2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）若数列{an}的通项公式（n∈N*），则{an}的前9项和S9＝（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（5分）已知向量，，若，则x＝（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．6
4．（5分）等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，则a2+a6+a10＝（ ）
A．21B．24C．27D．30
5．（5分）运用微积分的方法，可以推导得椭圆（a＞b＞0）的面积为．现学校附近停车场有一辆
车，车上有一个长为7m的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，则该储油罐的容积约为（π≈3.14）（ ）
A．20m3B．30m3C．40m3D．50m3
6．（5分）若抛物线x2＝2y上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．B．8C．D．9
7．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，，SA＝AB＝BC，则直线AB与SC夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若系列椭圆（0＜an＜1，n∈N*）的离心率，则an＝（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列双曲线中，以直线3x±4y＝0为渐近线的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．（5分）已知直线l的方向向量为，两个不重合的平面α，β的法向量分别为，，则（ ）
A．若，则l⊥αB．若，则l∥α
C．若，则α∥βD．若，则α⊥β
（多选）11．（5分）如图所示几何体，是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到，G是圆弧的中点，H是圆弧上的动点，则（ ）
A．存在点H，使得EH∥BD
B．存在点H，使得EH⊥BG
C．存在点H，使得EH∥平面BDG
D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的夹角为45°
（多选）12．（5分）已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在平面上一定点，设|AB|＝t（t＞0）．若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（ ）
A．当0＜t＜2时，E为椭圆
B．当t＞2时，E为双曲线
C．当t＞2时，E为双曲线一支
D．当t≠2且t越大时，E的离心率越大
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知数列{an}的前n项和（n∈N*），则a5＝ ．
14．（5分）若直线l：x﹣2y+m＝0与圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，则实数m＝ ．
15．（5分）已知椭圆与双曲线x2﹣y2＝2的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（5分）如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，AB＝2，M，N分别是对角线BD，AE上的动点，则线段MN的最小长度为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知A（2，0），B（1，3）．
（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；
（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，且经过点A，B，求该圆的方程．
18．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，，AB＝AD＝AA'．设，，．
（1）用基底表示向量，，，；
（2）证明：AC'⊥平面A'BD．
19．（12分）已知等比数列{an}中，a1+a3＝15，a2+a4＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足（n∈N*），求{bn}前10项和S10．
20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，对称轴为x轴，且经过M（1，2）．
（1）求C的方程；
（2）若直线l过C的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的方程．
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝3，，M是BB1的中点，N在棱CC1上，且C1N＝2NC．已知平面A1MN与平面ABC的夹角为30°．
（1）求BC的长；
（2）求点A到平面A1MN的距离．
22．（12分）在直角坐标系xOy上，椭圆的右焦点为，C的上、下顶点与F连成的三角形的面积为．
（1）求C的方程；
（2）已知过点F的直线l与C相交于A，B两点，问C上是否存在点Q，使得？若存出，求出l的方程．若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：由于直线 的斜率为，
故该直线的倾斜角为，即150°，
故选：D．
2．（5分）若数列{an}的通项公式（n∈N*），则{an}的前9项和S9＝（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解答】解：∵数列{an}的通项公式（n∈N*），
∴n＝2k﹣1（k∈N*）时，an＝0；n＝2k（k∈N*）时，an＝2．
则{an}的前9项和S9＝5×0+4×2＝8，
故选：C．
3．（5分）已知向量，，若，则x＝（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．6
【解答】解：向量，，
则（2，2，2x）﹣（﹣2，2，3）＝（4，0，2x﹣3），
，
则﹣8+3（2x﹣3）＝1，解得x＝3．
故选：B．
4．（5分）等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，则a2+a6+a10＝（ ）
A．21B．24C．27D．30
【解答】解：等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，
则a2+a6+a10＝（a1+a5+a9）+3d＝15+3×2＝21．
故选：A．
5．（5分）运用微积分的方法，可以推导得椭圆（a＞b＞0）的面积为．现学校附近停车场有一辆
车，车上有一个长为7m的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，则该储油罐的容积约为（π≈3.14）（ ）
A．20m3B．30m3C．40m3D．50m3
【解答】解：长为7m的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，
可得a，b＝0.9，h＝7，
所以该储油罐的容积：h30（m3）．
故选：B．
6．（5分）若抛物线x2＝2y上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．B．8C．D．9
【解答】解：∵抛物线x2＝2y上一点P到y轴的距离为4，
∴P到x轴的距离为8，
根据抛物线的几何性质可得：
P到该抛物线焦点的距离为，
故选：C．
7．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，，SA＝AB＝BC，则直线AB与SC夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设AB＝1，则A（1，0，0），B（0，0，0），S（1，0，1），C（0，1，0），
所以（﹣1，0，0），（﹣1，1，﹣1），
计算•1，||，
所以cs，，
所以直线AB与SC夹角的余弦值是．
故选：C．
8．（5分）若系列椭圆（0＜an＜1，n∈N*）的离心率，则an＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由系列椭圆（0＜an＜1，n∈N*），可得a2，b＝1，
∴离心率en，∴1﹣an＝[（）n]2，
∴an＝1﹣（）n．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列双曲线中，以直线3x±4y＝0为渐近线的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：对于A：双曲线1，则渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0，故A正确；
对于B：双曲线1，则渐近线方程为y＝±x，则4x±3y＝0，故B错误；
对于C：双曲线1，则渐近线方程为y＝±x，则4x±3y＝0，故C错误；
对于D：双曲线1，则渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0，故D正确；
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知直线l的方向向量为，两个不重合的平面α，β的法向量分别为，，则（ ）
A．若，则l⊥αB．若，则l∥α
C．若，则α∥βD．若，则α⊥β
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若，则l⊥α，A正确；
对于B，若，则⊥，则l∥α或l⊆α，B错误；
对于C，若，且平面α，β不重合，则有α∥β，C正确；
对于D，若，则α⊥β，D正确；
故选：ACD．
（多选）11．（5分）如图所示几何体，是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到，G是圆弧的中点，H是圆弧上的动点，则（ ）
A．存在点H，使得EH∥BD
B．存在点H，使得EH⊥BG
C．存在点H，使得EH∥平面BDG
D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的夹角为45°
【解答】解：对于A，若存在点H，使得EH∥BD，则BE∥DH，四边形BDHE是平行四边形，所以BE＝DH，所以H在圆弧外，所以选项A错误；
对于B，当H与点D重合时，BG⊥平面EDF，所以BG⊥ED，即BG⊥EH，选项B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图所示：设BC＝2，则B（0，0，2），D（2，0，0），G（，，2），E（0，2，2），设H（m，n，0），m2+n2＝4；
由（，，0），（2，0，﹣2），（m，n﹣2，﹣2），
设平面BDG的法向量为（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，所以（1，﹣1，1）；
若EH∥平面BDG，则•m﹣n+2﹣2＝m﹣n＝0，解得m＝n，所以H是圆弧的中点，即存在点H，使EH∥平面BDG，选项C正确；
对于D，当H与点F重合时，EH与平面BDG的夹角最大，因为（0，0，﹣2），
所以cs，，
所以EF与平面BDG所成角的正弦值为；
由，所以直线EH与平面BDG的夹角小于45°，选项D错误．
故选：BC．
（多选）12．（5分）已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在平面上一定点，设|AB|＝t（t＞0）．若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（ ）
A．当0＜t＜2时，E为椭圆
B．当t＞2时，E为双曲线
C．当t＞2时，E为双曲线一支
D．当t≠2且t越大时，E的离心率越大
【解答】解：当0＜t＜2时，点B在圆A内，
由题设可知：|MB|＝|MP|，所以|MA|+|MB|＝|MA|+|MP|＝|AP|＝2＞|AB|＝t，
故点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝2，2c＝t，
所以e，∴t越大时，E的离心率越大，故A正确，
当t＞2时，由题设可知：|MB|＝|MP|，所以||MA|﹣|MB||＝||MA|﹣|MP||＝|AP|＝2＜|AB|＝t，
故点Q的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，2c＝t，
所以e，∴t越大时，E的离心率越大，故B正确，C不正确；
综上：当t≠2且t越大时，E的离心率越大，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知数列{an}的前n项和（n∈N*），则a5＝ ﹣14 ．
【解答】解：由题意可得，
a5＝S5﹣S4
＝﹣2×52+4×5﹣（﹣2×42+4×4）
＝﹣2×52+4×5+2×42﹣4×4
＝﹣2×（52﹣42）+4
＝﹣2×9+4
＝﹣14．
故答案为：﹣14．
14．（5分）若直线l：x﹣2y+m＝0与圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，则实数m＝ 7或﹣3 ．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，得x2+（y﹣1）2＝5，
∴圆心为（0，1），半径为，
∵直线l：x﹣2y+m＝0与圆C相切，
∴圆心（0，1）到直线x﹣2y+m＝0的距离d，
即|m﹣2|＝5，
∴m＝7或m＝﹣3，
故答案为：7或﹣3．
15．（5分）已知椭圆与双曲线x2﹣y2＝2的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的面积为 4 ．
【解答】解：由双曲线与椭圆方程可知A，B，C，D关于坐标轴对称，
故联立方程组可得一组解为：x且y＝1，第一象限的点A（，1），
∴四边形ABCD的面积为22＝4．
故答案为：4．
16．（5分）如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，AB＝2，M，N分别是对角线BD，AE上的动点，则线段MN的最小长度为 ．
【解答】解：以A为坐标原点，AB，AF，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直线坐标系A﹣xyz，
设M（a，0，2﹣a），N（b，b，0），0≤a≤2，0≤b≤2，
则|MN|2＝（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2，
由柯西不等式可得（12+12+12）[（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2]≥（a﹣b+b+2﹣a）2＝4，
即有（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2，当且仅当a﹣b＝b＝2﹣a，即a，b时，取得等号，
所以|MN|，即|MN|的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知A（2，0），B（1，3）．
（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；
（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，且经过点A，B，求该圆的方程．
【解答】解：（1）∵A（2，0），B（1，3），故线段AB的中点为C（，）．
由于kAB3，故线段AB的垂直平分线l所在直线的斜率为，
故线段AB的垂直平分线l所在直线的方程为y（x），即x﹣3y+3＝0．
（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，设圆心为D（2﹣2m，m），
由于圆经过点A，B，故半径为r＝DA＝DB，
即（2﹣2m﹣2）2+m2＝（2﹣2m﹣1）2+（m﹣3）2，求得m＝1，
故该圆的半径为，圆心为（0，1），
故要求的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝5．
18．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，，AB＝AD＝AA'．设，，．
（1）用基底表示向量，，，；
（2）证明：AC'⊥平面A'BD．
【解答】解：（1）根据题意，，，，
，，，
；
（2）证明：设θ，AB＝AD＝AA'＝t，
则有•••t2csθ，||＝||＝||＝t2，
由（1）的结论，，，，
则•（）•（）•2•2••0，则有AC′⊥BD，
同理：AC′⊥A′D，
又由BD∩A′D＝D，
必有AC'⊥平面A'BD．
19．（12分）已知等比数列{an}中，a1+a3＝15，a2+a4＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足（n∈N*），求{bn}前10项和S10．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a3＝15，a2+a4＝30，
∴a1（1+q2）＝15，a1（1+q2）q＝30，
联立解得q＝2，a1＝3，
∴an＝3×2n﹣1．
（2）∵数列{bn}满足（n∈N*），
∴n为奇数时，bn＝3×2n；n为偶数时，bn＝2n﹣1．
∴{bn}前10项和S10＝（b1+b3+…+b9）+（b2+b4+…+b10）
＝3（2+23+…+29）+（2+23+…+29）
＝42728．
20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，对称轴为x轴，且经过M（1，2）．
（1）求C的方程；
（2）若直线l过C的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的方程．
【解答】解：（1）根据题意可设所求抛物线方程为：y2＝2px，p＞0，
则根据题意可得4＝2p×1，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x；
（2）根据（1）可知抛物线的焦点F（1，0），
当AB垂直x轴时，|AB|＝2p＝4≠8，
∴设直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
∴x1+x2，
∴|AB|＝p+x1+x2＝2+28，
∴k2＝1，∴k＝±1，
∴直线l的方程为y＝±（x﹣1），
即为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝3，，M是BB1的中点，N在棱CC1上，且C1N＝2NC．已知平面A1MN与平面ABC的夹角为30°．
（1）求BC的长；
（2）求点A到平面A1MN的距离．
【解答】解：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系B﹣xyz，
设BC＝a，
则A1（3，0，3），M（0，0，），N（0，a，1），
（﹣3，0，），（﹣3，a，﹣2），
设平面A1MN的法向量为（x，y，z），
由，可取x＝﹣1，则z＝2，y，即（﹣1，，2），
又平面ABC的法向量为（0，0，1），
由平面A1MN与平面ABC的夹角为30°，可得cs30°，
解得a，即BC；
（2）由A（3，0，0），M（0，0，），可得（﹣3，0，），
又平面A1MN的法向量为（﹣1，，2），
所以点A到平面A1MN的距离为d＝||＝|．
22．（12分）在直角坐标系xOy上，椭圆的右焦点为，C的上、下顶点与F连成的三角形的面积为．
（1）求C的方程；
（2）已知过点F的直线l与C相交于A，B两点，问C上是否存在点Q，使得？若存出，求出l的方程．若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为：y2＝1；
（2）假设存在Q点满足条件，
当直线l的斜率为0时，则A（﹣2，0），B（2，0），可得，这时不存在Q点，
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得（4+m2）y2+2my﹣1＝0，
因为F在椭圆内，显然Δ＞0，y1+y2，x1+x2＝m（y1+y2）+2，
因为，所以可得Q的坐标为（，），
将Q的坐标代入椭圆的方程：1，
整理可得m4﹣4m2﹣32＝0，解得m2＝8，
即m＝±2，
所以直线l的方程为：x＝±2y，
即直线l的方程为x±2y0．
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