2022-2023学年上海市闵行第三中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市闵行第三中学高二上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_____.

【答案】平行或异面

【分析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交．

【详解】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交，

∴分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面．

故答案为平行或异面．

【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．

2．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是___________.

【答案】

【分析】由圆柱的底面直径即为轴截面的边长，进而可以求解.

【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，

所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为，

所以圆柱的底面的面积为.

故答案为：.

3．如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线与所成角大小为________.

【答案】

【分析】推导出，从而是直线与所成角（或所成角的补角），由，能求出正方体中直线与所成角大小．

【详解】把六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，如图，

，

是直线与所成角（或所成角的补角），

，

，

正方体中，直线与所成角大小为．

故答案为：．

【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

4．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=__．

【答案】

【详解】试题分析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．

在直角三角形ODA中，因为，所以．则．

【解析】异面直线及其所成的角

点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题

5．方体中，，，点E为棱AB的中点，则与平面所成角的大小为___________（结果用反三角函数值表示）

【答案】

【分析】取中点，连接，根据线面角的定义得即为所求，解三角形即可得结果.

【详解】取中点，连接，

由于且，所以四边形为平行四边形，

所以，

由长方体的性质可得面，

所以即为与平面所成的角，

因为，，所以，

即，

所以与平面所成角的大小为，

故答案为：.

6．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_________．

【答案】10

【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解.

【详解】由题意，正四棱柱如下图：

不妨设正四棱柱底面边长为，，

由已知条件可得，，

又因为底面，所以对角线与底面所成角为，

因为对角线与底面所成角的余弦值为，，

所以，解得，从而，

故该正四棱柱的表面积.

故答案为：10.

7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.

【答案】36

【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.

【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对.

如下图所示：

①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个；

②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个.

综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个.

故答案为.

8．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________．

【答案】②③

【分析】设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由勾股定理即可判断，说明④错误．

【详解】设AC∩BD=O,如图，

①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，

又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；

②∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，②正确；

③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，

又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC，③正确；

④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，

∴PD2+CD2=PC2，

∴④△PCD为直角三角形，④错误，

故答案为：②③

9．棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】当拼成一个三棱柱时，有两种情况；拼成一个四棱柱时，有四种情况，分别求出其全面积比较大小，解关于的不等式即可.

【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，，

设棱、、的中点分别为、、.

原三棱柱的全面积（）.

由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：

当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②：

图①的全面积（），

图②的全面积（），

当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥：

图③的全面积（），

图④的全面积（），

图⑤的全面积（），

图⑥的全面积（），

由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（），

则（），解得：，

故a的取值范围是.

10．如图，在正四棱柱中，，，点为上的动点，则的最小值为____________.

【答案】

【解析】将平面与平面延展至同一平面，由、、三点共线可求得的最小值.

【详解】如下图所示，将平面与平面延展至同一平面，

，延展后，

，由勾股定理可得.

由图形可知，当、、三点共线时，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

11．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都是4cm，圆柱的底面半径长是正六棱柱底面上内切圆半径的，若为了增强毛坯的抗蚀能力需给螺帽镀铜，则需镀铜的面积是___________.（不计损耗）

【答案】

【分析】需镀铜的表面有圆柱的侧面积、正六棱柱挖去圆柱后剩余上底和下底面积及正六棱柱的侧面积，利用对应公式分别求解即可.

【详解】由题意得，正六棱柱底面为正六边形，其内切圆半径长即过其中心的6个全等的正三角形的高，则内切圆半径长为，则圆柱的底面半径长为，

则圆柱的侧面积，

正六棱柱挖去圆柱后剩余上底面积，

正六棱柱的侧面积，

所以需镀铜的表面面积，

故答案为：.

12．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是___________．

【答案】##

【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可.

【详解】作的中点，连接，，，

因为，，，所以，

又因为，所以，

所以四边形是平行四边形，

因为，，，

所以，且，

所以平行四边形为边长为2的菱形，且，

所以和都是正三角形，

所以，，

又因为，、平面，

所以平面，

过作于点，

因为平面，所以，

则为异面直线与的公垂线段，

因为平面平面，

平面平面，，平面，

所以平面，平面，则，

又因为，所以为等腰直角三角形，

所以，即异面直线与的距离为，

故答案为：.

二、单选题

13．如图是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积是（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【分析】将平面图形的直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则，即可求得答案.

【详解】根据斜二测画法的规则，将平面图形的直观图恢复为原图，如图示：

则 ，故这个平面图形的面积为 ,

故选：A.

14．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题：

①若，，，则；②若，，则；

③若，，，则；④若，，，则

其中正确的是（    ）

A．①② B．③④ C．①④ D．②④

【答案】D

【分析】根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.

【详解】对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误；

对于②，若，，则，故②正确；

对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误；

对于④，若，，，则，故④正确；

故选：D

【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.

15．在棱长为的正方体中，P为左侧面上一点，已知点P到的距离为，P到的距离为，则过点P且与平行的直线相交的面是（    ）

A．ABCD B． C． D．

【答案】A

【分析】由图可知点在内，过作，且，，在平面中，过作，，由平面与平面平行的判定可得平面平面；连接，交，连接，再由平面与平面平行的性质得，在中，过作，且，可得，由此说明过点且与平行的直线相交的面是平面.

【详解】如图，

由点到的距离为，到的距离为2，可得在内，

过作，且，，

又平面，平面，所以平面；

在平面中，过作，，

又平面，平面，所以平面；

因为，、平面，则平面平面．

连接，交于，连接，

则由平面平面，

平面平面，平面平面，则，

在中，过作，且，则．

∵线段在四边形内，在线段上，∴在四边形内．

所以过点P且与平行的直线相交的面是平面．

故选：A．

16．如图，三棱锥中，是等边三角形，且，点在棱上，点在棱上，并使，其中，设为异面直线与所成的角，为异面直线与所成的角，则的值为（    ）

A． B． C． D．与有关的变量

【答案】C

【分析】取中点，根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直的判定可得平面；作，由平行线分线段成比例可证得，得到，，可知；由平行关系和线面垂直的性质可证得，由此可得结果.

【详解】取中点，连接，作，交于，连接，

，为中点，；

为等边三角形，，又，平面，

平面，

，，，

，，，

，平面，平面，又平面，

，又，，即，.

故选：C.

三、解答题

17．已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则

(1)求证直线EF与直线AB是异面直线；

(2)求EF和AB所成的角.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1)利用异面直线的定义进行证明，既不平行也不相交即可得证

(2)取BD的中点O，连接OF，OE，将异面直线EF和AB所成的角转化为OF与EF的夹角，在中求出即可

【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OF，OE，又E，F分别为棱BC，AD的中点，

OF为中位线，即，由，推出不平行，

平面中，平面中，平面，又平面，

所以与没有交点，综合得出与既不平行也不相交，所以直线EF与直线AB

是异面直线，从而得证.

（2），则EF和AB所成的角可转化为与AB所成的角即为，由四面体

的所有棱长为2，所以四面体为正四面体，过点做平面的投影，点也是底面

正三角形的中心连接并延长交与点，

，又平面，，由，平面，

.，，可得.由题意得，则，

，即EF和AB所成的角为

18．如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.

(1)求证：直线平面；

(2)求直线与平面之间的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，可证得四边形为平行四边形，由此可得，由线面平行的判定可证得结论；

（2）由线面平行关系可知所求距离即为点到平面的距离，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】（1）连接交于点，连接，

，，四边形为平行四边形，

，，

四边形，为平行四边形，分别为中点，

，，四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面.

（2）由（1）知：平面，则直线与平面之间的距离即为点到平面的距离，

，为边长为的等边三角形，

；

又，，

设点到平面的距离为，

则，解得：，

直线与平面之间的距离为.

19．如图，直三棱柱中，，.

(1)求直线与平面所成的角；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）取的中点，连接和，结合条件可证明平面，由直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成的角,由解直角三角形即可求解；

（2）取的中点，连接，，先求得，再由二面角的定义找到二面角的平面角，由解直角三角形即可求解.

【详解】（1）取的中点，连接和，如图所示：

因为，所以，

在直三棱柱中，平面，

又平面，所以，

因为，、平面，

则平面，又平面，

所以，则在中，，

即直线与平面所成的角为，

在直三棱柱中，平面，

又因为平面，所以，

因为，所以，即，

则，，

所以，则，

又，所以，

故直线与平面所成的角为.

（2）取的中点，连接，，

在直三棱柱中，平面，

又因为平面，所以，

因为，，

由（1）知，，所以，，

又平面，平面，

所以是二面角的平面角；

又，，，、平面，

所以平面，平面，则，

又，

在中，，

则，故二面角的大小为.

20．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面ABCD，，．

(1)求PC与平面PAD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(3)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)存在；

【分析】（1）先证明平面，可得为PC与平面PAD所成角，从而可求解.

（2）取的中点，连接,则,即(或其补角)为异面直线AE，从而可求解.

（3）连接,过点作交于点,可证明平面，即为点D到平面PAG的距离，然后由等面积法可求解.

【详解】（1）由平面ABCD，且平面ABCD，则

底面是矩形，则 ,且，所以平面

为在平面上的射影，所以为PC与平面PAD所成角

在直角三角形中，

,则

所以，即PC与平面PAD所成角的大小为

（2）取的中点，连接

由分别为的中点，则

所以(或其补角)为异面直线AE与PC所成角

在中，

所以

所以异面直线AE与PC所成角的大小为

（3）在BC边上存在G为中点，即时满足条件.

连接,过点作交于点

由平面ABCD，平面,所以平面平面

平面平面，所以平面

即为点D到平面PAG的距离，即

设，则

解得

在BC边上存在G为中点，即时满足条件.

21．如图所示，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．

（1）求证：；

（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.

【分析】（1）借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；

（2）借助余弦定理和类比推理的思想进行推证.

【详解】（1），，，

平面，

．

又，

．

（2）在斜三棱柱中，有，

其中为平面与平面所成的二面角的大小．

证明：平面，

上述的二面角的平面角为．

在中，

，

，

由于，，，

．

【点晴】本题是一道将推理证明与空间几何体中的有关知识有机整合的综合问题,考查的是合情推理中的类比推理这种简单数学思想方法.同时也检测空间线线、线面垂直的位置关系的等判定定理等内容的综合问题.空间线面的位置关系的推证问题一定要探寻判定定理的条件,严格运用判定定理的推证步骤进行推证.关于类比推理,当得出结论后,仍需运用逻辑推理进行证明,以便验证得出的结论.