6，
∴直线l过定点（5，0）．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y﹣3＝0（m∈R），B两点．
（1）证明：直线l过定点；
（2）已知点P（﹣1，﹣2），当最小时，求实数m的值．
【分析】（1）由已知可得（x﹣2y）m+2x﹣y﹣3＝0，由，然后求解即可；
（2）设直线l的方程为，a＞0，b＞0，则，又点P（﹣1，﹣2），则＝（a+1，2）•（1，b+2）＝a+2b+5＝，然后结合基本不等式求解即可．
【解答】（1）证明：已知直线l：（m+2）x﹣（2m+3）y﹣3＝0（m∈R），
则（x﹣4y）m+2x﹣y﹣3＝5，
由，
解得，
即直线l过定点（2，8）；
（2）解：设直线l的方程为，a＞0，
则A（a，6），b），
又直线l过定点（2，1），
则，
又点P（﹣8，﹣2），
则＝（a+1，b+7）＝a+2b+5＝＝，
当且仅当，
即a＝2b，
即a＝4，b＝3时取等号，
即直线l的方程为x+2y﹣4＝6，
则直线l过（4，0），
即7（m+2）﹣3＝6，
即．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了直线的方程及基本不等式的应用，属中档题．
20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，CD＝2．
（1）求AD的长度；
（2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．
【分析】（1）以B为坐标原点建立空间直角坐标系，写出A，D两点的坐标，即可得线段AD的长；
（2）分别求得平面ACD与平面ABC的法向量与，再由空间向量数量积的坐标运算法则，即可得解．
【解答】解：（1）以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（﹣1，，4），0，），C（2，0，
所以＝（﹣2，，﹣），，0，），
所以||＝＝．
（2）设平面ACD的法向量为＝（x，y，则，即，
令z＝5，则x＝，所以，4，1），
易知平面ABC的一个法向量为＝（0，8，
设平面ABC与平面ACD夹角为θ，则csθ＝|cs＜，＝＝，
故平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量求平面与平面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知过点P（0，﹣1）的直线l与圆E：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0交于A，B两点，M为AB的中点
（1）当|AB|＝2时，求直线l的方程；
（2）证明：•+•定值．
【分析】（1）由弦长求出圆心到直线的距离，讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，利用圆心距、半径、半弦长的关系，通过圆心到直线的距离，求直线l的方程；
（2）分别联立直线l和圆、直线m的方程，利用韦达定理结合向量的运算求解即可．
【解答】解：（1）圆E：x2+y2﹣6x﹣6y+4＝3的圆心E（2，3），
当直线l与x轴垂直时，则|AB|＝7，则x＝0不合题意，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx﹣1，
∵AB＝7，
∴EM＝＝，
则EM＝＝，
∴k2﹣4k+7＝0，
∴k＝5或k＝7，
∴直线l：x﹣y﹣1＝4或7x﹣y﹣1＝5．
证明：（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，
联立，得出x＝0，
不妨设，
则M（0，3），可得N（0．
则，，
则，
当直线l的斜率存在时，设为y＝kx﹣1，
联立，得（1+k2）x2﹣（8k+2）x+11＝0，
设A（x1，y2），B（x2，y2），则，进而得到，
Δ＝（8k+4）5﹣44（1+k2）＞2，即5k2+16k﹣3＞0，
，
，
设N＝（a，b），则，
因为，，
所以＝，
故•+•为定值．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分类讨论的思想与计算能力，是中档题．
22．（12分）已知P是圆E：（x+）2+y2＝24上的动点，F（，0）为定点，线段PF的垂直平分线交线段PE于点Q
（1）求曲线C的方程；
（2）过点M（4，2）的直线l交曲线C于A，B两点，且|AM|•|BN|＝|AN|•|BM|，证明：点N在某定直线上
【分析】（1）利用椭圆定义即可求得曲线C的方程；
（2）设直线l的方程为y＝kx+（2﹣4k），代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+（8k﹣16k2）x+32k2﹣32k+2＝0，利用根与系数的关系结合已知|AM|•|BN|＝|AN|•|BM|即可证明点N总在某定直线上，并求出该定直线方程．
【解答】解：（1）圆E的方程化为：（x+）2+y8＝24，所以圆心E（﹣，半径r＝2．
因为Q在PF的垂直平分线上，所以|QF|＝|QP|，
所以|QE|+|QF|＝|QE|+|QP|＝|EP|＝2，
又因为|EF|＝8，则|QE|+|QF|＞2，
所以Q的轨迹是以E，F为焦点，
由2a＝2，∴a＝，得b＝＝．
所以C的方程为+＝1．
（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣5），即y＝kx+（2﹣4k），
代入椭圆方程，整理得（4+2k2）x2+（8k﹣16k2）x+32k2﹣32k+2＝0，
设A（x2，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝，x1x6＝，
设N（x4，y0），由|AM|•|BN|＝|AN|•|BM|
（4﹣x4）（x0﹣x2）＝（x5﹣x0）（4﹣x6）（考虑线段在x轴上的射影即可），
∴8x0＝（7+x0）（x1+x2）﹣2x1x7，
于是8x0＝（2+x0）×﹣2×，
整理得x0+＝（4﹣x0）k，①
又k＝，代入①式得x0+y0﹣＝0，
∴点N总在直线x+y﹣＝0上．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的简单性质，考查推理论证与运算求解能力，考查化归与转化思想，属中档题．
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