【期末全真模拟】北师大版数学八年级上册满分攻略：期末精选50题（压轴版）

这是一份【期末全真模拟】北师大版数学八年级上册满分攻略：期末精选50题（压轴版），文件包含期末全真模拟北师大版数学八年级上册满分攻略期末精选50题压轴版解析版docx、期末全真模拟北师大版数学八年级上册满分攻略期末精选50题压轴版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共109页， 欢迎下载使用。

期末精选50题（压轴版）

一、单选题
1．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当点P在AB上运动时，即0≤x≤2，如图1，

作PH⊥AD于H，AP=x，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，
∴∠A=60°，AM=1，
∴∠APH=30°，
在Rt△APH中，AH=AP=x，
PH=AH=x，
∴y=AM•PH=×1×x=x；
当点P在BC上运动时，即2＜x≤4，如图2，

作BE⊥AD于E，AP+BP=x，
∵四边形ABCD为菱形，∠B=120°，
∴∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD，
∴∠ABE=30°，
在Rt△ABE中，AE=AB=1，
PH=AE=，
∴y=AM•BE=×1×=；
当点P在CD上运动时，即4＜x≤6，如图3，

作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x，
∵菱形ABCD中，∠B=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠DPF=30°，
在Rt△DPF中，DF=DP=（6-x），
PF=DF=（6-x），
∴y=AM•PF=×1×（6-x）=（6-x）=-x+，
∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段：当0≤x≤2，图象为线段，满足解析式y=x；当2≤x≤4，图象为平行于x轴的线段，且到x轴的距离为；当4≤x≤6，图象为线段，且满足解析式y=-x+．
故选B．
2．（2021·福建上杭·八年级期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：a=2019×2021-2019×2020
=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
=（2021+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）2
=20202，
∴b=2020；
∵，
∴c＞b＞a．
故选：A．
3．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，正方形A，B，C，D的面积分别为，，，，且，，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，由题意可得：
∵直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，
∴S1+S2=S5=k2S2，
S3+S4=S6=k2S4，
∴S1+S2+S3+S4=k2（S2+S4），
∵S1+S2+S3+S4= S5+S6= k2 S6=k2（S3+S4），
∴S2=S3，
∵S5=k2S2，S6=k2S4，
∴S1=S5-S2=k2S2-S2=（k2-1）S2，
S3=S6-S4=k2S4-S4=（k2-1）S4，
即，，
即，
∵S2=S3，
∴.
故选B.

4．（2020·安徽芜湖·八年级期末）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）

A．27° B．59° C．69° D．79°
【答案】D
【详解】解：如图所示：
∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3＋∠C＋∠CDB＝180°，
∴∠3＋∠C＝180°−74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴20°＋2∠3＋106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°-∠3＝79°．
故选：D．

5．（2021·湖北宣恩·八年级期末）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：直线向上平移个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，，
交点在第二象限，
，
解得：．
故选：．
6．（2018·江西南昌·八年级期末）已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是　　

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、，连接、，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，，，
，
，
又，，
．
故选：．

7．（2020·黑龙江·甘南县八一学校八年级期末）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
【答案】C
【详解】情况一：如下图，△ABC是锐角三角形

∵AD是高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形

在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9
∴BC=4
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故选：C
8．（2020·浙江瑞安·八年级期末）“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点，．若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵在△EAB和△CAM中 ，
，
∴△EAB≌△CAM（SAS），
∴，
∴,
∴,
,
设，则，，，，
∴；
∵ 在Rt△ACB和Rt△DCG中，
，
Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），
∴;
∴．
故选D．
二、填空题
9．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图，，点、分别在射线、上，点是线段的一点，且，与关于直线对称，与相交于点，当是直角三角形时，=______．

【答案】4或
【详解】解：∵BC＝AC＝OC＝2，
∴AB＝BC＋AC＝4．
分两种情况讨论：
①当时，如图1，
此时∠ADO＝90°，
由折叠可知，
，
∵OC=CA，
∴，
∴，
∠COA＝∠CAO，
∴，
∵，
∴，
∴
∴

②当时，如图2，过点O作OH⊥AB，于点H，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
在Rt△OHC中，OC=2，
∴，
∴
在Rt△OHB中，
综上所述：为：4或
故答案为：4或．

10．（2020·江西抚州·八年级期末）如图，，……，按照这样的规律下去，点的坐标为__________．

【答案】(3029，1009)
【详解】从表中可知，各点坐标规律是：往右横坐标依次是+2，+1，+2，+1
∴下标从奇数到奇数，加了3个单位
往右纵坐标是-1，+2，-1，+2
∴下标从奇数到奇数，加了1个单位，

∴的横坐标为3029
纵坐标为
∴(3029,1009)
故答案为：(3029,1009)
11．（2018·广东白云·八年级期末）如图，OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An-1An=1，∠OA1A2=∠OA2A3=∠OA3a4=…=∠OAn-1An=90°（n＞1，且n为整数）．那么OA2=_____，OA4=______，…，OAn=_____．

【答案】 2
【详解】解：∵，，
∴，
则，，……
所以，
故答案为：，2，．
12．（2019·山东东昌府·八年级期末）如图，是内的一点，，点分别在的两边上，周长的最小值是____．

【答案】
【详解】解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON，连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件且△PQR的周长等于MN，
由轴对称的性质可得：OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝∠MOP＋∠NOP＝2∠AOB＝90°，
∴△MON为等腰直角三角形．
∴MN＝，
所以△PQR周长的最小值为，
故答案为：．

13．（2018·福建厦门·八年级期末）有一组数据：．将这组数据改变为．设这组数据改变前后的方差分别是,则与的大小关系是______________．
【答案】
【详解】解：设数据，，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数也为，
，




，
．
故答案为．
14．（2020·江苏·徐州市西苑中学八年级期末）如图，已知点M（-1，0），点N（5m，3m+2）是直线AB：右侧一点，且满足∠OBM=∠ABN，则点N的坐标是_____．

【答案】
【详解】解：在x轴上取一点P（1，0），连接BP，
作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，
∴∠BOP=∠BPQ=∠PRQ=90°，
∴∠BPO=∠PQR，
∵OA=OB=4，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵M（-1，0），
∴OP=OM=1，
∴BP=BM，
∴∠OBP=∠OBM=∠ABN，
∴∠PBQ=∠OBA=45°，
∴PB=PQ，
∴△OBP≌△RPQ（AAS），
∴RQ=OP=1，PR=OB=4，
∴OR=5，
∴Q（5，1），
∴直线BN的解析式为y＝−x+4，
将N（5m，3m+2）代入y＝−x+4，得3m+2=﹣×5m+4
解得 m＝，
∴N．
故答案为：

15．（2021·重庆綦江·八年级期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．綦江区某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成、 、三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包含条品牌毛巾、条品牌毛巾；乙礼包含条品牌毛巾、条品牌毛巾， 条品牌毛巾；丙礼包含条品牌毛巾、条品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和，5月1日当天，超市对、 、三个品牌毛巾的售价分别打折、折、折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少元，若、 、三个品牌的毛巾原价都是正整数，且品牌毛巾的原价不超过元，则小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包，应该付_______________________元．
【答案】
【详解】解：设、 、三种品牌的毛巾的单价分别为每条元，元，元，则
且为正整数，
消去可得：



所以小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱：

（元）
故答案为：元
16．（2020·四川青羊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(﹣1，3)，点A(﹣5，0)，点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为_____．

【答案】(﹣2，﹣4)
【详解】解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（2，﹣1），

取AA′的中点K（﹣，﹣），
直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．
设直线PB的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣1，3），K（﹣，﹣）代入得，
解得
∵直线BK的解析式为y＝7x+10，
由，
解得，
∴点P坐标为（﹣2，﹣4），
故答案为(﹣2，﹣4)．
17．（2021·全国·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为____．

【答案】
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，

．
四边形是正方形，
，．
，
，
，
．
在和中，
，

，．
一次函数的图象经过正方形的顶点和，设点，
，，
，，
，
，
．
，，
在中，由勾股定理，得．
，
．
故答案为：．
18．（2021·江西石城·八年级期末）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，若△ABD是等腰直角三角形，则线段CD的长为_____．
【答案】或或
【详解】解：（1）当AB＝BD时，作DE⊥BE，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠CAB＝∠DBE，
在△BED和△ACB中，
，
∴△BED≌△ACB（AAS），
∴BE＝AC＝4，DE＝BC＝2，
∴CD＝＝；

（2）如图所示，当AB＝AD时，作DE⊥AE，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠ABC＝∠DAE，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE＝AC＝4，AE＝BC＝2，
∴CD＝＝；

（3）如图所示，当AD＝BD时，作DE⊥AC，DF⊥CB延长线于F，∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF，
∴AC+BC＝AE+CE+CF﹣BF＝2CE．
∴CE＝3，
∴CD＝．
综上所述，CD的长是或或，
故答案为：或或.

19．（2018·四川雅安·八年级期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是__________．

【答案】5
【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，
正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，，
得出，，，
，故，
，
所以，
故答案为：5．
三、解答题
20．（2021·河北元氏·八年级期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出 = ；
（2）利用上面的解法，请化简：．
【答案】（1）（2）9
【详解】（1）∵；

归纳总结得：（n≥1）
故答案为；
（2）
＝
=
=-1+10
=9．
21．（2021·江苏广陵·八年级期末）如图，正比例函数与一次函数的图像相交于点，过点作轴的垂线，且，交一次函数的图像于点，交正比例函数的图像于点，连接．
（1）求值；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）当时，在正比例函数与一次函数的图像上分别有一动点、，是否存在点、，使是等腰直角三角形，且，若存在，请直接写出点、的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，或，．
【详解】（1）∵点P（4，n）在图象上，
∴，
∴P（4，3），
∵点P（4，3）在图象上，
∴，
解得：．
（2）如图，过P作PD⊥l于D，
∵,
∴一次函数解析式为，
∵过点作轴的垂线，交的图像于点，交的图像于点，
∴B（t，-t+7），C（t，），
∵，P（4，3），
∴BC=-t+7-=，OA+PD=4，
∴S△OBP=S△OBC+S△PBC====，
∴与之间的函数关系式为：．

（3）如图，当点N在直线上方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为Q、P，
∵t=2，
∴C（2，），
∵△CMN是等腰直角三角形，，
∴CN=MN，
∴∠PNM+∠CNQ=90°，
∵∠QCN+∠CNQ=90°，
∴∠QCN=∠PNM，
在△QCN和△PNM中，，
∴△QCN≌△PNM，
∴PN=QC，QN=PM，
∵t=2，
∴C（2，），
设M（m，），N（n，-n+7），
∴PN=，=，QN=n-2，PM=，
∴，
解得：，
∴，=，
∴M（，），N（，）．

如图，当点N在直线下方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为H、G，
同理可得：CH=NG，HN=MG，
设M（m，），N（n，-n+7），
∴CH=，NG=，HN=，MG==，
∴，
解得：，
∴5，，
∴M（，5），N（，）．

综上所述：存在点M、N，坐标为M（，），N（，）或M（，5），N（，）．
22．（2017·湖北房县·八年级期末）如图，A(3,3)、C(0,2)，点B(b，0)是x轴正半轴上一动点，点D是点A关于x轴的对称点．
(1)写出点D的坐标并用b表示四边形AODB的面积S；
(2)连结CD交x轴于P，试求AP与CP的和；
(3)在点B从左向右移动过程中，点B处于哪些位置时△OBD是特殊的三角形？写出点B的坐标并分别说明理由．

【答案】（1）,S=3b；（2）AP+CP=；（3）当点B处于（3,0）和（6,0）时，△OBD是特殊的三角形，理由见解析
【详解】（1）∵点D是点A关于x轴的对称点
∴D（3，-3）
由已知可得△OBD和△AOB关于x轴对称
∴S= 2S△AOB==3b．
（2）如图，

由已知和（1）可得，AP=PD
又CD==
∴AP+CP=CD=;
（3）当点B处于（3,0）,（,0）和（6,0）时，△OBD是特殊的三角形．理由如下：
∵D（3，-3）
∴∠DOB=45°
①当 B处于（3,0）时，△OBD是等腰直角三角形，且∠OBD=90°；
②当 B处于（6,0）时，△OBD是等腰直角三角形，且∠ODB=90°；
③当 B处于（,0）时，△OBD是等腰三角形，且OD=OB；
23．（2020·安徽无为·八年级期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则______，_______；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
（3）当时，化简_______．
【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．
【详解】解：（1）∵，
∴a＝2，b＝1；
（2）∵是的算术平方根，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
，
，
，
．
24．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：

（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
【答案】(1)33°；(2) ．
【详解】解：(1)∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线
∴∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
(2) ∠P=
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵，
∴∠P=
25．（2017·内蒙古鄂托克旗·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，则的度数是 ；
（2）连接，若，的周长是．
①求的长；
②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）50° （2）① 6cm；②存在点P，点P与点M重合，△PBC周长的最小值为
【详解】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°－70°－70°＝40°
∵MN垂直平分AB交AB于N
∴MN⊥AB, ∠ANM＝90°，
在△AMN中，
∠NMA＝180°－90°－40°＝50°；
（2）①如图所示，连接MB，
∵MN垂直平分AB交于AB于N
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM＝BC＋AC＝
又∵AB＝AC＝8cm，
∴BC＝14 cm－8 cm＝6cm；
②如图所示，
∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；
∴△MBC的周长就是△PBC周长的最小值，
∴△PBC周长的最小值＝△MBC的周长＝．


26．（2020·四川利州·八年级期末）阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究一：如图1．在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现．理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴，；
∴，
∴

（1）探究二：如图2中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．
（2）探究二：如图3中，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？
【答案】（1），理由见解析；（2）．
【详解】（1），理由如下：
∵BO和CO分别是与的平分线，
∴，，
又∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴
即
（2）∵BO与CO分别是∠CBD与∠BCE的平分线，
∴∠OBC=∠CBD，∠OCB=∠BCE
又∵∠CBD与∠BCE都是△ABC的外角，
∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠OBC=∠CBD=（∠A+∠ACB），∠OCB=∠BCE=（∠A+∠ABC），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
∴
27．（2020·山东崂山·八年级期末）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．

（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，
①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．
②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．
（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
【答案】（1）∠ACB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30，60；（3）60°或72°．
【详解】（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵图2中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵图3中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为：30，60；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）；
②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；．
∴∠ABO为60°或72°．
28．（2020·浙江浙江·八年级期末）如图甲，射线与长方形的边交于点，与边交于点，①②③④分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域②③位于直线上方），是位于以上四个区域上的点．
（1）如图乙，当在区域①，猜想图中的关系并证明你的结论．

（2）猜想当分别在区域②③④，的关系，请直接写出答案，不要求证明．
【答案】（1）∠EPF=∠PEB+∠PFC，证明见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）∠EPF=∠PEB+∠PFC，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC；
（2）当点P在区域②时，如图所示，

∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHB．
∵∠PHB是△PEH的外角，
∴∠PHB=∠EPF+∠PEB，即∠PFC=∠EPF+∠PEB．
当点P在区域③时，如图所示，

∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHB，
∵∠PEH+∠PEB=180°，
∴∠PEH=180°-∠PEB，
∵∠EPF+∠PEH+∠PHB=180°，即∠EPF+（180°-∠PEB）+∠PFC=180°，
∴∠PEB=∠EPF+∠PFC；
当点P在区域④时，如图所示，

∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；
29．（2020·湖北武昌·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点.
如图1，连接，求的面积；
如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标；
如图3，在的条件下，连接，过点作的垂线交轴于点，点在直线上，在平面中存在一点，使得以为一边，为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标.

【答案】（1）11；（2）；（3）或，或，
【详解】解：（1）对于直线，令，则，故点；
对于，令，则，令，即，解得：，故点、，
则，，
的面积；
（2）过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，

设点，点，
，故，
，，
，
，，
，
，，
即，，解得，
故点；
（3）直线的表达式为，
而，则设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为，
设点，点，
点向右平移2个单位向上平移个单位得到，
同样点向右平移2个单位向上平移个单位得到，
当点在点的下方时，
则且①，
，即②，
联立①②并解得：或，
故点的坐标为（不合题意得已经舍去）；
当点在点的上方时，
同理可得，点的坐标为，或，．
综上，点的坐标为或，或，．
30．（2020·河北景县·八年级期末）如图，，，．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l（其解析式为，且直线l与x轴所夹的锐角为45°）也随之移动，设移动时间为t秒．

（1）当时，求l的解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）求出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．
【答案】(1) ；(2) 6＜t＜9；(3) 2秒或3秒.
【详解】解：(1)当时，此时P点的坐标为(0，5)，将(0，5)代入解析式中
得到：，解得：
故时，求l的解析式为：.
故答案为：.
(2)当直线l经过点时，将点代入解析式中
得到：，解得：，此时l的解析式为：
令，∴此时P点的坐标为
又∵运动的速度为1个单位每秒，故此时运动了7-1=6秒；
当直线l经过点时，将点代入解析式中
得到：，解得：，此时l的解析式为：
令，∴此时P点的坐标为
又∵运动的速度为1个单位每秒，故此时运动了10-1=9秒；
故当6＜t＜9时点M，N位于l的异侧.
故答案为：6＜t＜9.
(3) 作M点关于l的对称点M’，如下图所示：

连接MM’与x轴交于点F，直线l与x轴交于E点，直线l与MM’交于点H
则有MM’⊥HE，∴∠EHF=90°
∵直线l与x轴所夹的锐角为45°
∴∠MFE=90°-45°=45°
∴直线MM’解析式中的k=1，设MM’解析式为y=x+n，
代入点M(4,3)，解得n=-1
故直线MM’的解析式为：y=x-1
∴设点M’的坐标为()，
由H是M和M’的中点可知：
H点坐标为，即H
情况一：当M’位于x轴上时，即，即时，
求得H点坐标为(
又H点在直线l上，故将H点坐标代入直线l的解析式中
求得，此时l的解析式
∴此时P点坐标为(0,4)
故时间t=(4-1)÷1=3秒；
情况二：当M’位于y轴上时，即时
求得H点坐标为(
又H点在直线l上，故将H点坐标代入直线l的解析式中
求得，此时l的解析式
∴此时P点坐标为(0,3)
故时间t=(3-1)÷1=2秒；
故答案为：2秒或3秒.
31．（2020·广西·南宁市第四十四中学八年级期末）已知点及在第一象限的动点，且，设的面积为．

（1）用含的式子表示，并写出自变量的取值范围；
（2）求时点坐标；
（3）在（2）的基础上，设点为轴上一动点，当的值最小时，求点坐标．
【答案】（1）S=12-2x，0＜x＜6；（2）（1，5）；（3）（0，4）
【详解】解：（1）∵x+y=6，
∴y=6-x，
∴S=4（6-x）÷2=12-2x，
∵12-2x＞0，
∴x＜6，
∴0＜x＜6；
（2）∵s=10，
∴10=12-2x，
解得：x=1，
∴y=6-1=5，
∴s=10时，P点坐标（1，5）；
（3）如图所示．
作出A的对称点A′，连接PA′，此时PA′与y轴交于点Q，此时PQ+AQ的值最小，
∵A点坐标为（4，0），
∴A′（-4，0），
∴将（-4，0），（1，5）代入y=kx+b，
∴，解得：，
∴y=x+4，
∴x=0时，y=4，
当PQ+AQ的值最小时，Q点坐标为：（0，4）．

32．（2021·河南西平·八年级期末）定义：图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B，
（1）关于l的对称函数y＝与直线x＝1交于点C，如图．
①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）；
②P为关于l的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标；
（2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围．

【答案】（1）①﹣2，2，2；②点P坐标为或或；（2）．
【详解】解：（1）①当时，令，即，解得，此时满足题意，故．
当时，令，即，解得，此时满足题意，故．
当时，，故．
故答案为：，2，2．
②∵，，，
∴AB=4，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴或．
当，且时，令，即，解得，此时与点C重合，故舍去．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
故点P坐标为或或．
（2）∵关于m的对称函数的解析式为
∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象．
∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵对于，令y=0，即，解得x=2，
∴x=2必须在的范围之内．
∴．
∵对于，令y=0，即，解得，
∴必须在的范围之内．
∴．
∴．
∵直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
33．（2020·北京西城·八年级期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作．
例如：点与的“直角距离”．
（1）已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是__________；
（2）如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．
若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全；
（3）已知直线，点是x轴上的一个动点．
①当时，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围；
②当时，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段上任意一点H都满足，直接写出t的取值范围．

【答案】（1）P1，P4；（2）见解析；（3）①-1≤k≤；②-2≤t≤0或t=2
【详解】解：（1）∵点，
∴dP1O=|-1|+0=1，dP2O=，dP3O=，dP4O=，
∴与原点O的“直角距离”等于1的点是P1，P4；
故答案为：P1，P4；
（2）设P（x，y），
∵点P与原点O的“直角距离”dOP=1，
∴|x|+|y|=1，
当x＞0，y＞0时，x+y=1，即y=-x+1，
当x＞0，y＜0时，x-y=1，即y=x-1，
当x＜0，y＞0时，-x+y=1，即y=x+1，
当x＜0，y＜0时，-x-y=1，即y=-x-1，
如图1所示，

（3）①当t=3时，点C的坐标为（3，0），
由（2）可得：dCD=1，则点D在正方形EFMN边上，如图2，

∴F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），
又∵点D在直线y=kx+2，又直线y=kx+2过点（0，2），
由图2可知：当直线y=kx+b过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，
把点E的坐标（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=，
把点F的坐标（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，
故k的取值范围是：-1≤k≤，
②当k=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，
∴E（1，0），F（0，2），
设H（m，-2m+2）（0≤m≤1），
dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，
∵1≤dCH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，
又0≤-2m+2≤2，
即-1≤|m-t|≤4，
当t≤m时，有-1≤m-t≤4，
∵0≤m≤1，
∴-4≤t≤2，
又t≤m，
∴-4≤t≤1，
当t＞m时，有-1≤t-m≤4，
∵0≤m≤1，
∴-1≤t≤5，
又t＞m，
∴1≤t≤5，
当-4≤t＜-2时，dCH＞4，不符合题意，
当0＜t＜2时，dCH＜1，不符合题意，
当2＜t≤5时，dCH＞4，不符合题意，
综上，t的取值范围为：-2≤t≤0或t=2．
34．（2021·上海黄浦·八年级期末）在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
（3）如果的长为，求梯形的面积．

【答案】（1）3；（2）；（3）或
【详解】解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、，

梯形中，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，，
，
，
如图2，过点作，与、分别相交于、，

，，
，，
，
，
关于的函数解析式为；
（3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，
，
当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，
，
综上所述，梯形的面积为或．
35．（2021·福建龙岩·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上（不与重合），连接交于点，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式；
（3）在图2中，时，求的面积．

【答案】（1）y=-2x+6；（2）6t；（3）
【详解】解：（1）由题可求A（0，6），B（-3，0），
∴ AO=6，BO=3，
∵AO=BC，
∴BC=6，
∴ CO=BC-BO=3，
∴ C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点C与A代入，可得，
∴，
∴ y=-2x+6；
（2）过点P作PM⊥x轴交于点M，

∵点P的横坐标为t，
∴ P（t，-2t+6），
∴ PM=-2t+6，
∴ S△PBC=×BC•PM=×6×（-2t+6）=-6t+18，
S△ABC=×BC•AO=18，
∴ S=S△ABC-S△PBC=6t；
（3）由题（1）得，
∵，
∴ ，
设，则，
∴，或（舍去），
∴，
∴点D（0，），
设直线BP的解析式为y=kx+b，将点B与D代入，可得，
∴ ，
∴ y=x+；
∵，
∴ 直线AC与直线BP交于P的横坐标：，
S△ABP =6t=；
36．（2021·辽宁皇姑·八年级期末）如图在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x＋4与y轴交于点A，与直线l2：y＝kx＋b交于点C（6，n），直线l2：与y轴交于点B（0，﹣4）．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点D（m，0）是x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线，交l1于点M，交l2于点N，当S△AMB＝2S△CMB时，请直接写出线段MN的长．

【答案】（1）；（2）或8．
【详解】解：（1）由题意，将点代入直线得：，
，
将点代入直线得：，
解得，
则直线的函数表达式为；
（2）由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
对于函数，
当时，，即，
，
又，，
，，
分以下三种情况：
①如图，当时，

则，
所以此时不可能满足；
②如图，当时，则，，

，
，即，
解得，符合题设，
则；
③如图，当时，则，，

，
，即，
解得，符合题设，
则，
综上，线段的长为或8．
37．（2020·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴正半轴上．

（1）的平分线与的外角平分线交于点，求的度数；
（2）设点，的坐标分别为，，且满足，求的面积；
（3）在（2）的条件下，当是以为斜边的等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）45°；（2）1；（3）（1.5，1.5）或（-0.5，0.5）
【详解】解：（1）∵AC平分∠OAB，BD平分∠EBA，
∴∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA，
∵∠EBA=∠OAB+∠AOB，
∴∠DBA=（∠OAB+∠AOB）=∠C+∠CAB，
∴∠C=（∠OAB+∠AOB）-∠CAB
=（∠OAB+∠AOB）-∠OAB
=∠AOB
=45°；

（2）∵且满足，
∴

∴a=2，b=1，
∵点，的坐标分别为，，
∴OA=2，OB=1，
∴=；
（3）作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴与F，

∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
∵DE⊥x轴于E，DF⊥y轴与F，∠AOB=90°，
∴四边形OEDF是矩形，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDB=∠FDA，
∴△DEB≌△DFA，
∴BE=AF，DF=DE，
∴四边形OEDF是正方形，
∴OE=OF，
设BE=AF=x，则OA-x=OB+x,
∵OA=2，OB=1，
∴x=0.5，OE=OF=1.5，
∴的坐标为（1.5，1.5），
同理可得PD1=0.5，OP=1.5-1=0.5，
D1的坐标为（-0.5，0.5），
即的坐标为（1.5，1.5）或（-0.5，0.5）．
38．（2021·湖北武昌·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，连接，，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【详解】解：（1）∵a2-2ab+2b2-16b+64=0，
∴（a-b）2+（b-8）2=0，
∴a=b=8，
∴b-6=2，
∴点C（2，-8）；
（2）∵a=b=8，
∴点A（0，6），点B（8，0），点C（2，-8），
∴AO=6，OB=8，
如图1，过点B作PQ⊥x轴，过点A作AP⊥PQ，交PQ于点P，过点C作CQ⊥PQ，交PQ于点Q，

∴四边形AOBP是矩形，
∴AO=BP=6，AP=OB=8，
∵点B（8，0），点C（2-8），
∴CQ=6，BQ=8，
∴AP=BQ，CQ=BP，
又∠APB=∠BCQ
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴AB=BC，∠BAP=∠CBQ，
∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠OAD+∠ADO=∠OAD+∠BAC+∠ABO=90°，
∴∠OAC+∠ABO=45°；
（3）如图2，过点A作AT⊥AB，交x轴于T，连接ED，

∴∠TAE=90°=∠AGE，
∴∠ATO+∠TAO=90°=∠TAO+∠GAE=∠GAE+∠AEG，
∴∠ATO=∠GAE，∠TAO=∠AEG，
又∵EG=AO，
∴△ATO≌△EAG（AAS），
∴AT=AE，OT=AG，
∵∠BAC=45°，
∴∠TAD=∠EAD=45°，
又∵AD=AD，
∴△TAD≌△EAD（SAS），
∴TD=ED，∠TDA=∠EDA，
∵EG⊥AG，
∴EG∥OB，
∴∠EFD=∠TDA，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
∴EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD，
∴EF=AG+OD．
39．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）如图，已知点A（a，0），点C（0，b），其中a、b满足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四边形OABC为长方形，将长方形OABC沿直线AC对折，点B与点B′对应，连接点C交x轴于点D．

（1）求点A、C的坐标；
（2）求OD的长；
（3）E是直线AC上一个动点，F是y轴上一个动点，求△DEF周长的最小值．
【答案】（1）A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）；（2）OD的长为3；（3）△DEF周长的最小值为4．
【详解】解：（1）∵|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，
∴|a﹣8|+（b﹣4）2＝0，
∵|a﹣8|≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣8＝0，b﹣4＝0，
∴a＝8，b＝4，
∴A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）；
（2）∵A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4），
∴OA＝8，OC＝4，
∵四边形OABC为长方形，
∴AB＝OC＝4BC＝OA＝8，∠B＝∠COA＝∠OCB＝∠OAB＝90°，
由折叠性质可知：A＝AB＝4，C＝CB＝8，∠＝∠B＝90°，
设OD＝x，CD＝y，
则AD＝OA﹣OD＝8﹣x，D＝C﹣CD＝8﹣y，
Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，
即x2+16＝y2①，
Rt△AD中，AD2＝D2+A2，
即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+16②，
联立①②式解得：，
∴OD＝3，
故OD的长为3．
（3）如图所示，作点D关于y轴对称点为H，作点D关于直线AC对称点G，连接EG，HF，HG，

∵△AC为△ACB沿AC翻折得到，点D在BC上，
∴点D关于AC对称点G在BC上，
由对称性可知：CG＝CD，HF＝DF，
∵OD＝3，CD＝5，
∴D点的坐标为（3，0），
又∵H的坐标为（﹣3，0），
∴CG＝CD＝5，
∴G点的坐标为（5，4），
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝HF+EG+EF≥GH，
当点H，F，E，G四点共线时，DE+DF+EF长取得最小值为：
GH＝＝4，
故△DEF周长的最小值为4．
40．（2020·湖北丹江口·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2-4a+4+＝0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧，且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与 x轴交于点D，BC与y轴交于点E，连接 DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF=BC；
②直接写出点C到DE的距离．

【答案】（1）a＝2，b＝-1；（2）满足条件的点C（2，1）或（1，-1）；（3）①证明见解析；②1．
【详解】（1）∵a2−4a+4+＝0，
∴(a−2)2+＝0，
∵（a-2）2≥0，≥0，
∴a-2=0，2b+2=0，
∴a=2，b=-1；
（2）由（1）知a=2，b=-1，
∴A（0，2），B（-1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，
∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°，
Ⅰ、当∠BAC=90°时，如图1，

∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=CB，
过点C作CG⊥OA于G，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠BAO+∠CAG=90°，
∴∠BAO=∠ACG，
在△AOB和△BCP中，
，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG=OA=2，AG=OB=1，
∴OG=OA-AG=1，
∴C（2，1），
Ⅱ、当∠ABC=90°时，如图2，

同Ⅰ的方法得，C（1，-1）；
即：满足条件的点C（2，1）或（1，-1）
（3）①如图3，由（2）知点C（1，-1），
过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，

在△BOE和△CLE中，
，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE=CE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAO+∠BEA=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴CF＝BC；
②点C到DE的距离为1．
如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，

由①知BE=CF，
∵BE=BC，
∴CE=CF，
∵∠ACB=45°，∠BCF=90°，
∴∠ECD=∠DCF，
∵DC=DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴CK=CH=1．
41．（2021·山东泗水·八年级期末）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）a= ；b= ；直角三角形AOC的面积为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．

【答案】（1）6；8；24；（2）存在时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，见解析
【详解】解：(1) 解：（1）∵，
∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
∴S△ABC=6×8÷2=24,
故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24
(2) ∵
由时,
∴存在时,使得△ODP与△ODQ的面积相等
(3) ）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°
∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠DOC=∠DCO
∴∠OAC=∠AOD
∵y轴平分∠GOD
∴∠GOA=∠AOD
∴∠GOA=∠OAC
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC
∴∠FHC=∠ACE
同理∠FHO=∠GOD，
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．

42．（2020·浙江浙江·八年级期末）已知中，，，中，，，连接．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当在上，在的延长线上，直线、相交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是中点，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12
【详解】解：（1）证明：
，，
，
在和中，，，，
，
；
（2）证明：在和中，，，，
，
，
为、的外角，
，
，
；
（3）如图3，设，
是的中点，则，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
即，
即，解得，
则，
而，解得：，
则．
43．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．
例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　 ，i4＝　 ，i+i2+i3+…+i2021＝　 ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；
（3）已知a+bi＝（a，b为实数），求的最小值．
【答案】（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．
【详解】（1）i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，
i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，
设S＝i+i2+i3+…+i2021，
iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，
∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，
∴S＝，
故答案为﹣i，1，；
（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）
＝3﹣i+4﹣4﹣9
＝﹣i﹣6；
（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，
∴a＝4，b＝3，
∴＝，
∴的最小值可以看作点（x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，
∵点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离，
∴A'B＝＝25，
∴的最小值为25．
44．（2020·重庆沙坪坝·八年级期末）如图，在中，，点D是线段BC边上的一点，连结AD，点E在射线BC上，过E作交AD于点F．
（1）如图1，当D是BC的中点，且时，若，求CE的长；
（2）如图2，当时，延长EF交AB于点G，取AD的中点H，连结EH，过点A作，交EH的延长线于点M，猜想AM与BG之间的数量关系并证明．


【答案】（1）；（2） BG=
【详解】解：（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，，
∴AC＝BC＝4，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD=BC＝2，
在Rt△ACD中
∴AD＝ ＝ ；
∵，，
∴∠ACD=∠DFE=90°，
∵
∴DC=DF=2，
∵∠ADC=∠EDF
∴△ADC≌△EDF
∴AD=DE=
∴CE=DE-DC=-2

（2）过G作GN⊥BC于N，连接AE，
∵AC⊥BE，CD＝CE，
∴AE＝AD，
∴∠EAC＝∠DAC，
∵EF⊥AD，
∴∠EFD＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠DEF，
∴∠CAD＝∠DEF，
∴∠EAC＝∠DEF，
∵∠AGE＝∠B+∠BEG，∠EAG＝∠BAC+∠EAC，∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴AE＝EG，
∴AD＝EG，
∵∠ACD＝∠ENG＝90°，∠CAD＝∠DEF，
∴△ACD≌△ENG（AAS），
∴CD＝GN，
在Rt△BNG中，∠B=45°
∴BG＝GN＝CD=
∵
∴∠M=∠DEH
∵H是AD的中点
∴AH=DH,
∵∠AHM=∠DHE
∴△AMH≌△DEH
∴AM=DE
∴BG=．
45．（2021·四川武侯·八年级期末）[阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．
解得x＝，
∴BD＝．
∴AD＝＝．
[知识迁移]
（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△，连接CD′，若AD＝，求线段的长．

【答案】（1）i）12；ii）14或4；（2）
【详解】（1）i）解：设BD=x，则CD=14-x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．
又∵AB＝13，AC＝15，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2．
解得：x＝5，
∴BD＝5，
∴AD＝＝；
ii）分两种情况：①当点D在线段BC上，如图，

∵AD＝12，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC，
∴BD=，DC=，
∴BC= BD+ DC=5+9=14，
②当点D在CB的延长线上，如图，则BC=DC-BD=9-5=4；

（2）∵AB＝，AC＝，AD＝，AD⊥BC，
∴BD=，
DC=，
过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△，
∴BD′=BD=，
设BF=x，D′F=y，
则x2+y2=()2，
又∵，即：4x+2y=25，
∴x=或（舍），
∴y=5，即：D′F=5，
∴CF=BF+BD+CD=++5=15，
∴=．

46．（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．

（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠DCA，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG=∠CAF，
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA）；
（3）∵△ACF≌△BCG，
∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，
∴CG=CF=4，
过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴GM=CG=，FN=CF=，
∴S△ACD=S△ACF+S△CDF
=S△BCG+S△CDF
=BC•GM+CD•FN
=（BC+CD）
=BD
=．
47．（2021·浙江南浔·八年级期末）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．
（1）尝试：如图1，在的正方形网格图形中，已知点、点是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求、是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；
（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）推理：如图2，已知与均为等腰直角三角形，，连结，，求证：四边形是等线四边形；
（3）拓展：如图3，已知四边形是等线四边形，对角线，交于点，若，，，．求的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）作图：答案不唯一，画出一幅图即可．

（2）证明如图2，连结，．
与均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
四边形是等线四边形．

（3）解：如图3，分别以、为底作等腰三角形、，顶点均为点．
于是有，，，
，

，

是等边三角形．
同理，也是等边三角形．
，．
，

，
．
过点作于点，则．
，，
由勾股定理算得，．

48．（2020·湖北汉阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－4x与直线y＝4相交于点A，点P（a，b）为直线y＝4上一动点，作直线OP．
（1）当点P在运动过程中，若△AOP 的面积为8，求直线OP的解析式；
（2）若点P在运动过程中，若∠AOP＝45°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是直线OP上一动点，且位于x轴上方，连接MA．设点M的横坐标为m，记△MAO的面积为S，求S与m的函数关系式．

【答案】（1）y=-x或y=x；（2）（，4）或（，4）；（3）S=m（m＞0）或S=m（m＜0）
【详解】解：（1）∵y=-4x与y= 4相交于点A，
令y=4，解得：x=-1，
∴A(-1，4)，
∵S△AOP=AP·yA，即8=AP·4，
∴AP=4，
∴P（-5，4）或P（3，4），
4÷（-5）=-，4÷3=，
∴直线OP的解析式为y=-x或y=x；
（2）①当点P在点A右侧时，
如图，作AC⊥OA交OP于点C，作CD⊥AP于点D，
∵∠AOP=45°，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴AO=CO，
∵∠CAD+∠OAD=90°，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠CAD=∠AOB，又∠ABO=∠CDA=90°，
∴△AOB≌△CAD（AAS），
∴AB=CD=1，OB=AD=4，
∴C(3，5) ，又点C在直线OP上，
则直线OP解析式为y=x，
令y=4，解得：x=，
∴P（，4）；

②当点P在点A左侧时，如图，作AC⊥OA交OP于点C，作CD⊥AP于点D，
同理：AO=CO，
∵∠CAD+∠OAB=90°，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠CAD=∠AOB，又∠ABO=∠CDA=90°，
∴△AOB≌△CAD（AAS），
∴AB=CD=1，OB=AD=4，
∴C(-5，3) ，又点C在直线OP上，
则直线OP解析式为y=-x，
令y=4，解得：x=，
∴P（，4），
综上：点P的坐标为（，4）或（，4）；

（3）如图，当M在直线OP：y=x上第一象限时，作AF⊥x轴于F，作ME⊥x轴于点E，
设M（m，m），
则AF=4，ME=m，EF=m+1，
∴S△AOM=S梯形AFEM-S△AOF-S△EOM
=（m+4）（m+1）-×4×1-m×m=m（m＞0），

同理可知当M在直线OP：y=-x上第二象限时，
S△AOM=S梯形AFEM-S△AOF-S△EOM
=（m+4）（1-m）-×4×1-（-m）×（m）=m（m＜0），

49．（2021·重庆一中八年级期末）如图，已知点、，线段且点C在y轴负半轴上，连接．

（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图1，点P是直线上一点，若，求满足条件的点P坐标；
（3）如图2，点M为直线上一点，将点M水平向右平移6个单位至点N，连接、、，求的最小值及此时点N的坐标．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为（，）或（，）；（3）的最小值为；点N的坐标为（，）．
【详解】解：（1）设直线AB为，
把点、，代入，则
，解得：，
∴；
（2）∵线段，且点C在y轴负半轴上，
∴点C的坐标为（0，4），
∵点A为（4，0），
∴直线AC的解析式为：；
∵点B到直线AC的距离就是△ABC和△ABP的高，
∴△ABC和△ABP的高相同，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点P在直线AC上，则设点P为（x，x4），
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为（，）或（，）；
（3）根据题意，∵点B与点M的水平距离为，
∴在点N的右边水平距离为处作直线，如图：

令点为（11，2），此时有，
∵，
∴，
∴当点、N、C三点共线时，使得有最小值，
最小值为：；
∵点（11，2），点C为（0，4），
∴直线的解析式为：，
，
∴有最小值为：；
∵点N的横坐标为：，
∴点N的纵坐标为：，
∴点N的坐标为：（，）．
50．（2021·黑龙江南岗·八年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点．
（1）如图1，求点的坐标；
（2）如图2，点为线段上一点，点为轴负半轴上一点，连接，，且，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的垂线，分别交轴，于点，，过点作于点，连接，若平分的周长，求的值．

【答案】（1）点的坐标为；（2）；（3）12
【详解】解：（1）∵直线经过点，
∴，∴
∴当时，，
∴点的坐标为；
（2）如图1，过点作轴于点，

图1
∵点在直线上，点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∵，，
∴∴
设，∵，∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）作轴于点，延长至点，使，连接，，过点作的垂线交的延长线于点．

图2
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵轴，∴，
∵，，
∴
∵平分的周长，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．