2024届上海市闵行区闵行中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市闵行区闵行中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】利用集合的补集和交集运算求解.
【详解】解：因为集合
所以
又，
所以，
故答案为：
2．已知是关于x的方程的一个根，则q= .
【答案】4
【分析】根据实系数一元方程复数根互为共轭复数，可求得另一个根，在利用韦达定理结合复数的乘法运算求出.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以时方程的另一个根，
则.
故答案为：4.
3．已知曲线在点处的瞬时变化率为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据函数，求导，再令求解即可.
【详解】解：由可得，
由得，
，所以点坐标为，
故答案为：
4．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用零点分段法，分三种情况进行求解，得到答案.
【详解】，当时，，解得，故解集为，
当时，，解集为，
当时，，解得，故解集为，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
5．在中，内角的对边分别是，若，则 .
【答案】/
【分析】首先根据正弦定理角化边公式得到，再结合余弦定理求解即可.
【详解】因为，所以，因为，
所以，
因为，所以.
故答案为：
6．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ．
【答案】80
【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.
【详解】由题意，令，则，解得，
则的展开式第项，
令，解得，所以.
故答案为：
7．已知数列满足，，则的前10项和 .
【答案】75
【分析】根据题意分别求，进而求.
【详解】由题意可知：，，，，
，，，，
，，
所以的前10项和.
故答案为：75.
8．圆锥曲线的光学性质应用非常广泛，如图所示，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点） .
【答案】
【分析】根据离心率可得，结合双曲线的定义结合勾股定理运算求解.
【详解】由得：，，
设，则．
所以，解得或（舍去），
所以，
且，所以．
故答案为：.
9．若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】转化为图象交点问题，由直线与双曲线性质求解
【详解】即，表示双曲线的一支，
表示过点斜率为的直线，
由题意得与的图象恰有两个交点，即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，
当直线与双曲线相切时，，联立后由解得，当时，切点在轴下方，舍去，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，
当直线与双曲线的两个交点都在轴上方时，
故答案为：
10．已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 .
【答案】7
【分析】根据已知等式，结合函数的定义进行求解即可
【详解】因为，所以，此时是一个函数；
因为，所以，，的值为0，1，其中一个，这样的函数共有个；
所以符合条件的函数共有个.
故答案为：.
11．已知平面向量，，常数.向量，且对任意，总有成立，则实数的取值范图是 .
【答案】,,
【分析】由已知可得，，，求出的夹角正余弦值，再结合向量，由向量的坐标运算得向量它们的终点共线；最后结合的几何意义，构造出的不等式即可．
【详解】因为，
所以，，，令，则，
所以，故．
过点，的直线的方程为：，即．
又，故对应的点落在直线上，
，其几何意义为点到点的距离．
对任意，总有成立，只需，
即为点到直线的距离，
故，即，所以，或．
故答案为：,,．
12．已知函数与函数的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为，则实数 .
【答案】
【分析】根据题意可得两函数均是以点为对称中心的函数，结合对称中心的性质建立等式即可求解.
【详解】不妨记，，
函数，与是奇函数且关于坐标原点对称，
所以两个函数均是以点为对称中心的函数，
所以三个交点其中一个必是点，另外两个点关于点对称，
不妨记，设，
所以，即，解得或，.
故答案为：.
【点睛】求出函数对称中心，利用函数对称中心的性质是求解本题的关键.
二、单选题
13．设是定义域为R的函数，且“，”为假命题，则下列命题为真的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据含有一个量词的命题的真假关系即可求解.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以命题“”为真命题，
故选：.
14．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立D．
【答案】C
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.
【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；
事件B含有的基本事件有8个：，
其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，
即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D不正确.
故选：C
15．已知数列满足，那么（ ）是等差数列
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件进行转化，从而求得正确答案.
【详解】由得，
∴，，
故，即有，
故数列是等差数列.
故选：D
16．对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论：
①点的轨迹是一个圆； ②点的轨迹是一条直线；
③当时，有最大值； ④当，时，．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由，将已知条件看作到直线、距离之和的倍，
且已知圆在平行线、之间得，再结合各项描述分析正误.
【详解】令，可看作到直线、距离之和的倍，
由的值与无关，
所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间，
而两线距离为，
当时，的轨迹是平行于、直线，①错误；
当时,的轨迹不是直线,②错误
③时，，即有最大值，正确；
④时，则，故，④错误.
所以正确的有③.
故选：
三、解答题
17．圆柱的轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上一点，DC与AE成60°角，.
(1)求直线AC与平面BCE所成角的正弦值；
(2)求点B到平面AEC的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证明出∠ACE是AC与平面BCE所成的角，解三角形求出；
（2）利用等体积法求出点B到平面AEC的距离.
【详解】（1）由题意可知,AB是底面圆的直径,所以AE⊥BE.
因为DC//AB,DC与AE所成的角为60°，所以AB与AE所成的角也为60°,即∠BAE=60°.因为正方形ABCD的边长为2，所以，.
由题意可知,BC⊥平面ABE,平面ABE，所以BC⊥AE.
因为,平面BCE，所以AE⊥平面BCE，
所以∠ACE是AC与平面BCE所成的角.
因为，即AC与平面BCE所成角的正弦值为.
（2）设点B到平面AEC的距离为d.
三棱锥的体积为.
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，所以.
由等体积法可得：，所以，即，解得：.
18．已知，向量，，且.
(1)若函数的最小正周期是，求的单调增区间；
(2)已知，若是函数的图像的一条对称轴，求的周期和值域.
【答案】(1)
(2)函数的周期为为且，值域为
【分析】（1）化简得到，根据最小正周期得到，求出函数解析式，整体法求出函数的递增区间；
（2）根据是函数的一条对称轴，结合，求出，得到函数的最小正周期，从而得到函数的周期，再求出函数值域.
【详解】（1）
，
因为的最小正周期是，所以，解得，
故，
令，解得，
故的单调增区间为；
（2），
因为是函数的图像的一条对称轴，
所以，
解得，
因为，只有当时，满足要求，
故，
故的最小正周期为，故函数的周期为且，
因为，所以的值域为.
19．甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
【答案】(1)甲的基础工资收入总量元；乙的基础工资收入总量元
(2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析
【分析】（1）易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可
（2）根据题意可得，再求解分析的单调性，并计算时的取值范围即可
【详解】（1）甲的基础工资收入总量
元
乙的基础工资收入总量
元
（2），
，，
设，即，解得
所以当时，递增，当时，递减
又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．
四、证明题
20．如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为1；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，求出a，b得椭圆的方程作答.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立结合中点问题推理计算作答.
（3）利用（2）中信息求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，设，
由消去x得：，，
则，而C是AB的中点，即有，于是，
满足，因此，
所以点C的横坐标是定值，该定值为1.
（3）由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数，
则由（1）得直线的方程为，即，
由消去x得：，，
设，则，
，点到直线：的距离，
由C是AB的中点得的面积，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，的面积取得最大值，此时.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
21．记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明：函数与不存在“S点”；
(2)若函数与存在“S点”，求实数的值；
(3)已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论；
（2）求导，设“S点”为，解方程组得结论．
（3）设“S点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围.
【详解】（1）因为，，则，，
假设存在函数与存在“S点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“S点”.
（2）因为与，则与，
设“S好点”为，满足，，
所以.
（3）由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，
解得，
由，又，故解得，
令，则，在上增函数，
，时，，且当时，，
所以，即．
【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“S点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题．