上海市闵行第三中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份上海市闵行第三中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（1～6题每空4分，7～12题每空5分，共54分）
1. 函数的定义域是______.
2. 函数（且）恒过定点_____________.
3. 函数，则______.
4. 已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.
5. 已知，，则用a、b表示__________.
6. 已知，则最小值为______
7. 函数的奇偶性是___________.
8. 若函数在上是严格减函数，则实数取值范围是_____________.
9. 已知函数，若方程有3个不同的根，则实数的取值范围是_______.
10. 已知函数是奇函数，且当时，，则当时，_____________．
11. 若函数值域为，则的取值范围为____________．
12. 某同学向老师请教一题：当时，函数图像恒在直线的上方（不含该直线），求实数的取值范围.老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号.且方程在上有解”，根据老师的提示可得的取值范围是_________.
二、选择题（13～14题每空4分，15～16题每空5分，共18分）
13. 下列四组函数中，与表示同一函数是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
14. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（ ）
A. B.
C. D.
15. 若函数是定义在上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
16. 定义域为且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，恒有；（2）若，，则有成立，这样的函数，我们称为“函数”，下列判断：
①若为“函数”，则；
②若为“函数”，则在上为严格增函数；
③函数在上是“函数”；
④函数在上是“函数”.
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
三、解答题（本大题共5小题，共78分）
17. 已知集合，.
（1）求A和B；
（2）若，且，求的取值范围.
18. 已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
19. 某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.
（1）分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益多少万元？
20. 已知定义域为的函数为奇函数.
（1）求函数解析式
（2）证明函数单调性
（3）若关于不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
21. 定义在区间上的函数满足：若对任意，，都有，则称是上的上凸函数．
（1）判断函数是否为上凸函数？为什么？
（2）若函数在上是上凸函数，求取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
闵行三中2023学年高一年级第一学期12月月考
数学试卷
一、填空题（1～6题每空4分，7～12题每空5分，共54分）
1. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的意义计算即可.
【详解】由题意可知，
即函数的定义域为.
故答案为：
2. 函数（且）恒过定点_____________.
【答案】
【解析】
【分析】令指数，即即可得解.
【详解】当时，，所以函数（且）恒过定点.
故答案为：.
3 函数，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】由解析式先求，再求即得.
【详解】因为，所以.
故答案为：2
4. 已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.
【答案】-1
【解析】
【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.
【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
5. 已知，，则用a、b表示__________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解．
【详解】，
故答案为：．
6. 已知，则的最小值为______
【答案】32
【解析】
【分析】根据基本不等式结合指数的运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案：.
7. 函数的奇偶性是___________.
【答案】奇函数
【解析】
【分析】利用对数函数的定义域以及函数奇偶性的定义求解.
【详解】由函数，可得，
解得，
所以，所以，
，
所以函数是奇函数，
故答案为:奇函数.
8. 若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由复合函数单调性以及对数函数的定义域即可得解.
【详解】因为函数关于单调递增，函数在上是严格减函数，
所以关于在上是严格减函数，且，
所以当且仅当，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
9. 已知函数，若方程有3个不同的根，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】将方程的根的个数转换为函数图象的交点的个数，利用指数函数一次函数单调性画出函数图象，通过平移直线来找到满足题意的实数的取值范围即可.
【详解】由题意，
根据（复合）函数单调性画出函数大致图象如图所示，
由题意方程有3个不同的根，则函数图象有三个不同的交点，
通过平移直线发现，函数图象有三个不同的交点当且仅当，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
10. 已知函数是奇函数，且当时，，则当时，_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，且，当时，，代入即可，注意时的情况可．
【详解】由函数是奇函数，则，且，
又当时，，
则当时，，则，①
又当时不满足①式，
所以．
故答案为：．
11. 若函数值域为，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】先设函数值域为，再根据对数函数定义域和值域的关系，可得，再分和两种情况讨论求解．
【详解】设函数值域为，
由函数值域为，
则，
当时，的值域为，符合题意；
当时，由，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
12. 某同学向老师请教一题：当时，函数图像恒在直线的上方（不含该直线），求实数的取值范围.老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号.且方程在上有解”，根据老师的提示可得的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由参变量分离法可得出，利用已知条件求出函数在上的最小值，由此可得出实数a的取值范围.
【详解】因为，所以，由可得，
由题意恒成立，当且仅当时取等号；且方程在上有解，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，因此实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；（2），；
（3），；（4），.
二、选择题（13～14题每空4分，15～16题每空5分，共18分）
13. 下列四组函数中，与表示同一函数是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC而言，说明两函数的定义域不同即可排除，对于D而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则一样，由此即可得解.
【详解】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意；
对于B；，定义域分别为，故B不符题意；
对于C，，的定义域分别为，故C不符题意；
对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意.
故选：D
14. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象特征，结合开口方向以及的正负，即可确定与1的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，二次函数开口向上，则，，，，为减函数，符合题意，
对于B，二次函数开口向上，则，，此时不是指数函数，不符合题意，
对于C，二次函数开口向下，则，，此时函数 不是指数函数，不符合题意，
对于D，二次函数开口向下，则，，指数函数增函数，不符合题意，
故选：A
15. 若函数是定义在上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.
【详解】函数是上的偶函数，在上是严格减函数，则在上是严格增函数，，
不等式化为：或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
16. 定义域为且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，恒有；（2）若，，则有成立，这样的函数，我们称为“函数”，下列判断：
①若为“函数”，则；
②若为“函数”，则在上为严格增函数；
③函数在上是“函数”；
④函数在上是“函数”.
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据“函数”的定义，对四个判断逐个分析可得答案.
【详解】对于①，若为“函数”，由（1）可知，由（2）可知，，即，故，故①正确；
对于②，当恒成立时，满足（1）（2），但是在上不是严格增函数，故②不正确；
对于③，令，，则，，此时，即不满足（2），所以函数在上不是“函数”，故③不正确；
对于④，当时，为增函数，所以，所以满足（1），
当时，，所以满足（2），故函数在上是“函数”，故④正确.
综上所述：①④正确，②③不正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对函数新定义的正确理解和运用是解题关键.
三、解答题（本大题共5小题，共78分）
17. 已知集合，.
（1）求A和B；
（2）若，且，求的取值范围.
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】（1）分别根据指数函数、对数函数单调性以及运算性质化简运算即可得解.
（2）由题意当且仅当，从而，解不等式即可得解.
【小问1详解】
由题意，，
解得，即.
【小问2详解】
由（1）可知，
若，则，所以当且仅当，解得，所以的取值范围.
18. 已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】(1)将变形为,再令,利用换元法转换为二次函数求值域;
(2)方法一:将不等式整理为对恒成立,再利用二次函数的性质分类讨论最值求解;方法二:将不等式变形为对恒成立,则求出的最大值即可得解.
【详解】(1),
令,则时,
此时,,
,,
所以时,函数的值域为;
(2)对于恒成立,
方法一:
即对恒成立,
即对恒成立,
设,,
则,
①当,即时,
所以;
②当,即时,
,
所以;
综上所述,.
方法二:
即对恒成立,
对恒成立,
设,,
在上单调递增,
,
.
【点睛】本题考查复合函数求值域,考查含参不等式恒成立问题,属于中档题.在解决含参不等式恒(能)成立问题时,常见的方法有分类讨论法和分离参数法.
19. 某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.
（1）分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
【答案】（1）
（2）当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法可得；
（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得最大年收益.
【小问1详解】
由题意设投入万元，稳健型产品的年收益，风险型产品的年收益，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，
所以
【小问2详解】
设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，
则，
令，则，
当，即时，，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
20. 已知定义域为的函数为奇函数.
（1）求函数解析式
（2）证明函数单调性
（3）若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）是上的增函数
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质即求得，反过来记得按奇函数的定义检验一下即可求解.
（2）按照单调性的定义、指数函数单调性即可求解.
（3）首先由函数的单调性、奇偶性将不等式转化为，通过换元、基本不等式、分离参数即可求解.
【小问1详解】
由题意函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得，
当时，，，且函数的定义域为，
即此时是上的奇函数，满足题意.
【小问2详解】
由（2）可知，不妨设，
则，
因为，所以，
从而，即，
所以是上的增函数.
【小问3详解】
由（1）可知是上的奇函数，
所以，
由（2）可知是上的增函数，
所以由题意，令，
所以，
而在上单调递增，
所以上单调递减，
从而，
故，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第一问求解析式之间根据奇函数性质求得，但一定要注意检验，第二问比较常规，第三问的关键是首先根据单调性、奇函数性质“去括号”，然后分离参数、基本不等式、换元运算即可得解.
21. 定义在区间上的函数满足：若对任意，，都有，则称是上的上凸函数．
（1）判断函数是否为上凸函数？为什么？
（2）若函数在上是上凸函数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）是凸函数，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据凸函数的定义，结合基本不等式推导证明即可；
（2）根据凸函数的定义化简可得，结合与对数函数的单调性求解即可；
（3）化简可得在时恒成立，再结合分析即可.
【小问1详解】
函数是上凸函数．理由如下．
设，，欲证函数是上凸函数，需证，即证，即证，
由不等式知识可得上式显然成立，故函数是上凸函数．
【小问2详解】
由函数在上是上凸函数，
可得对任意，，．
又，所以．
【小问3详解】
当时，不等式恒成立，
即，即恒成立，
可得在时恒成立．
因为，所以，，所以．
由，及，可得，所以．
故．