2023-2024学年河北省承德市承德县八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德市承德县八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了答案须用黑色字迹的签字笔书写，下列实数中的无理数是，下列各式运算正确的是，下列尺规作图，能确定的是等内容，欢迎下载使用。

八年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟．
2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚．
3．答案须用黑色字迹的签字笔书写．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．若使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列实数中的无理数是（ ）
A．0.5050050005B．C．D．
5．下列各式运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四边形中，连接，且，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列尺规作图，能确定的是（ ）．
A． B．
C． D．
9．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3B．C．1D．
10．已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）
A．B．C．1D．
11．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）

A．5米B．6米C．7米D．8米
12．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．B．5C．2D．不存在
13．如图，是等边三角形，N是的中点，，D是的中点， M是上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
15．如图，是的平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
16．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（ ）
A．3B．4C．4或6D．2或3
二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共10分）
17．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ．
18．如图，在中，，．
(1)的度数为______；
(2)分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点D，连接，则的度数为______．
19．如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．(1)计算：；
(2)解方程：．
21．先化简，然后在0，1，2中选一个你喜欢的值，代入求值．
22．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．

(1)求长方形信封的长和宽；
(2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
24．如图，在中，，点P，D分别在上，且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求线段的长．
25．某商铺打算购进A，B两种饰品进行销售．已知用1400元采购A种饰品的件数是用630元采购B种饰品件数的2倍，A种饰品每件的进价比B种饰品多1元．
(1)求A，B两种饰品每件的进价分别为多少元；
(2)计划采购这两种饰品共600件，两种饰品的售价均为每件15元，若使总利润不低于3400元，A种饰品最多购进多少件？
26．如图1，在中，，，是的角平分线，于点E，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)如图2，点M为线段上一点（点M不与点C，E重合），连接，向右侧作等边，连接．
①求证：；
②若，请直接写出与的数量关系．
参考答案与解析
1．B
【分析】直接根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的相反数是；
故选B．
【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．
由分母不为零可得，从而可得答案．
【详解】分式有意义，
，
解得：，
故选：B
3．A
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性，即可求解．
【详解】解：A、三角形具有稳定性，故本选项符合题意；
B、该图形不具有稳定性，故本选项不符合题意；
C、该图形不具有稳定性，故本选项不符合题意；
D、该图形不具有稳定性，故本选项不符合题意；
故选：A
4．C
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．
【详解】解：是小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B.是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C.是无理数，故此选项符合题意；
D.是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
5．D
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算等知识点，正确化简二次根式是解题的关键．
利用二次根式的性质、立方根的性质、二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误，不符合题意；
B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意；
D. ，故D选项错误，符合题意．
故选D．
6．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
7．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握利用“”的方法是解题的关键，“”判定三角形全等是指：“两个直角三角形中，一条直角边和斜边对应相等”，观察答案逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了尺规作图，掌握常见的尺规作图方法是解题的关键．
逐项确定尺规作图的意义，选择作出角平分线的解题的关键．
【详解】解：A.作出的是线段的垂直平分线，得不到，不符合题意；
B.作出的是线段的垂直平分线，得不到，不符合题意；
C.作出的是的角平分线，可得，符合题意；
D.作的是过点A作线段的垂线，的不得，不符合题意．
故选：C．
9．D
【分析】根据平方根的性质列方程求解即可；
【详解】∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．
10．A
【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，二次根式的性质，由数轴可得，从而得到，，再由绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由数轴可得：，
，，
，
故选：A．
11．C
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用平移的知识即可得出地毯的长度．
【详解】在 中，，
∴米，
∴可得地毯长度米，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出 AC 的长度是解答本题的关键．
12．B
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根．解题的关键在于正确的解分式方程；先把分式方程化成整式方程，再解整式方程表示出x的值，根据方程有增根得出最简公分母，然后代入整式方程，解出m的值即可得出答案.
【详解】，
方程两边都乘，得
，
原分式方程有增根，
最简公分母，
解得：，
当时，，
故选：B
13．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识．明确取最小值的情况是解题的关键．
如图，连接，由题意知是的垂直平分线，则，，当三点共线时，的值最小，为，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是等边三角形，D是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为，
∵N是的中点，
∴，
由勾股定理得，，
故选：D．
14．D
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】∵
=
=
=
=
=，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
15．D
【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到两边的距离相等，作于点F，推出，利用线段表示出，即可解题．
【详解】解：作于点F，如图所示：
是的平分线，于点E，
，
有，
，
，，，
，解得，
故选：D．
16．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
分和两种情况时，分别依据全等三角形的对应边相等求得点Q的移动速度即可．
【详解】解：分两种情况：
①当时，，
∴点P运动的时间为秒，
∴点Q的运动速度为厘米/秒；
②当时，，
∴点P运动的时间为，
∴点Q的运动速度为厘米/秒；
综上所述，当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
故选：C．
17．4（答案不唯一）
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可．
【详解】∵是最简二次根式，
∴．
故答案为：4（答案不唯一）．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，证得是等边三角形是解答本题的关键．
（1）先根据题意求出线段，然后运用勾股定理逆定理即可解答；
（2）先根据垂直平分线的性质可得，再结合可得；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到是等边三角形即可解答．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∴，，,
∴,
∴．
（2）解：由图可知：是线段的垂直平分线，
∴,
∵，即,
∴,
∵，，
∴,
∴,即是等边三角形，
∴．
19．
【分析】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律等知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，即可求得a的值；再根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，然后按照规律解答即可．
【详解】解：如图：
∵第一个正方形的边长为a,
∴第一个正方形的面积为，
由勾股定理得，，
∴，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为，
∴，即，“生长”第1次后所有正方形的面积和为，
同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为，
……
则“生长”第2024次后所有正方形的面积和为，
故答案为：，．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的除法，实数的混合运算，解分式方程．熟练掌握二次根式的除法，实数的混合运算，解分式方程是解题的关键．
（1）先计算二次根式的除法，乘方，然后进行加法运算；
（2）先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的根，最后检验即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解：，
方程两边同时乘得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，．
检验，当，，是原分式方程的解．
21．，
【分析】利用分式运算法则化简式子，再将x的值代入计算即可，注意分式有意义的条件．
【详解】解：
，
∵，，
将代入化简的式子可得：原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则，以及分式有意义的条件，代入x值的时候，注意且．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据，可得，再利用，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，，从而得到，再根据等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
23．(1)长为，宽为
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，见解析
【分析】（1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可；
（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．
【详解】（1）∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）面积为的正方形贺卡的边长是．
∵，所以，
∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等边对等角可得，垂直平分线的性质可得，进而得到；根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，即可证明结论；
（2）由线段的和差可得，；设，则．由勾股定理可得、，进而得到一元二次方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，．
设，则．
在中，根据勾股定理得：．
在中，根据勾股定理得：，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
25．(1)A种饰品每件的进价为10元，B种饰品每件的进价为9元
(2)200件
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式，解题关键是找准等式关系正确列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；
（1）根据题意，确定等量关系，列分式方程求解，注意检验；
（2）根据题意，确定不等关系，列一元一次不等式求解．
【详解】（1）设A种饰品每件的进价为x元，则B种饰品每件的进价为元，
由题意，得，解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，．
答：A种饰品每件的进价为10元，B种饰品每件的进价为9元．
（2）设A种饰品购进y件，
根据题意，得，解得，
故A种饰品最多购进200件．
26．(1)见解析
(2)①见解析 ；②
【分析】（1）先利用角平分线的性质得到，从而根据三线合一得到，故，从而得证；
（2）①先证明，然后得到，从而得证；②由可得，，最后由角的直角三角形的性质得解；
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
∵BD是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又，
∴是等边三角形．
（2）①证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴；
②，
由（1）可知是等边三角形，
∵是等边三角形，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用这些性质进行证明是解题的关键．