2022-2023学年广东省东莞市光明中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省东莞市光明中学高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知空间向量，空间向量满足且，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（5分）已知点P（a，b）与点Q（b+1，a﹣1）关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝x+1C．y＝﹣x+1D．y＝﹣x﹣1
3．（5分）已知圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x+2）2+（y﹣1）2＝4B．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
C．（x﹣2）2+（y+1）2＝4D．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
4．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱AC的三等分点，且AC＝3AE，F是棱B1C1的中点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
6．（5分）如图，把椭圆C：1的长轴AB分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，F是椭圆C的右焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|＝（ ）
A．20B．15C．36D．30
7．（5分）已知空间三点：A（0，0，0），，，设，，，则下列命题错误的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量等于
C．△ABC是等边三角形
D．
8．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，点P（x0，y0）是直线l：3x+2y﹣4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为（ ）
A．（0，）B．（0，]C．（，2）D．[，2）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以构成空间的一组基底，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基底
B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基底，则A，B，M，N四点共面
D．已知是空间的一组基底，若，则不是空间的一组基底
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．直线 xsinα﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围为[0，]∪[，π）
B．“c＝5”是“点（2，1）到直线3x+4y+c＝0距离为3”的充要条件
C．直线l：λx+y﹣3λ＝0（λ∈R）恒过定点（3，0）
D．直线y＝﹣2x+5与直线2x+y+1＝0平行，且与圆x2+y2＝5相切
（多选）11．（5分）已知点P是椭圆C：y2＝1上的动点，Q是圆D：（x+1）2+y2上的动点，则（ ）
A．椭圆C的短轴长为1B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部D．|PQ|的最小值为
（多选）12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，BC1与B1C交于点F，点E是线段A1B1上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点E，使得AF⊥BE
C．三棱锥B﹣AEF的体积为
D．直线AF与平面BCC1B1所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知点B是点A（1，2，3）关于原点对称的点，点C是点A在坐标平面xOy内的射影，则|BC|＝ ．
14．（5分）已知直线l与直线3x﹣4y+4＝0垂直，且经过点（2，﹣3），则直线l的方程为 ．
15．（5分）椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ．
16．（5分）如图所示的是一个正方体的平面展开图，AB＝1，则在原来的正方体中，直线CF与平面EMB所成角的正弦值为 ．
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，5），圆M为△ABC的外接圆．
（1）求圆M的标准方程；
（2）过点P（7，2）作圆M的切线，求切线方程．
18．已知直线l1：2x﹣y+6＝0和l2：x﹣y+1＝0的交点为P．
（1）若直线l经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直线l的方程；
（2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的方程．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，AB＝2BC＝2，PC＝3，PA＝2，E为PD的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAB；
（2）求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．
20．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0）、B（2，0），动点M满足．
（1）求M的轨迹方程；
（2）设C（4，0），点N是MC的中点，求点N的轨迹方程；
（3）设M的轨迹与N的轨迹的交点为P、Q，求|PQ|．
21．在平面直角坐标系中，椭圆C过点（，），焦点坐标为F1（，0），F2（，0）．直线n：x+1＝0交椭圆C于A，B两点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线l：x+4＝0于Q，R两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求•（O为坐标原点）的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当|AB|时，求实数t的取值范围．
2022-2023学年广东省东莞市光明中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）已知空间向量，空间向量满足且，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵，且空间向量满足，∴可设，
又，∴1•λ+2•2λ+3•3λ＝14λ＝7，得．
∴（，1，）．
故选：A．
2．（5分）已知点P（a，b）与点Q（b+1，a﹣1）关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝x+1C．y＝﹣x+1D．y＝﹣x﹣1
【解答】解：因为直线PQ的斜率为1，
所以直线l的斜率为1，
设其方程为y＝x+m，
因为线段PQ的中点坐标为（，），
所以m，解得m＝﹣1，
所以直线l的方程是y＝x﹣1．
故选：A．
3．（5分）已知圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x+2）2+（y﹣1）2＝4B．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
C．（x﹣2）2+（y+1）2＝4D．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
【解答】解：因为圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，
则半径r＝2，
所以圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝4．
故选：A．
4．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱AC的三等分点，且AC＝3AE，F是棱B1C1的中点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：取BC的中点D，连接AD，AF，DF，
因为，，
所以，
故选：D．
5．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），
故可设反射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3＝0．
∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，
∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d1，
化为24k2+50k+24＝0，
∴k，或k．
故选：D．
6．（5分）如图，把椭圆C：1的长轴AB分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，F是椭圆C的右焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|＝（ ）
A．20B．15C．36D．30
【解答】解：由题意，知P1与P5，P2与P4分别关于y轴对称
设椭圆的左焦点为F1，则|P1F|+|P5F|＝|P1F|+|P1F1|＝2a，同时|P2F|+|P3F|＝2a而|P3F|＝a
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|＝5a＝30
故选：D．
7．（5分）已知空间三点：A（0，0，0），，，设，，，则下列命题错误的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量等于
C．△ABC是等边三角形
D．
【解答】解：空间三点：A（0，0，0），，，
则（0，，1），（0，0，﹣2），（0，，1），
则（0，0，0），故A正确；
•0+0﹣2＝﹣2，在方向上的投影向量为•，故B错误；
由||＝||＝||＝2，可得△ABC为等边三角形，故C正确；
（）•（）•（）•
＝（0，，0）•（0，0，﹣2）+（0，，）•（0，，1）+（0，，）•（0，，1）
＝00，故D正确．
故选：B．
8．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，点P（x0，y0）是直线l：3x+2y﹣4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为（ ）
A．（0，）B．（0，]C．（，2）D．[，2）
【解答】解：在圆O上总存在不同的两点A，B使得AB垂直平分OP．
若P为直线l与y轴交点，得P（0，2），此时圆O上不存在不同的两点A，B满足条件；
若P为直线l与x轴交点，得P（，0），此时直线AB的方程为x，满足条件，y0＝0；
当直线AB的斜率存在且不为0时，
∵AB⊥OP，∴圆心到直线AB的距离d1，得4，
又3x0+2y0﹣4＝0，化为0，
解得：y0＜2．
∴y0的取值范围为（，2）．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以构成空间的一组基底，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基底
B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基底，则A，B，M，N四点共面
D．已知是空间的一组基底，若，则不是空间的一组基底
【解答】解：对于A：若可以构成空间的一组基底，向量与共线，，根据基底的定义，则也可以构成空间的一组基底；故A正确；
对于B：由于向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基底；故B正确；
对于C：已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基底，则这几个向量为共面向量，则A，B，M，N四点共面；故C正确；
对于D：已知是空间的一组基底，若，则不可以线性表示，故可以是空间的基底，故D错误；
故选：ABC．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．直线 xsinα﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围为[0，]∪[，π）
B．“c＝5”是“点（2，1）到直线3x+4y+c＝0距离为3”的充要条件
C．直线l：λx+y﹣3λ＝0（λ∈R）恒过定点（3，0）
D．直线y＝﹣2x+5与直线2x+y+1＝0平行，且与圆x2+y2＝5相切
【解答】解：直线 xsinα﹣y+1＝0的倾斜角θ，可得tanθ＝sinα∈[﹣1，1]，所以θ的取值范围为[0，]∪[，π），所以A正确；
“点（2，1）到直线3x+4y+c＝0距离为3”，可得．解得c＝5，c＝﹣25，
所以“c＝5”是“点（2，1）到直线3x+4y+c＝0距离为3”的充分不必要条件，所以B不正确；
直线l：λx+y﹣3λ＝0（λ∈R）恒过定点（3，0），所以C正确；
直线y＝﹣2x+5即2x+y﹣5＝0与直线2x+y+1＝0平行，，所以直线y＝﹣2x+5与圆x2+y2＝5相切，
所以D正确；
故选：ACD．
（多选）11．（5分）已知点P是椭圆C：y2＝1上的动点，Q是圆D：（x+1）2+y2上的动点，则（ ）
A．椭圆C的短轴长为1B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部D．|PQ|的最小值为
【解答】解：由椭圆C：y2＝1可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2﹣b2＝5，所以椭圆的短轴长为2，所以A不正确；
离心率e，所以B正确；
C中，，整理可得：，Δ＝22﹣40，所以两个曲线无交点，所以圆D在椭圆的内部，所以C正确；
由题意可得|PQ|的最小值为：|PQ|
，所以最小值为；所以D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，BC1与B1C交于点F，点E是线段A1B1上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点E，使得AF⊥BE
C．三棱锥B﹣AEF的体积为
D．直线AF与平面BCC1B1所成角的余弦值为
【解答】解：
对于A，（）（），故A正确；
对于B，假设存在E，设λ，0≤λ≤1，
所以（λ﹣1），
因为AF⊥BE，
所以（]（λ﹣1）220，
解得，故B错误；
对于C，因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，
所以AB∥A1B1，
所以VE﹣ABF＝VVVV，
所以VB﹣AEF＝VE﹣ABF，故C正确；
对于D，设BC中点为O，所以AO⊥BC，又三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
所以AO⊥平面BB1C1C，
所以∠AFO即AF与平面BB1C1C所成的角，
cs∠AFO，故D错误；
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知点B是点A（1，2，3）关于原点对称的点，点C是点A在坐标平面xOy内的射影，则|BC|＝ ．
【解答】解：点B是点A（1，2，3）关于原点对称的点，所以B（﹣1，﹣2，﹣3），
点C是点A在坐标平面xOy内的射影，C（1，2，0），
可得|BC|，
故答案为：．
14．（5分）已知直线l与直线3x﹣4y+4＝0垂直，且经过点（2，﹣3），则直线l的方程为 4x+3y+1＝0 ．
【解答】解：根据题意，要求直线l与直线3x﹣4y+4＝0垂直，设其方程为4x+3y+m＝0，
又由直线l经过点（2，﹣3），则有8﹣9+m＝0，解可得m＝1，
故直线l的方程为4x+3y+1＝0，
故答案为：4x+3y+1＝0．
15．（5分）椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ．
【解答】解：设椭圆的焦点分别为F1、F2，上顶点为B，下顶点为A，如图所示：
∵一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，即△ABF2为等边三角形，
∴|OF2||AB|，可得cb，
平方得c2＝3b2＝3（a2﹣c2），所以3a2＝4c2，
可得e2，得e，
故答案为：．
16．（5分）如图所示的是一个正方体的平面展开图，AB＝1，则在原来的正方体中，直线CF与平面EMB所成角的正弦值为 ．
【解答】解：将正方体的平面展开图还原成正方体，
以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则E（1，0，0），M（1，1，1），B（0，1，0），F（1，1，0），C（0，1，1），
所以，
设平面EMB的法向量为，
则，即，
令x＝1，则y＝1，z＝﹣1，
故，
所以，
所以直线CF与平面EMB所成角的正弦值为．
故答案为：．
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，5），圆M为△ABC的外接圆．
（1）求圆M的标准方程；
（2）过点P（7，2）作圆M的切线，求切线方程．
【解答】解：（1）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，5），圆M为△ABC的外接圆
，解得D＝﹣4，E＝﹣2，F＝﹣20，
所以圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣20＝0，
故圆M的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为x＝7．
当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣2＝k（x﹣7），即kx﹣y﹣7k+2＝0．
由，解得
所以切线方程为，即12x+5y﹣94＝0．
综上所述，所求切线方程为x＝7或12x+5y﹣94＝0．
18．已知直线l1：2x﹣y+6＝0和l2：x﹣y+1＝0的交点为P．
（1）若直线l经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直线l的方程；
（2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的方程．
【解答】解：（1）直线l1：2x﹣y+6＝0和l2：x﹣y+1＝0的交点为P．
取立，解得，∴P（﹣5，﹣4），
∵直线l经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，
∴设直线l的方程为4x﹣3y+c＝0．
把P（﹣5，﹣4）代入得c＝8，
∴直线l的方程为4x﹣3y+8＝0；
（2）由题意得直线m在两坐标轴上的截距均不为0，
设直线m的方程为y+4＝k（x+5），
当x＝0时，y＝5k﹣4，
当y＝0时，x，
∴|5k﹣4|•||＝5，
解得k或k，
∴直线m的方程为或y+4（x+5），即2x﹣5y﹣10＝0或8x﹣5y+20＝0．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，AB＝2BC＝2，PC＝3，PA＝2，E为PD的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAB；
（2）求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：AB＝2BC＝2，所以得BC＝1，又底面ABCD是矩形，所以AC，
又AC2+PA2＝5+4＝9＝32＝PC2，所以∠PAC＝90°，所以PA⊥AC，
又PA⊥AB，AC∩AB＝A，AC、AB⊂面ABCD，所以PA⊥面ABCD，
又BC⊂面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB⊂面PAB，AP⊂面PAB，
所以BC⊥面PAB；
（2）解：由（1）知PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD
以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则B（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，，1），C（2，1，0）
则（﹣2，0，2），（0，1，0），（2，，﹣1），
设平面PBC的一个法向量（x，y，z），
则有，令x＝1，则有y＝0，z＝1，
∴平面PBC的一个法向量（1，0，1），
设直线EB与平面PBC所成角为θ，
所以sinθ，
所以直线EB与平面PBC所成角的正弦值为．
20．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0）、B（2，0），动点M满足．
（1）求M的轨迹方程；
（2）设C（4，0），点N是MC的中点，求点N的轨迹方程；
（3）设M的轨迹与N的轨迹的交点为P、Q，求|PQ|．
【解答】解：（1）设M（x，y），则，
所以，即x2+y2＝4，
所以M的轨迹方程为x2+y2＝4．
（2）设M（x0，y0），N（x，y），
因为点N是MC的中点，
所以，即，
又因为M（x0，y0）在x2+y2＝4上，
所以（2x﹣4）2+4y2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，
所以点N的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝1．
（3）因为M的轨迹与N的轨迹分别为x2+y2＝4，（x﹣2）2+y2＝1，是两个圆．
所以两个方程作差得直线PQ所在的方程，
所以圆（x﹣2）2+y2＝1到PQ：的距离为，
所以．
21．在平面直角坐标系中，椭圆C过点（，），焦点坐标为F1（，0），F2（，0）．直线n：x+1＝0交椭圆C于A，B两点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线l：x+4＝0于Q，R两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求•（O为坐标原点）的值．
【解答】解：（1）因为椭圆C的焦点坐标为，，
则可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
又椭圆C过点（，），
则，解得：，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）设P（x0，y0），A（﹣1，t），B（﹣1，﹣t），则有，
直线AP的方程为y﹣t（x+1），
令x＝﹣4，整理得，
同理可得点R的纵坐标yR，
所以点Q，R的纵坐标之积yQ•yR•，
又∵，将x＝﹣1代入椭圆方程，得：，
∴yQ•yR3，
∴•（﹣4，yQ）•（﹣4，yR）＝16+yQ•yR＝16﹣3＝13，
即•的值为13．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当|AB|时，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）椭圆的离心率e，∴a2＝4b2，
则椭圆方程为，即x2+4y2＝4b2．
设N（x，y），则|NQ|，
当y＝﹣1时，|NQ|有最大值为，即4，
解得b2＝1，∴a2＝4，
∴椭圆方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y＝k（x﹣3），
由，整理得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4＝0．
由Δ＝242k4﹣16（9k2﹣1）（1+4k2）＞0，得k2，
x1+x2，x1x2，
可得
即有（x1+x2，y1+y2）＝t（x，y），
则x（x1+x2）•，y（y1+y2）[k（x1+x2）﹣6k]，
由点P在椭圆上，得4，化简得36k2＝t2（1+4k2）①，
又由|AB|•|x1﹣x2|，即（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＜3，
将x1+x2，x1x2代入得（1+k2）[（）2﹣4]＜3，
化简得（8k2﹣1）（16k2+13）＞0，
则8k2﹣1＞0，即k2，则k2，②
由①，得t29，联立②，可得3＜t2＜4，
解得﹣2＜t或t＜2．
则实数t的取值范围是（﹣2，）∪（，2）．
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