广东省深圳市光明区2023-2024学年高一（上）期末学业水平调研测试数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市光明区2023-2024学年高一（上）期末学业水平调研测试数学试题（含解析），共14页。

高一 数学
本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡指定区域.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．8B．6C．4D．2
3．如果“，”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．不充分也不必要条件
4．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象向上平移1个单位所得图象的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．已知幂函数过点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的定义域为
C．函数为偶函数D．函数的值域为
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.下列说法正确的是（ ）
A．对于，，有
B．如果，，则
C．，，且1至之间的整数中，有个是的倍数
D．方程共有2个不等的实数根
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角为 .
14．已知函数，若，则 .
15．已知，，求 ．
16．若，，，且，，，则的值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．求值：
(1)；
(2)
18．已知
(1)求的值；
(2)求的值.
19．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某卡车的刹车距离（单位：m）与汽车的车速（单位：）满足下列关系：（为常数）.当汽车以的速度行驶时，从刹车到停车之间的距离为.
(1)求；
(2)若该汽车在某路面上以速度行驶，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，设司机发现障碍物到踩刹车需经过，则最高速度应低于多少?
20．已知函数的最大值为.
(1)求的最小正周期和图象的对称轴；
(2)当时，求使成立的取值范围.
21．已知，函数是上的奇函数.
(1)求的值：
(2)判断的单调性并用定义证明：
(3)若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.
22．已知，
(1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小.
(2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围.
参考答案与解析
1．A
【分析】根据诱导公式与特殊角的三角函数值即可求解.
【解答】依题意，
．
故选：A.
2．A
【分析】根据对数换底公式及运算知识即可求解.
【解答】，故A正确.
故选：A.
3．A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【解答】当 ，时，，故充分；
当时，，，故不必要，
故选：A
4．D
【分析】根据根式与分式的意义求解集合A，根据对数函数的定义求解集合B，结合交集的定义和运算即可求解.
【解答】由，得且，所以；
由，得，所以.
所以.
故选：D
5．C
【分析】先求解，利用三角函数的定义求解.
【解答】因为角终边经过点，所以，
故.
故选：C.
6．B
【分析】直接根据三角函数的平移得答案.
【解答】由题意得函数的图象向右平移个单位得，
再将图象向上平移1个单位得，故B正确.
故选：B.
7．D
【分析】根据题意设，代入求解，然后计算出的体重，确定选项.
【解答】根据题意设，
当，,则，
当，则，所以
故选：D
8．C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【解答】因为，所以，
所以，
当且仅当，即取等号，故C正确.
故选：C.
9．ACD
【分析】利用幂函数的性质逐个选项分析求解即可.
【解答】将代入函数中，可得，解得，故，即A正确，
易知，故的定义域为，故B错误，
对于，故函数为偶函数，即C正确，
任取， ，使，必有，
故在单调递减，由偶函数性质得在单调递增，故当时，，当时，，故函数的值域为，故D正确，
故选：ACD
10．AC
【分析】根据不等式的基本性质即可判断AC，举例说明即可判断B，利用作差法即可判断D.
【解答】A：当时，，故A正确；
B：当时，则，故B错误；
C：当时，，故C正确；
D：当时，，则，
，则无法判断的正负，无法判断大小，故D错误.
故选：AC
11．BCD
【分析】分，，，讨论即可.
【解答】由题意，对应的二次方程有两根，
当时，开口向下，，解集为，
当时，开口向上，，解集为，
当时，开口向上，，解集为，
当时，开口向上，，解集为.
故选：BCD
12．ABC
【分析】设，其中分别是x，y的整数部分，分别是x，y的小数部分，结合高斯函数的定义即可判断AB；根据即可判断C；由得，进而，分类讨论的取值范围，求出对应的解，即可判断D.
【解答】A：设，其中分别是x，y的整数部分，分别是x，y的小数部分，
则，
所以，故A正确；
B：，所以，故B正确；
C：因为，所以，故C正确；
D：由，得，则.
当时，，此时；
当时，，代入原方程，得，
即或（舍去），解得；
当时，，代入原方程，得，即，不符合题意；
当时，，代入原方程，得，
即或（舍去），解得，
综上，原方程共有3个不同的实根，故D错误.
故选：ABC
【点拨】对于函数的新定义试题的求解：根据函数的定义，可通过举例说明不正确；也可以充分理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.
13．
【分析】设该扇形的圆心角为，半径为，利用扇形的面积和弧长公式可得出关于、的方程组，解之即可.
【解答】设该扇形的圆心角为，半径为，
因为该扇形的面积为，弧长为，则，解得.
因此，该扇形的圆心角为.
故答案为：.
14．
【分析】结合函数的定义及指数函数的单调性及对数运算即可求解.
【解答】依题得，则，
因为在上单调递增，
则，
则，即，
即.
故答案为：
15．
【分析】根据，得到的范围，再求出的值，将，再用两角差的余弦公式展开，得到答案.
【解答】因为，所以
因为，所以，
所以
.
故答案为：
【点拨】本题考查同角三角函数关系，利用两角差的余弦公式求值，属于简单题.
16．25
【分析】根据，则可得，代入，根据对勾函数的性质即可求得的值.
【解答】因为，则，
令，
则，
，
令，则，
其中时，由对勾函数性质知，
则，所以.
故答案为：25
17．(1)
(2)19
【分析】根据分数指数幂、对数的运算性质依次计算即可求解.
【解答】（1）原式；
（2）原式.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦的二倍角公式，齐次化求解即可；
（2）利用两角和的正切公式求解即可.
【解答】（1），
因为，
所以.
（2）由题，
所以，
则.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，计算即可得；
（2）由题意可得，计算即可得.
【解答】（1）由题可知，解得，
故；
（2）因为，故有，
即，即，即，
又，即，即最高速度应低于.
20．(1)最小正周期为，对称轴方程为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的最值求出的值，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可求得函数图象的对称轴方程；
（2）由可求出的取值范围，由可得出，可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【解答】（1）解：因为
，
所以，函数的最大值为，可得，
则.
由可得.
所以，函数图象的对称轴方程为.
函数的最小正周期为.
（2）解：由可得，
当时，，
由可得，解得，
故当时，使成立的取值范围为.
21．(1)4
(2)单调递增，证明过程见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得到，求出，验证后得到答案；
（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论；
（3）求出，结合（2）中函数单调性得到不等式，求出的取值范围.
【解答】（1）因为是上的奇函数，所以，
即，解得，经验证，满足要求；
（2）在R上单调递增，理由如下：
任意，且，
则，
因为在R上单调递增，所以，
，，
故在R上单调递增；
（3）在R上单调递增，，
，
由于在R上单调递增，故，解得，
实数的取值范围是.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图像与解析式，得到，即可比较与1的大小.
（2）对分类讨论，分别求出满足关于的方程有且只有一个实根时的取值，即可求出的取值范围.
【解答】（1）
由题意得，
所以，
因为，所以，
所以.
（2）若关于的方程有且只有一个实根，
即，且，有且只有一个实根，
若，则，符合；
若，则，
在时只有一个根，
对称轴为，而，
所以符合，
当时，若在时只有一个根，
令，其对称轴为，
时，，
若即，则在单调增，
而，所以不满足在时只有一个根，
若，即时，
在单调递减，在单调递增，
因为，，，且即，
所以在时不可能只有一个根，
综上：.