河北省承德市承德县第二中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河北省承德市承德县第二中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了答案请用黑色钢笔或签字笔填写， 下列分式是最简分式的是， 下列各式计算正确的是， 化简的结果是等内容，欢迎下载使用。

·全册·
注意事项：1.本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟.
2.答题前请将装订线左侧的项目填写清楚.
3.答案请用黑色钢笔或签字笔填写.
一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶.下列四幅标识图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 惊蛰B. 芒种C. 立秋D. 大雪
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，是解题的关键．
根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
故选：D．
2. 下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 1，2，3C. 3，3，3D. 3，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理判定三角形的形状是解题的关键．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 根据勾股定理逆定理求解作答即可．
【详解】解：A中，三条线段能构成直角三角形，故符合要求；
B中，三条线段不能构成直角三角形，故不符合要求；
C中，三条线段不能构成直角三角形，故不符合要求；
D中，三条线段不能构成直角三角形，故不符合要求；
故选：A．
3. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反证法的应用，熟练掌握反证法的意义及步骤是解题的关键．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行判断作答即可．
【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则，
∴首先应该假设．
故选：B．
4. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查最简分式，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式，据此逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、是最简分式，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
5. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，积与商的算术平方根的含义，熟记运算法则是解本题的关键；根据算术平方根以及积与商的算术平方根的含义逐一化简即可得到答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，运算正确，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
6. 如图，在中、点D是的中点，连接．若，则的长是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．
【详解】解：在中、点D是的中点，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
7. 如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加条件不可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，由可证，故A不符合要求；
当时，由可证，故B不符合要求；
当时，由可证，故C不符合要求；
当，无法使，故D符合要求．
故选：D．
8. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．正确的解分式方程是解题的关键．
将代入得，，然后解分式方程即可．
【详解】解：将代入得，，
∴，
解得，，
经检验，当时，，
∴是原分式方程的解，
故选：B．
9. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，分式的除法，同底数幂的除法．熟练掌握积的乘方，分式的除法，同底数幂的除法是解题的关键．
先计算积的乘方，然后进行除法运算即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：C．
10. 将一平板电脑保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示．已知，当调整时，观看角度最佳，此时的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故选：A．
11. 已知线段a，c，，求作：，使，，．
以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A. ①②③④B. ①③②④C. ①③④②D. ①②④③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可．
【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接，
则正确作图步骤的顺序是①③②④，
故选：B．
12. 如图，在中，点D为上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为的中点．
嘉嘉说：若①②同时成立，可证明；
淇淇说：若②③同时成立，也可以证明．
针对两人的说法，下列判断正确的是（ ）
A. 只有嘉嘉说的对B. 只有淇淇说的对C. 两人的说法都对D. 两人的说法都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键．若①②同时成立，可证，进而可判断嘉嘉的正误；若②③同时成立，可证，进而可判断淇淇的正误．
【详解】解：若①②同时成立，
∴，
∵，，，
∴，
∴，嘉嘉正确，故符合要求；
若②③同时成立，
∴，
∵，，，
∴，
∴，淇淇正确，故符合要求；
故选：C．
13. 如图，以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理得，，然后计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
故选：C．
14. 某商场分两次购进应季服装，第一次花费元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．第二次花费比第一次多了元购进服装，且第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了元．设第一批服装的单价是x元，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键．
根据服装的数量关系列分式方程为，然后判断作答即可．
【详解】解：设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元．
依题意得，，即，
故选：D．
15. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．确定角度之间的数量关系是解题的关键．
由图可知，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由图可知，所在的三角形与所在的三角形全等，
∴，，
∴，
故选：A．
16. 题目：“如图，点A在的边上，，且点A到的距离为12，在射线上取一点B，使，求的长度.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，过点A作于点C，则，根据勾股定理求出，再求出，分情况即可求出出的长，进而可判断出正确选项．
【详解】解：如图，过点A作于点C，
则，
，，且点B可能在或处，
，，
，，
综上，的长度为4或14，
则甲、丙答案合在一起才完整，
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，1819小题各4分，每空2分，把答案写在题中横线上）
17. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
18. “■”覆盖了两个分式之间的运算符号：．
（1）若“■”表示的是“＋”，其运算结果为______；
（2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，则x的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查的是分式的加法与除法运算，利用平方根的含义解方程，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）按照同分母分式的加法运算法则计算即可；
（2）先计算分式的除法运算，再建立方程，利用平方根的含义解方程即可．
【详解】解：（1）；
（2），
而，
∴，
解得：，经检验符合题意；
故答案为：（1）；（2）；
19. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，点G是上的点，点H是上的点．
（1）与是否相等？______（填“是”或“否”）；
（2）若，则______．
【答案】 ①. 是 ②.
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质定理，判断作答即可；
（2）证明，可求，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵是的角平分线，，，
∴，
故答案为：是；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先利用二次根式的性质化简，利用乘法运算律计算乘法即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
21. 嘉嘉和淇淇在玩猜式子游戏，其规则如下：题目中“□”代表一个单项式，请你根据如下不完整的解题过程，求出“□”所代表的单项式，并完成本题的解答．
【答案】，，，过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据通分的步骤得到“□”，再对原式进行化简，最后代入计算即可．
【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，
，
，
，
原式
；
当，原式．
22. 已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．

（1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______；
（2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由．
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的应用，二次根式的加减运算，无理数的大小比较，理解题意是关键；
（1）设正方形的边长为，可得，再解方程即可；
（2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论．
【小问1详解】
解：设正方形的边长为，
∴，而，
∴，
∴正方形的边长为；
小问2详解】
不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：和，
∵，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
23. 如图是某小区的一块四边形形状的绿地，其四个顶点处为A、B、C、D四栋住宅．已知，，，，．
（1）为了方便居民出入，小区物业计划对绿地进行改造，改造前从A栋到C栋有两条路线，分别为和，改造后物业开辟一条从点A直通点C的小路，通过计算比较居民从点A到点C将最多少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【答案】（1）居民从点A到点C将最多少走路程；
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键．
（1）如图，连接，再利用勾股定理求解，再计算即可；
（2）先利用勾股定理逆定理证明，再利用直角三角形的面积和可得答案．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵，， ．
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴居民从点A到点C将最多少走路程；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴
．
24. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E．
（1）求证：垂直平分线段；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）由等边三角形，可得，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可；
（2）由题意知，，由平行线的性质可得，则是等边三角形，，，由三角形外角的性质求，根据，求解作答即可．
【小问1详解】
证明：∵等边三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分线段；
【小问2详解】
解：∵等边三角形，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质是解题的关键．
25. 武汉市某一工程，若甲工程队单独施工，刚好如期完成；若乙工程队单独施工，要比甲工程队多用16天才能完工．若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独做也正好能如期完成．
（1）甲、乙两队单独完成该工程各需多少天？
（2）若甲队施工一天，工程款为1.2万元；乙队施工一天，工程款为0.5万元．
①若甲队单独完成这项工程，总工程款为 万元；若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为 万元．
②实际施工中，甲、乙两队合作m天后，余下的工程乙队单独又做了n天完成．已知整个工期小于15天，总工程款不超过18.2万元，求m和n的值．（m、n均为正整数）．
【答案】（1）甲队单独完成该工程需16天，乙队单独完成该工程需32天
（2）①19.2；17.6；②或
【解析】
【分析】（1）设甲队单独完成该工程需x天，则乙队单独完成该工程需天，根据题意，列分式方程，求解并检验即可；
（2）①根据题意，列式求解即可；②根据题意列二元一次方程，求解并检验即可．
【小问1详解】
设甲队单独完成该工程需x天，则乙队单独完成该工程需天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲队单独完成该工程需16天，则乙队单独完成该工程需32天；
【小问2详解】
①若甲队单独完成这项工程，总工程款为（万元）；
若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为（万元），
故答案为：19.2；17.6；
②由题意得：，
∴，
∵，m、n均为正整数，
∴或，
∵，
∴，
∴和均符合，
∴或．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列二元一次方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
26. 在中，，的角度记为．发现 如图1，若，点D为边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至位置，连接，．
①的形状为__________；
②填空：与的数量关系：__________；__________；
论证 如图2，若，点D为边延长线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至位置，连接，．
①试判断和的数量关系，并说明理由；
②求的度数．
拓展 若，，将“点D为边延长线上一点”改为“点D为直线上一点”，其余条件不变，当时，写出的长．
【答案】发现①等边三角形；②，；论证①，理由见解析；②；拓展或
【解析】
【分析】发现：①由旋转的性质可知，，可证是等边三角形；
②证明是等边三角形，，证明，则，，根据，计算求解即可；
论证：①同理发现②，求解作答即可；
②由，，可得，由论证①可知，，则，根据，计算求解即可；
拓展：由，可知共有两种情况，如图，，过作于，则，，，然后在，中，由勾股定理求，的值，根据旋转的性质可知，然后作答即可．
【详解】发现：①解：由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
②解：由题意知，，，
∴，是等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，；
论证：①解：，理由如下；
由题意知，，
由旋转的性质可知，，
同理发现②，可得，，
∴；
②解：∵，，
∴，
由论证①可知，，
∴，
∴，
∴的度数为；
拓展解：由，可知共有两种情况，如图，，过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得， ，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．先化简，再求值：，其中
解：原式
……