福建省南安市实验中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题

这是一份福建省南安市实验中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键．
【详解】、是整式，不是分式，不符合题意；
、是整式，不是分式，不符合题意；
、是整式，不是分式，不符合题意；
、是分式，符合题意；
故选：．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方判断分析即可．
【详解】A、，计算正确，本选项符合题意；
B、，计算错误，本选项不符合题意；
C、，计算错误，本选项不符合题意；
D、，计算错误，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握以上运算法则是解题的关键．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件以及分式为零的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
，
，
当时，
∴即．
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零，本题属于基础题型．
4. 等腰三角形有一个角为，则其底角是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边对等角，三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵等腰三角形有一个角为，
∴底角为，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
5. 下列命题是真命题的有（ ）
①9的立方根是3； ②算术平方根等于它本身的数一定是1；
③的平方根是； ④无理数与数轴上的点一一对应．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】根据立方根、算术平方根、平方根、实数与数轴等知识进行判断．熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
【详解】解：①9的立方根是，故说法错误，原命题是假命题；
②算术平方根等于它本身的数是1和0，故说法错误，原命题是假命题；
③的平方根是，故说法错误，原命题是假命题；
④实数与数轴上的点一一对应，故说法错误，原命题是假命题．
综上可知，命题是真命题的有0个，
故选：A．
6. 用反证法证明“若，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A. a，b都小于0B. a，b不都小于0
C. a，b都不小于0D. a，b都大于0
【答案】A
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：“若，则a，b至少有一个不小于0．”
第一步应假设：a，b都小于0．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7. 如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据选项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵在和中，，
A.添加，可以根据证明，不符合题意；
B. 添加，可以根据证明，不符合题意；
C. 添加，可以根据证明，不符合题意；
D. 添加，没有判定定理，不能证明，符合题意；
故选：D．
8. 不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的基本性质作答，分式分母、分子和分式本身的符号任意改变两个，分式的值不变．
【详解】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以，
A、；
B、；
C、；
D、，
故选：B．
【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变．
9. 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，根据展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：

在中，
，,
∴，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是．
故选：C．
10. 如图，在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、，则下列结论错误的是（ ）

A. B.
C. 为等腰直角三角形D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等角的余角相等、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，证明，推出，，证明，可得结论．一定要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
【详解】解：∵、分别是、边上的高，
∴（垂直定义），
∴（同角的余角相等），
∴在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
所以选项A，B，C正确，
故选：D．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．根据分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴．
∴．
故答案为：．
12. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、8、9，则正方形D的面积为 ________．
【答案】23
【解析】
【分析】根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果.
本题考查的是勾股定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握股定理，即可完成．
【详解】
由题意得，正方形E的面积为，
则正方形D面积.
故答案为：
13. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据判断出．
【详解】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
和中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
14. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________．
【答案】49
【解析】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程进行求解．
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
，
，
这个正数为，
故答案为：49．
【点睛】此题考查了实数平方根问题的解决能力，关键是能准确理解并运用一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．
15. 计算______．
【答案】1
【解析】
【分析】把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：1
16. 如图，线段的长度为5，点，为线段外一动点，且，，，线段长的最大值为 ________．
【答案】
【解析】
【分析】证明线段长的最大值线段长的最大值，当在线段的延长线时，线段取得最大值，最大值，再求出答案即可．此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和利用旋转作辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意知，，，
将绕着点顺时针旋转得到，连接，
则是等腰直角三角形，，
，
，
线段长的最大值线段长的最大值，
当在线段的延长线时，线段取得最大值，最大值，
是等腰直角三角形，
，
线段长的最大值为．
故答案：
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式、单项式乘以单项式、完全平方公式展开，再合并同类项即可．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
【详解】解：
18. 计算：
（1）．
（2）
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先计算分式的乘法，再计算减法即可；
（2）先计算括号内的减法，再计算除法即可．
【小问1详解】


；
【小问2详解】
＝
＝
＝；
19. 如图，，，，垂足分别为，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定，
先证明，再利用即可证明．
【详解】证明：，，
，
在和中，
∴．
20. 如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了米，教练把绳子的下端拉开米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度．
【答案】攀岩墙的高为米
【解析】
【分析】根据题意设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长即可．
【详解】解：设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，
∵在中，米，
∴由勾股定理得：，
∴，解得，
∴攀岩墙的高为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中找出直角三角形是解答本题的关键．
21. 如图，中，，，垂足为D．
（1）求作的平分线，分别交，于P，Q两点；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质和对顶角相等即可证出．
【小问1详解】
解：如图所示，为所求作；
小问2详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形的性质和对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键．
22. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】符合，理由见解析
【解析】
【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案．
【详解】解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理．
23. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．

（1）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值；
（3）两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；
（2）利用（1）中关系式计算可得结论；
（3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可．
【小问1详解】
解：∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，
∴．
∴．
故答案：；
【小问2详解】
由（1）得：．
∴
∴．
∴；
【小问3详解】
∵，为正方形，边长分别为，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键．
24. 阅读理解
材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．
如：.
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，求代数式值的范围．
【答案】（1）减小；减小
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可；
（2）由，即可求解；
（3）由，再结合的取值范围即可求解.
【小问1详解】
解：∵当时，随着的增大而减小，
∴随着的增大，的值减小；
∵当时，随着的增大减小，
∵
∴随着的增大，的值减小.
故答案为：减小；减小.
【小问2详解】
∵，
∵当时，的值无限接近，
∴的值无限接近.
【小问3详解】
∵，
又∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键.
25. 如图，在中，，点是边上的动点，连接，以为斜边在的下方作等腰直角三角形．
（1）填空：的面积等于 ；
（2）连接，求证：是的平分线；
（3）点在边上，且， 当从点出发运动至点停止时，求点相应的运动路程．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E在∠ACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=，根据CD的长度计算出CE的长度即可．
【详解】解：（1）
∴，
故答案为：
（2）连接CE，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
∴在△AEM与△DEN中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE
∴△AEM≌△DEN（AAS）
∴ME=NE
∴点E在∠ACB的平分线上，
即是的平分线
（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，
∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，
∵△AEM≌△DEN
∴AM=DN，
即AC-CM=CN-CD
在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）
∴CM=CN
∴CN=，
又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，
∴CE=，
当AC=3，CD=CO=1时，
CE=
当AC=3，CD=CB=7时，
CE=
∴点E的运动路程为：，
【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…

…
﹣0.25
﹣0.
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.
0.25
…